Theorem lzunuz 42058

Description: The union of a lower set of integers and an upper set of integers which abut or overlap is all of the integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lzunuz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) = ℤ)

Proof of Theorem lzunuz

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 4141	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
2		ellz1 42057	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝐴)))
3	2	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝐴)))
4		eluz1 12825	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑎)))
5	4	3ad2ant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑎)))
6	3, 5	orbi12d 915	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝐴) ∨ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑎))))
7		zre 12561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
9		simpl1 1188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
10	9	zred 12665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		lelttric 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑎))
12	8, 10, 11	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑎))
13		simpll2 1210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℤ)
14	13	zred 12665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝐵 ∈ ℝ)
15		simpll1 1209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝐴 ∈ ℤ)
16	15	peano2zd 12668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
17	16	zred 12665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
18	7	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
19		simpll3 1211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝐵 ≤ (𝐴 + 1))
20		zltp1le 12611	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑎 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝑎))
21	20	3ad2antl1 1182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑎 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝑎))
22	21	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → (𝐴 + 1) ≤ 𝑎)
23	14, 17, 18, 19, 22	letrd 11370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 < 𝑎) → 𝐵 ≤ 𝑎)
24	23	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝑎 → 𝐵 ≤ 𝑎))
25	24	orim2d 963	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑎) → (𝑎 ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 𝑎)))
26	12, 25	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 𝑎))
27	26	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 𝑎)))
28	27	pm4.71d 561	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (𝑎 ∈ ℤ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 𝑎))))
29		andi 1004	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 𝑎)) ↔ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝐴) ∨ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑎)))
30	28, 29	bitr2di 288	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ≤ 𝐴) ∨ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝑎)) ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
31	6, 30	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → ((𝑎 ∈ (ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ∨ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
32	1, 31	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → (𝑎 ∈ ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
33	32	eqrdv 2722	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ (𝐴 + 1)) → ((ℤ ∖ (ℤ≥‘(𝐴 + 1))) ∪ (ℤ≥‘𝐵)) = ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3938   ∪ cun 3939   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ℝcr 11106  1c1 11108   + caddc 11110   < clt 11247   ≤ cle 11248  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822

This theorem is referenced by:  diophin  42062