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Theorem bgoldbtbnd 42373
Description: If the binary Goldbach conjecture is valid up to an integer 𝑁, and there is a series ("ladder") of primes with a difference of at most 𝑁 up to an integer 𝑀, then the strong ternary Goldbach conjecture is valid up to 𝑀, see section 1.2.2 in [Helfgott] p. 4 with N = 4 x 10^18, taken from [OeSilva], and M = 8.875 x 10^30. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bgoldbtbnd.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ11))
bgoldbtbnd.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ11))
bgoldbtbnd.b (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d (𝜑𝐷 ∈ (ℤ‘3))
bgoldbtbnd.f (𝜑𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
bgoldbtbnd.i (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))))
bgoldbtbnd.0 (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
bgoldbtbnd.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = 13)
bgoldbtbnd.l (𝜑𝑀 < (𝐹𝐷))
bgoldbtbnd.r (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbnd (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑀) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝑁,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem bgoldbtbnd
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑚 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 787 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ Odd )
2 bgoldbtbnd.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (ℤ‘3))
3 eluzge3nn 11930 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (ℤ‘3) → 𝐷 ∈ ℕ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
5 iccelpart 42103 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℕ → ∀𝑓 ∈ (RePart‘𝐷)(𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (RePart‘𝐷)(𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))))
7 bgoldbtbnd.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
8 fveq1 6374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
9 fveq1 6374 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝐷) = (𝐹𝐷))
108, 9oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) = ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)))
1110eleq2d 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) ↔ 𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷))))
12 fveq1 6374 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑗) = (𝐹𝑗))
13 fveq1 6374 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
1412, 13oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1))) = ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))))
1514eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1))) ↔ 𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1)))))
1615rexbidv 3199 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1)))))
1711, 16imbi12d 335 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))) ↔ (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))))))
1817rspcv 3457 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (RePart‘𝐷) → (∀𝑓 ∈ (RePart‘𝐷)(𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))) → (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))))))
197, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (RePart‘𝐷)(𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))) → (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))))))
20 oddz 42220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℤ)
2120zred 11729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℝ)
2221rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℝ*)
2322ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℝ*)
24 7re 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7 ∈ ℝ
25 ltle 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((7 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (7 < 𝑛 → 7 ≤ 𝑛))
2624, 21, 25sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 7 ≤ 𝑛))
2726com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑛))
2827adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑀) → (𝑛 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑛))
2928impcom 396 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → 7 ≤ 𝑛)
3029adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 7 ≤ 𝑛)
31 bgoldbtbnd.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ11))
32 eluzelre 11897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (ℤ11) → 𝑀 ∈ ℝ)
3332rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (ℤ11) → 𝑀 ∈ ℝ*)
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ*)
36 bgoldbtbnd.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ)
3736rexrd 10343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ*)
3837adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝐹𝐷) ∈ ℝ*)
39 simprrr 800 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 < 𝑀)
40 bgoldbtbnd.l . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 < (𝐹𝐷))
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑀 < (𝐹𝐷))
4223, 35, 38, 39, 41xrlttrd 12192 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 < (𝐹𝐷))
43 bgoldbtbnd.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
4443oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) = (7[,)(𝐹𝐷)))
4544eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) ↔ 𝑛 ∈ (7[,)(𝐹𝐷))))
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) ↔ 𝑛 ∈ (7[,)(𝐹𝐷))))
4724rexri 10351 . . . . . . . . . . . . . 14 7 ∈ ℝ*
48 elico1 12420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((7 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐷) ∈ ℝ*) → (𝑛 ∈ (7[,)(𝐹𝐷)) ↔ (𝑛 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑛𝑛 < (𝐹𝐷))))
4947, 38, 48sylancr 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ (7[,)(𝐹𝐷)) ↔ (𝑛 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑛𝑛 < (𝐹𝐷))))
5046, 49bitrd 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) ↔ (𝑛 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑛𝑛 < (𝐹𝐷))))
5123, 30, 42, 50mpbir3and 1442 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)))
52 fzo0sn0fzo1 12765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ ℕ → (0..^𝐷) = ({0} ∪ (1..^𝐷)))
5352eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (0..^𝐷) ↔ 𝑗 ∈ ({0} ∪ (1..^𝐷))))
54 elun 3915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ({0} ∪ (1..^𝐷)) ↔ (𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷)))
5553, 54syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (0..^𝐷) ↔ (𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷))))
564, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑗 ∈ (0..^𝐷) ↔ (𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷))))
5756adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑗 ∈ (0..^𝐷) ↔ (𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷))))
58 velsn 4350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ {0} ↔ 𝑗 = 0)
59 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 0 → (𝐹𝑗) = (𝐹‘0))
60 fv0p1e1 11402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 0 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘1))
6159, 60oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 0 → ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) = ((𝐹‘0)[,)(𝐹‘1)))
62 bgoldbtbnd.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐹‘1) = 13)
6343, 62oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝐹‘0)[,)(𝐹‘1)) = (7[,)13))
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝐹‘0)[,)(𝐹‘1)) = (7[,)13))
6561, 64sylan9eq 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 = 0 ∧ (𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)))) → ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) = (7[,)13))
6665eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 = 0 ∧ (𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ↔ 𝑛 ∈ (7[,)13)))
671adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → 𝑛 ∈ Odd )
68 simprrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 7 < 𝑛)
6968adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → 7 < 𝑛)
70 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → 𝑛 ∈ (7[,)13))
71 bgoldbtbndlem1 42369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑛𝑛 ∈ (7[,)13)) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )
7267, 69, 70, 71syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )
73 isgbo 42317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑛 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
7472, 73sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → (𝑛 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
7574simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
7675ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ (7[,)13) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
7776adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 = 0 ∧ (𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)))) → (𝑛 ∈ (7[,)13) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
7866, 77sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 = 0 ∧ (𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
7978ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 0 → ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
8058, 79sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ {0} → ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
81 bgoldbtbnd.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))))
82 fzo0ss1 12706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷)
8382sseli 3757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (1..^𝐷) → 𝑗 ∈ (0..^𝐷))
84 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝑗 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑗))
8584eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2})))
86 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
8786, 84oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) = ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))
8887breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4)))
8987breq2d 4821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))
9085, 88, 893anbi123d 1560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑗 → (((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))))
9190rspcv 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))))
9283, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))))
9381, 92mpan9 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))
94 bgoldbtbnd.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ11))
95 bgoldbtbnd.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
9631, 94, 95, 2, 7, 81, 43, 62, 40, 36bgoldbtbndlem4 42372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ Odd ) → ((𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) ≤ 4) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
9796ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) ≤ 4) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
9897expcomd 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ≤ 4 → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
99 simplll 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝜑)
100 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ Odd )
101 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑗 ∈ (1..^𝐷))
102 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑛 − (𝐹𝑗))
10331, 94, 95, 2, 7, 81, 43, 62, 40, 36, 102bgoldbtbndlem3 42371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)))))
10499, 100, 101, 103syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)))))
105 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑚 → (4 < 𝑛 ↔ 4 < 𝑚))
106 breq1 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 < 𝑁𝑚 < 𝑁))
107105, 106anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑛 = 𝑚 → ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) ↔ (4 < 𝑚𝑚 < 𝑁)))
108 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ 𝑚 ∈ GoldbachEven ))
109107, 108imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑚 → (((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ ((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven )))
110109cbvralv 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ ∀𝑚 ∈ Even ((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ))
111 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑚 = (𝑛 − (𝐹𝑗)) → (4 < 𝑚 ↔ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))))
112 breq1 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑚 = (𝑛 − (𝐹𝑗)) → (𝑚 < 𝑁 ↔ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁))
113111, 112anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = (𝑛 − (𝐹𝑗)) → ((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) ↔ (4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁)))
114 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = (𝑛 − (𝐹𝑗)) → (𝑚 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven ))
115113, 114imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑚 = (𝑛 − (𝐹𝑗)) → (((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ) ↔ ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )))
116115rspcv 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (∀𝑚 ∈ Even ((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ) → ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )))
117110, 116syl5bi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )))
118 pm3.35 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) ∧ ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )
119 isgbe 42315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))))
120 eldifi 3894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝑗) ∈ ℙ)
1211203ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ ℙ)
122121adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → (𝐹𝑗) ∈ ℙ)
123122ad5antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝐹𝑗) ∈ ℙ)
124 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑟 = (𝐹𝑗) → (𝑟 ∈ Odd ↔ (𝐹𝑗) ∈ Odd ))
1251243anbi3d 1566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑟 = (𝐹𝑗) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd )))
126 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑟 = (𝐹𝑗) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))
127126eqeq2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑟 = (𝐹𝑗) → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗))))
128125, 127anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑟 = (𝐹𝑗) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))))
129128adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) ∧ 𝑟 = (𝐹𝑗)) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))))
130 oddprmALTV 42274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝑗) ∈ Odd )
1311303ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ Odd )
132131adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → (𝐹𝑗) ∈ Odd )
133132ad4antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹𝑗) ∈ Odd )
134 3simpa 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ))
135133, 134anim12ci 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ))
136 df-3an 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ))
137135, 136sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ))
13820zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℂ)
139138ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℂ)
140 prmz 15669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((𝐹𝑗) ∈ ℙ → (𝐹𝑗) ∈ ℤ)
141140zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ((𝐹𝑗) ∈ ℙ → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
142120, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
1431423ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
144143adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
145144ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
146139, 145npcand 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) + (𝐹𝑗)) = 𝑛)
147146adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) + (𝐹𝑗)) = 𝑛)
148147ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) + (𝐹𝑗)) = 𝑛)
149 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) + (𝐹𝑗)) = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))
150148, 149sylan9req 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))
151150exp31 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → (((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))))
152151com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞) → (((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))))
1531523impia 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → (((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗))))
154153impcom 396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))
155137, 154jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗))))
156123, 129, 155rspcedvd 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
157156ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
158157reximdva 3163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
159158reximdva 3163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
160159exp41 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (𝜑 → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
161160com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
162161imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
163119, 162sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
164163a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
165118, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) ∧ ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
166165ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
167166ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → (((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
168167com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven ) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
169117, 168syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
170169com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
1711703impib 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
172171com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
17395, 172mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
174173impl 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
175174imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
176104, 175syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
177176expcomd 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
17821ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℝ)
179140zred 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝑗) ∈ ℙ → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
180120, 179syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
1811803ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
182181ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
183178, 182resubcld 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
184 4re 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℝ
185 lelttric 10398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ≤ 4 ∨ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))))
186183, 184, 185sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ≤ 4 ∨ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))))
18798, 177, 186mpjaod 886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
188187ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
18993, 188mpdan 678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
190189expcom 402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝐷) → (𝜑 → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
191190impd 398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1..^𝐷) → ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
19280, 191jaoi 883 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
193192com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
19457, 193sylbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑗 ∈ (0..^𝐷) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
195194rexlimdv 3177 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
19651, 195embantd 59 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
197196ex 401 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → ((𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
198197com23 86 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
19919, 198syld 47 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (RePart‘𝐷)(𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
2006, 199mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
201200imp 395 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
2021, 201jca 507 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
203202, 73sylibr 225 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )
204203exp32 411 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ Odd → ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑀) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
205204ralrimiv 3112 1 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑀) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  cdif 3729  cun 3730  {csn 4334   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cn 11274  2c2 11327  3c3 11328  4c4 11329  7c7 11332  cdc 11740  cuz 11886  [,)cico 12379  ..^cfzo 12673  cprime 15665  RePartciccp 42083   Even ceven 42213   Odd codd 42214   GoldbachEven cgbe 42309   GoldbachOdd cgbo 42311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ico 12383  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-dvds 15266  df-prm 15666  df-iccp 42084  df-even 42215  df-odd 42216  df-gbe 42312  df-gbo 42314
This theorem is referenced by:  tgblthelfgott  42379
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