Proof of Theorem bposlem3
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | bpos.3 |
. . . . 5
⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1)) |
| 2 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ) |
| 3 | | 5nn 12352 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 5 ∈
ℕ |
| 4 | | bpos.1 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
(ℤ≥‘5)) |
| 5 | | eluznn 12960 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((5
∈ ℕ ∧ 𝑁
∈ (ℤ≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 6 | 3, 4, 5 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 7 | 6 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 8 | | fzctr 13680 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈ (0...(2
· 𝑁))) |
| 9 | | bccl2 14362 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) |
| 10 | 7, 8, 9 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) |
| 11 | 10 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) |
| 12 | 2, 11 | pccld 16888 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈
ℕ0) |
| 13 | 12 | ralrimiva 3146 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈
ℕ0) |
| 14 | 13 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈
ℕ0) |
| 15 | | bpos.4 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 ·
𝑁) / 3)) |
| 16 | | 2nn 12339 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 2 ∈
ℕ |
| 17 | | nnmulcl 12290 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((2
∈ ℕ ∧ 𝑁
∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ) |
| 18 | 16, 6, 17 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℕ) |
| 19 | 18 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℝ) |
| 20 | | 3nn 12345 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 3 ∈
ℕ |
| 21 | | nndivre 12307 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((2
· 𝑁) ∈ ℝ
∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ) |
| 22 | 19, 20, 21 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈
ℝ) |
| 23 | 22 | flcld 13838 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (⌊‘((2
· 𝑁) / 3)) ∈
ℤ) |
| 24 | 15, 23 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 25 | | 3re 12346 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 3 ∈
ℝ |
| 26 | 25 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 3 ∈
ℝ) |
| 27 | | 5re 12353 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 5 ∈
ℝ |
| 28 | 27 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 5 ∈
ℝ) |
| 29 | 6 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 30 | | 3lt5 12444 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 3 <
5 |
| 31 | 25, 27, 30 | ltleii 11384 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 3 ≤
5 |
| 32 | 31 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 3 ≤ 5) |
| 33 | | eluzle 12891 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘5) → 5 ≤ 𝑁) |
| 34 | 4, 33 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁) |
| 35 | 26, 28, 29, 32, 34 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁) |
| 36 | | 2re 12340 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 37 | | 2pos 12369 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 <
2 |
| 38 | 36, 37 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (2 ∈
ℝ ∧ 0 < 2) |
| 39 | | lemul2 12120 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((3
∈ ℝ ∧ 𝑁
∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2
· 𝑁))) |
| 40 | 25, 38, 39 | mp3an13 1454 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤
𝑁 ↔ (2 · 3)
≤ (2 · 𝑁))) |
| 41 | 29, 40 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 ·
𝑁))) |
| 42 | 35, 41 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (2 · 3) ≤ (2
· 𝑁)) |
| 43 | | 3pos 12371 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 0 <
3 |
| 44 | 25, 43 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (3 ∈
ℝ ∧ 0 < 3) |
| 45 | | lemuldiv 12148 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((2
∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ
∧ 0 < 3)) → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3))) |
| 46 | 36, 44, 45 | mp3an13 1454 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((2
· 𝑁) ∈ ℝ
→ ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3))) |
| 47 | 19, 46 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((2 · 3) ≤ (2
· 𝑁) ↔ 2 ≤
((2 · 𝑁) /
3))) |
| 48 | 42, 47 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)) |
| 49 | | 2z 12649 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 50 | | flge 13845 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((2
· 𝑁) / 3) ∈
ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ 2 ≤ (⌊‘((2
· 𝑁) /
3)))) |
| 51 | 22, 49, 50 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ 2 ≤
(⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))) |
| 52 | 48, 51 | mpbid 232 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 2 ≤ (⌊‘((2
· 𝑁) /
3))) |
| 53 | 52, 15 | breqtrrdi 5185 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐾) |
| 54 | 49 | eluz1i 12886 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈
(ℤ≥‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐾)) |
| 55 | 24, 53, 54 | sylanbrc 583 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈
(ℤ≥‘2)) |
| 56 | | eluz2nn 12924 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℕ) |
| 57 | 55, 56 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ) |
| 58 | 57 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ) |
| 59 | | simpr 484 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ) |
| 60 | | oveq1 7438 |
. . . . 5
⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
| 61 | 1, 14, 58, 59, 60 | pcmpt 16930 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0)) |
| 62 | | iftrue 4531 |
. . . . . 6
⊢ (𝑝 ≤ 𝐾 → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
| 63 | 62 | adantl 481 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝐾) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
| 64 | | iffalse 4534 |
. . . . . . 7
⊢ (¬
𝑝 ≤ 𝐾 → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0) |
| 65 | 64 | adantl 481 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0) |
| 66 | 24 | zred 12722 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 67 | | prmz 16712 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℤ) |
| 68 | 67 | zred 12722 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℝ) |
| 69 | | ltnle 11340 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾)) |
| 70 | 66, 68, 69 | syl2an 596 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾)) |
| 71 | 70 | biimpar 477 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → 𝐾 < 𝑝) |
| 72 | 6 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 73 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℙ) |
| 74 | 36 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 2 ∈ ℝ) |
| 75 | 66 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 76 | 67 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ) |
| 77 | 76 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ) |
| 78 | 53 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 2 ≤ 𝐾) |
| 79 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝐾 < 𝑝) |
| 80 | 74, 75, 77, 78, 79 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 2 < 𝑝) |
| 81 | 15, 79 | eqbrtrrid 5179 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝) |
| 82 | 22 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ) |
| 83 | | fllt 13846 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((2
· 𝑁) / 3) ∈
ℝ ∧ 𝑝 ∈
ℤ) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝)) |
| 84 | 82, 76, 83 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝)) |
| 85 | 81, 84 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝) |
| 86 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ≤ 𝑁) |
| 87 | 72, 73, 80, 85, 86 | bposlem2 27329 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0) |
| 88 | 87 | expr 456 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 ≤ 𝑁 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)) |
| 89 | | rspe 3249 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) |
| 90 | 89 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) |
| 91 | | bpos.2 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) |
| 92 | 91 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) |
| 93 | 90, 92 | pm2.21dd 195 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0) |
| 94 | 93 | expr 456 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)) |
| 95 | 10 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ) |
| 96 | 7 | faccld 14323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ) |
| 97 | 96, 96 | nnmulcld 12319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈
ℕ) |
| 98 | 97 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈
ℤ) |
| 99 | | dvdsmul1 16315 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((2
· 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧
((!‘𝑁) ·
(!‘𝑁)) ∈
ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) |
| 100 | 95, 98, 99 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) |
| 101 | | bcctr 27319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) |
| 102 | 7, 101 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) |
| 103 | 102 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)))) |
| 104 | 18 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℕ0) |
| 105 | 104 | faccld 14323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈
ℕ) |
| 106 | 105 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈
ℂ) |
| 107 | 97 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈
ℂ) |
| 108 | 97 | nnne0d 12316 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0) |
| 109 | 106, 107,
108 | divcan1d 12044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (((!‘(2 ·
𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (!‘(2 · 𝑁))) |
| 110 | 103, 109 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (!‘(2 · 𝑁))) |
| 111 | 100, 110 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) |
| 112 | 111 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) |
| 113 | 67 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ) |
| 114 | 95 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ) |
| 115 | 105 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈
ℤ) |
| 116 | 115 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(2 ·
𝑁)) ∈
ℤ) |
| 117 | | dvdstr 16331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2
· 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧
(!‘(2 · 𝑁))
∈ ℤ) → ((𝑝
∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)))) |
| 118 | 113, 114,
116, 117 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)))) |
| 119 | 112, 118 | mpan2d 694 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)))) |
| 120 | | prmfac1 16757 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((2
· 𝑁) ∈
ℕ0 ∧ 𝑝
∈ ℙ ∧ 𝑝
∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)) |
| 121 | 120 | 3expia 1122 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((2
· 𝑁) ∈
ℕ0 ∧ 𝑝
∈ ℙ) → (𝑝
∥ (!‘(2 · 𝑁)) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) |
| 122 | 104, 121 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) |
| 123 | 119, 122 | syld 47 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) |
| 124 | 123 | con3d 152 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
| 125 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℙ) |
| 126 | | pceq0 16909 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((2
· 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
| 127 | 125, 10, 126 | syl2anr 597 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
| 128 | 124, 127 | sylibrd 259 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)) |
| 129 | 128 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)) |
| 130 | 94, 129 | pm2.61d 179 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0) |
| 131 | 130 | ex 412 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)) |
| 132 | 131 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑁 < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)) |
| 133 | | lelttric 11368 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝)) |
| 134 | 68, 29, 133 | syl2anr 597 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝)) |
| 135 | 134 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝)) |
| 136 | 88, 132, 135 | mpjaod 861 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0) |
| 137 | 71, 136 | syldan 591 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0) |
| 138 | 65, 137 | eqtr4d 2780 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
| 139 | 63, 138 | pm2.61dan 813 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
| 140 | 61, 139 | eqtrd 2777 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
| 141 | 140 | ralrimiva 3146 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) |
| 142 | 1, 13 | pcmptcl 16929 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( ·
, 𝐹):ℕ⟶ℕ)) |
| 143 | 142 | simprd 495 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ) |
| 144 | 143, 57 | ffvelcdmd 7105 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ) |
| 145 | 144 | nnnn0d 12587 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈
ℕ0) |
| 146 | 10 | nnnn0d 12587 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈
ℕ0) |
| 147 | | pc11 16918 |
. . 3
⊢ (((seq1(
· , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0
∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
→ ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) |
| 148 | 145, 146,
147 | syl2anc 584 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))) |
| 149 | 141, 148 | mpbird 257 |
1
⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁)) |