Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lzunuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lzunuz 42756
Description: The union of a lower set of integers and an upper set of integers which abut or overlap is all of the integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
lzunuz ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → ((ℤ ∖ (ℤ‘(𝐴 + 1))) ∪ (ℤ𝐵)) = ℤ)

Proof of Theorem lzunuz
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 4163 . . 3 (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ‘(𝐴 + 1))) ∪ (ℤ𝐵)) ↔ (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝐴 + 1))) ∨ 𝑎 ∈ (ℤ𝐵)))
2 ellz1 42755 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝐴 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝐴)))
323ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝐴 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝐴)))
4 eluz1 12880 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑎)))
543ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (𝑎 ∈ (ℤ𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑎)))
63, 5orbi12d 918 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝐴 + 1))) ∨ 𝑎 ∈ (ℤ𝐵)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝐴) ∨ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑎))))
7 zre 12615 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
87adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
9 simpl1 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
109zred 12720 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 lelttric 11366 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑎𝐴𝐴 < 𝑎))
128, 10, 11syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎𝐴𝐴 < 𝑎))
13 simpll2 1212 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℤ)
1413zred 12720 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 simpll1 1211 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝐴 ∈ ℤ)
1615peano2zd 12723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
1716zred 12720 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
187ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
19 simpll3 1213 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 1))
20 zltp1le 12665 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑎 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝑎))
21203ad2antl1 1184 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑎 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝑎))
2221biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → (𝐴 + 1) ≤ 𝑎)
2314, 17, 18, 19, 22letrd 11416 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝐵𝑎)
2423ex 412 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑎𝐵𝑎))
2524orim2d 968 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎𝐴𝐴 < 𝑎) → (𝑎𝐴𝐵𝑎)))
2612, 25mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎𝐴𝐵𝑎))
2726ex 412 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎𝐴𝐵𝑎)))
2827pm4.71d 561 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎𝐴𝐵𝑎))))
29 andi 1009 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎𝐴𝐵𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝐴) ∨ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑎)))
3028, 29bitr2di 288 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎𝐴) ∨ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝑎)) ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
316, 30bitrd 279 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ‘(𝐴 + 1))) ∨ 𝑎 ∈ (ℤ𝐵)) ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
321, 31bitrid 283 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ‘(𝐴 + 1))) ∪ (ℤ𝐵)) ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
3332eqrdv 2733 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → ((ℤ ∖ (ℤ‘(𝐴 + 1))) ∪ (ℤ𝐵)) = ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  cun 3961   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cz 12611  cuz 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877
This theorem is referenced by:  diophin  42760
  Copyright terms: Public domain W3C validator