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Theorem bgoldbtbnd 42226
Description: If the binary Goldbach conjecture is valid up to an integer 𝑁, and there is a series ("ladder") of primes with a difference of at most 𝑁 up to an integer 𝑀, then the strong ternary Goldbach conjecture is valid up to 𝑀, see section 1.2.2 in [Helfgott] p. 4 with N = 4 x 10^18, taken from [OeSilva], and M = 8.875 x 10^30. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bgoldbtbnd.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ11))
bgoldbtbnd.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ11))
bgoldbtbnd.b (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
bgoldbtbnd.d (𝜑𝐷 ∈ (ℤ‘3))
bgoldbtbnd.f (𝜑𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
bgoldbtbnd.i (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))))
bgoldbtbnd.0 (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
bgoldbtbnd.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = 13)
bgoldbtbnd.l (𝜑𝑀 < (𝐹𝐷))
bgoldbtbnd.r (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbnd (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑀) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝑁,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑀(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem bgoldbtbnd
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 𝑚 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 748 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ Odd )
2 bgoldbtbnd.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (ℤ‘3))
3 eluzge3nn 11933 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (ℤ‘3) → 𝐷 ∈ ℕ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
5 iccelpart 41898 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℕ → ∀𝑓 ∈ (RePart‘𝐷)(𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))))
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (RePart‘𝐷)(𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))))
7 bgoldbtbnd.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (RePart‘𝐷))
8 fveq1 6332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘0) = (𝐹‘0))
9 fveq1 6332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝐷) = (𝐹𝐷))
108, 9oveq12d 6812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) = ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)))
1110eleq2d 2836 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) ↔ 𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷))))
12 fveq1 6332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑗) = (𝐹𝑗))
13 fveq1 6332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
1412, 13oveq12d 6812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1))) = ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))))
1514eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1))) ↔ 𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1)))))
1615rexbidv 3200 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1)))))
1711, 16imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))) ↔ (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))))))
1817rspcv 3457 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (RePart‘𝐷) → (∀𝑓 ∈ (RePart‘𝐷)(𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))) → (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))))))
197, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (RePart‘𝐷)(𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))) → (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))))))
20 oddz 42073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℤ)
2120zred 11685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℝ)
2221rexrd 10292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℝ*)
2322ad2antrl 701 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℝ*)
24 7re 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7 ∈ ℝ
25 ltle 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((7 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (7 < 𝑛 → 7 ≤ 𝑛))
2624, 21, 25sylancr 569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ Odd → (7 < 𝑛 → 7 ≤ 𝑛))
2726com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 < 𝑛 → (𝑛 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑛))
2827adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑀) → (𝑛 ∈ Odd → 7 ≤ 𝑛))
2928impcom 394 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → 7 ≤ 𝑛)
3029adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 7 ≤ 𝑛)
31 bgoldbtbnd.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ11))
32 eluzelre 11900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ (ℤ11) → 𝑀 ∈ ℝ)
3332rexrd 10292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (ℤ11) → 𝑀 ∈ ℝ*)
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
3534adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ*)
36 bgoldbtbnd.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ)
3736rexrd 10292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ*)
3837adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝐹𝐷) ∈ ℝ*)
39 simprrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 < 𝑀)
40 bgoldbtbnd.l . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 < (𝐹𝐷))
4140adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑀 < (𝐹𝐷))
4223, 35, 38, 39, 41xrlttrd 12196 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 < (𝐹𝐷))
43 bgoldbtbnd.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹‘0) = 7)
4443oveq1d 6809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) = (7[,)(𝐹𝐷)))
4544eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) ↔ 𝑛 ∈ (7[,)(𝐹𝐷))))
4645adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) ↔ 𝑛 ∈ (7[,)(𝐹𝐷))))
4724rexri 10300 . . . . . . . . . . . . . 14 7 ∈ ℝ*
48 elico1 12424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((7 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐷) ∈ ℝ*) → (𝑛 ∈ (7[,)(𝐹𝐷)) ↔ (𝑛 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑛𝑛 < (𝐹𝐷))))
4947, 38, 48sylancr 569 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ (7[,)(𝐹𝐷)) ↔ (𝑛 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑛𝑛 < (𝐹𝐷))))
5046, 49bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) ↔ (𝑛 ∈ ℝ* ∧ 7 ≤ 𝑛𝑛 < (𝐹𝐷))))
5123, 30, 42, 50mpbir3and 1427 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)))
52 fzo0sn0fzo1 12766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ ℕ → (0..^𝐷) = ({0} ∪ (1..^𝐷)))
5352eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (0..^𝐷) ↔ 𝑗 ∈ ({0} ∪ (1..^𝐷))))
54 elun 3905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ({0} ∪ (1..^𝐷)) ↔ (𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷)))
5553, 54syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ ℕ → (𝑗 ∈ (0..^𝐷) ↔ (𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷))))
564, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑗 ∈ (0..^𝐷) ↔ (𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷))))
5756adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑗 ∈ (0..^𝐷) ↔ (𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷))))
58 velsn 4333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ {0} ↔ 𝑗 = 0)
59 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 0 → (𝐹𝑗) = (𝐹‘0))
60 oveq1 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 0 → (𝑗 + 1) = (0 + 1))
61 0p1e1 11335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0 + 1) = 1
6260, 61syl6eq 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 0 → (𝑗 + 1) = 1)
6362fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 0 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) = (𝐹‘1))
6459, 63oveq12d 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 0 → ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) = ((𝐹‘0)[,)(𝐹‘1)))
65 bgoldbtbnd.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐹‘1) = 13)
6643, 65oveq12d 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝐹‘0)[,)(𝐹‘1)) = (7[,)13))
6766adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝐹‘0)[,)(𝐹‘1)) = (7[,)13))
6864, 67sylan9eq 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑗 = 0 ∧ (𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)))) → ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) = (7[,)13))
6968eleq2d 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 = 0 ∧ (𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ↔ 𝑛 ∈ (7[,)13)))
701adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → 𝑛 ∈ Odd )
71 simprrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 7 < 𝑛)
7271adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → 7 < 𝑛)
73 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → 𝑛 ∈ (7[,)13))
74 bgoldbtbndlem1 42222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑛𝑛 ∈ (7[,)13)) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )
7570, 72, 73, 74syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )
76 isgbo 42170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ GoldbachOdd ↔ (𝑛 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
7775, 76sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → (𝑛 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
7877simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (7[,)13)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
7978ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ (7[,)13) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
8079adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 = 0 ∧ (𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)))) → (𝑛 ∈ (7[,)13) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
8169, 80sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑗 = 0 ∧ (𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
8281ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 0 → ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
8358, 82sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ {0} → ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
84 bgoldbtbnd.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))))
85 fzo0ss1 12707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1..^𝐷) ⊆ (0..^𝐷)
8685sseli 3749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (1..^𝐷) → 𝑗 ∈ (0..^𝐷))
87 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝑗 → (𝐹𝑖) = (𝐹𝑗))
8887eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2})))
89 fvoveq1 6817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝑗 → (𝐹‘(𝑖 + 1)) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
9089, 87oveq12d 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 = 𝑗 → ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) = ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))
9190breq1d 4797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → (((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ↔ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4)))
9290breq2d 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → (4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) ↔ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))
9388, 91, 923anbi123d 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑗 → (((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))))
9493rspcv 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ (0..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))))
9586, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ (1..^𝐷) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝐷)((𝐹𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑖 + 1)) − (𝐹𝑖))) → ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))))
9684, 95mpan9 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))
97 bgoldbtbnd.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ11))
98 bgoldbtbnd.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
9931, 97, 98, 2, 7, 84, 43, 65, 40, 36bgoldbtbndlem4 42225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ Odd ) → ((𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) ≤ 4) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
10099ad2ant2r 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) ≤ 4) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
101100expcomd 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ≤ 4 → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
102 simplll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝜑)
103 simprl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ Odd )
104 simpllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑗 ∈ (1..^𝐷))
105 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑛 − (𝐹𝑗))
10631, 97, 98, 2, 7, 84, 43, 65, 40, 36, 105bgoldbtbndlem3 42224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑛 ∈ Odd ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)))))
107102, 103, 104, 106syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)))))
108 breq2 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑚 → (4 < 𝑛 ↔ 4 < 𝑚))
109 breq1 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 < 𝑁𝑚 < 𝑁))
110108, 109anbi12d 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑛 = 𝑚 → ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) ↔ (4 < 𝑚𝑚 < 𝑁)))
111 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 ∈ GoldbachEven ↔ 𝑚 ∈ GoldbachEven ))
112110, 111imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑚 → (((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ ((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven )))
113112cbvralv 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) ↔ ∀𝑚 ∈ Even ((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ))
114 breq2 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑚 = (𝑛 − (𝐹𝑗)) → (4 < 𝑚 ↔ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))))
115 breq1 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑚 = (𝑛 − (𝐹𝑗)) → (𝑚 < 𝑁 ↔ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁))
116114, 115anbi12d 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = (𝑛 − (𝐹𝑗)) → ((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) ↔ (4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁)))
117 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = (𝑛 − (𝐹𝑗)) → (𝑚 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven ))
118116, 117imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑚 = (𝑛 − (𝐹𝑗)) → (((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ) ↔ ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )))
119118rspcv 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (∀𝑚 ∈ Even ((4 < 𝑚𝑚 < 𝑁) → 𝑚 ∈ GoldbachEven ) → ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )))
120113, 119syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )))
121 pm3.35 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) ∧ ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )
122 isgbe 42168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven ↔ ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))))
123 eldifi 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝑗) ∈ ℙ)
1241233ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ ℙ)
125124adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → (𝐹𝑗) ∈ ℙ)
126125ad5antlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝐹𝑗) ∈ ℙ)
127 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑟 = (𝐹𝑗) → (𝑟 ∈ Odd ↔ (𝐹𝑗) ∈ Odd ))
1281273anbi3d 1553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑟 = (𝐹𝑗) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ↔ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd )))
129 oveq2 6802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑟 = (𝐹𝑗) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))
130129eqeq2d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑟 = (𝐹𝑗) → (𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗))))
131128, 130anbi12d 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑟 = (𝐹𝑗) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))))
132131adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) ∧ 𝑟 = (𝐹𝑗)) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))))
133 oddprmALTV 42127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝑗) ∈ Odd )
1341333ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ Odd )
135134adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → (𝐹𝑗) ∈ Odd )
136135ad4antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝐹𝑗) ∈ Odd )
137 3simpa 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ))
138136, 137anim12ci 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ))
139 df-3an 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ) ↔ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ))
140138, 139sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ))
14120zcnd 11686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 (𝑛 ∈ Odd → 𝑛 ∈ ℂ)
142141ad2antrl 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℂ)
143 prmz 15597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ((𝐹𝑗) ∈ ℙ → (𝐹𝑗) ∈ ℤ)
144143zcnd 11686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ((𝐹𝑗) ∈ ℙ → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
145123, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
1461453ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 (((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
147146adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
148147ad2antlr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 (((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
149142, 148npcand 10599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 (((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) + (𝐹𝑗)) = 𝑛)
150149adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) + (𝐹𝑗)) = 𝑛)
151150ad2antrl 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) + (𝐹𝑗)) = 𝑛)
152 oveq1 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) + (𝐹𝑗)) = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))
153151, 152sylan9req 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) ∧ ((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))
154153exp31 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → (((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))))
155154com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞) → (((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))))
1561553impia 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → (((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗))))
157156impcom 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗)))
158140, 157jca 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝐹𝑗) ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + (𝐹𝑗))))
159126, 132, 158rspcedvd 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
160159ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
161160reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
162161reximdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ 𝜑) ∧ (𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
163162exp41 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (𝜑 → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
164163com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
165164imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) = (𝑝 + 𝑞))) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
166122, 165sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
167166a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
168121, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) ∧ ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven )) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
169168ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
170169ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → (((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
171170com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (((4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ GoldbachEven ) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
172120, 171syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
173172com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))))
1741733impib 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
175174com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛𝑛 < 𝑁) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))))
17698, 175mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝑗 ∈ (1..^𝐷) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
177176impl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
178177imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ Even ∧ (𝑛 − (𝐹𝑗)) < 𝑁 ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
179107, 178syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) ∧ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
180179expcomd 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (4 < (𝑛 − (𝐹𝑗)) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
18121ad2antrl 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ ℝ)
182143zred 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝑗) ∈ ℙ → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
183123, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
1841833ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
185184ad2antlr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
186181, 185resubcld 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
187 4re 11300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℝ
188 lelttric 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑛 − (𝐹𝑗)) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ≤ 4 ∨ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))))
189186, 187, 188sylancl 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 − (𝐹𝑗)) ≤ 4 ∨ 4 < (𝑛 − (𝐹𝑗))))
190101, 180, 189mpjaod 841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
191190ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)) < (𝑁 − 4) ∧ 4 < ((𝐹‘(𝑗 + 1)) − (𝐹𝑗)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
19296, 191mpdan 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
193192expcom 398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1..^𝐷) → (𝜑 → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))))
194193impd 396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1..^𝐷) → ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
19583, 194jaoi 838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷)) → ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
196195com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑗 ∈ {0} ∨ 𝑗 ∈ (1..^𝐷)) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
19757, 196sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑗 ∈ (0..^𝐷) → (𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
198197rexlimdv 3178 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
19951, 198embantd 59 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
200199ex 397 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → ((𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1)))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
201200com23 86 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ((𝐹‘0)[,)(𝐹𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝐹𝑗)[,)(𝐹‘(𝑗 + 1)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
20219, 201syld 47 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (RePart‘𝐷)(𝑛 ∈ ((𝑓‘0)[,)(𝑓𝐷)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝐷)𝑛 ∈ ((𝑓𝑗)[,)(𝑓‘(𝑗 + 1)))) → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
2036, 202mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
204203imp 393 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
2051, 204jca 497 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → (𝑛 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑛 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
206205, 76sylibr 224 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ Odd ∧ (7 < 𝑛𝑛 < 𝑀))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )
207206exp32 407 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ Odd → ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑀) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
208207ralrimiv 3114 1 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑀) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 828  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  cdif 3721  cun 3722  {csn 4317   class class class wbr 4787  cfv 6032  (class class class)co 6794  cc 10137  cr 10138  0cc0 10139  1c1 10140   + caddc 10142  *cxr 10276   < clt 10277  cle 10278  cmin 10469  cn 11223  2c2 11273  3c3 11274  4c4 11275  7c7 11278  cdc 11696  cuz 11889  [,)cico 12383  ..^cfzo 12674  cprime 15593  RePartciccp 41878   Even ceven 42066   Odd codd 42067   GoldbachEven cgbe 42162   GoldbachOdd cgbo 42164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-er 7897  df-map 8012  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-rp 12037  df-ico 12387  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-seq 13010  df-exp 13069  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-dvds 15191  df-prm 15594  df-iccp 41879  df-even 42068  df-odd 42069  df-gbe 42165  df-gbo 42167
This theorem is referenced by:  tgblthelfgott  42232  tgblthelfgottOLD  42238
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