Theorem lzunuz 43557

Description: The union of a lower set of integers and an upper set of integers which abut or overlap is all of the integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lzunuz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) = ℤ)

Proof of Theorem lzunuz

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4107	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
2		ellz1 43556	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝐴)))
3	2	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝐴)))
4		eluz1 12882	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑎)))
5	4	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑎)))
6	3, 5	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝐴) ∨ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑎))))
7		zre 12610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
8	7	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
9		simpl1 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
10	9	zred 12716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		lelttric 11332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑎))
12	8, 10, 11	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑎))
13		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℤ)
14	13	zred 12716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
15		simpll1 1231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝐴 ∈ ℤ)
16	15	peano2zd 12719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
17	16	zred 12716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
18	7	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
19		simpll3 1233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 1))
20		zltp1le 12659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑎 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝑎))
21	20	3ad2antl1 1204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑎 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝑎))
22	21	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → (𝐴 + 1) ≤ 𝑎)
23	14, 17, 18, 19, 22	letrd 11382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝐵 ≤ 𝑎)
24	23	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑎 → 𝐵 ≤ 𝑎))
25	24	orim2d 982	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑎) → (𝑎 ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 𝑎)))
26	12, 25	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 𝑎))
27	26	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 𝑎)))
28	27	pm4.71d 571	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 𝑎))))
29		andi 1025	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝐴) ∨ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑎)))
30	28, 29	bitr2di 291	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝐴) ∨ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑎)) ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
31	6, 30	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
32	1, 31	bitrid 286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
33	32	eqrdv 2763	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) = ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  1c1 11116   + caddc 11118   < clt 11258   ≤ cle 11259  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879

This theorem is used by:  diophin  43561