Theorem fzospliti 13419

Description: One direction of splitting a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzospliti	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)))

Proof of Theorem fzospliti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12323	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℝ)
2		elfzoelz 13387	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zred 12426	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		lelttric 11082	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐷 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐷))
6	1, 4, 5	syl2an2 683	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐷))
7	6	orcomd 868	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷 ∨ 𝐷 ≤ 𝐴))
8		elfzole1 13395	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ≤ 𝐴)
9	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ≤ 𝐴)
10	9	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷 → 𝐵 ≤ 𝐴))
11	10	ancrd 552	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷 → (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷)))
12		elfzolt2 13396	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝐶)
14	13	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐶))
15	14	ancld 551	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ≤ 𝐴 → (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
16	11, 15	orim12d 962	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐷 ∨ 𝐷 ≤ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))))
17	7, 16	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
18		elfzoel1 13385	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
19	18	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
20		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
21		elfzo 13389	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷)))
22	3, 19, 20, 21	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷)))
23		elfzoel2 13386	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
24	23	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
25		elfzo 13389	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶) ↔ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
26	3, 20, 24, 25	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶) ↔ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
27	22, 26	orbi12d 916	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)) ↔ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))))
28	17, 27	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℤcz 12319  ..^cfzo 13382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383

This theorem is referenced by:  fzosplit  13420  fzocatel  13451  ccatass  14293  ccatswrd  14381  ccatpfx  14414  revccat  14479  ccatco  14548  dfphi2  16475  prmgaplem7  16758  ccatf1  31223  cycpmco2  31400