Theorem fzospliti 13072

Description: One direction of splitting a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzospliti	⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)))

Proof of Theorem fzospliti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11988	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 ∈ ℝ)
2		elfzoelz 13041	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
3	2	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
4	3	zred 12090	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		lelttric 10750	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐷 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐷))
6	1, 4, 5	syl2an2 684	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐷))
7	6	orcomd 867	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷 ∨ 𝐷 ≤ 𝐴))
8		elfzole1 13049	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ≤ 𝐴)
9	8	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ≤ 𝐴)
10	9	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷 → 𝐵 ≤ 𝐴))
11	10	ancrd 554	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐷 → (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷)))
12		elfzolt2 13050	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
13	12	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐴 < 𝐶)
14	13	a1d 25	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ≤ 𝐴 → 𝐴 < 𝐶))
15	14	ancld 553	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐷 ≤ 𝐴 → (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
16	11, 15	orim12d 961	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 < 𝐷 ∨ 𝐷 ≤ 𝐴) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))))
17	7, 16	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
18		elfzoel1 13039	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
19	18	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
20		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐷 ∈ ℤ)
21		elfzo 13043	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷)))
22	3, 19, 20, 21	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷)))
23		elfzoel2 13040	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
24	23	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℤ)
25		elfzo 13043	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶) ↔ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
26	3, 20, 24, 25	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶) ↔ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
27	22, 26	orbi12d 915	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)) ↔ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐷) ∨ (𝐷 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶))))
28	17, 27	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐷) ∨ 𝐴 ∈ (𝐷..^𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  ℝcr 10539   < clt 10678   ≤ cle 10679  ℤcz 11984  ..^cfzo 13036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037

This theorem is referenced by:  fzosplit  13073  fzocatel  13104  ccatass  13945  ccatswrd  14033  ccatpfx  14066  revccat  14131  ccatco  14200  dfphi2  16114  prmgaplem7  16396  ccatf1  30629  cycpmco2  30779