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Theorem bposlem3 25548
Description: Lemma for bpos 25555. Since the binomial coefficient does not have any primes in the range (2𝑁 / 3, 𝑁] or (2𝑁, +∞) by bposlem2 25547 and prmfac1 15896, respectively, and it does not have any in the range (𝑁, 2𝑁] by hypothesis, the product of the primes up through 2𝑁 / 3 must be sufficient to compose the whole binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
bpos.2 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
Assertion
Ref Expression
bposlem3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑛,𝑁,𝑝   𝜑,𝑛,𝑝
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem bposlem3
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
2 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
3 5nn 11577 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℕ
4 bpos.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
5 eluznn 12171 . . . . . . . . . . . 12 ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
63, 4, 5sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76nnnn0d 11809 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
8 fzctr 12873 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9 bccl2 13537 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
1110adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
122, 11pccld 16020 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
1312ralrimiva 3151 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
1413adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
15 bpos.4 . . . . . . . . 9 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
16 2nn 11564 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
17 nnmulcl 11515 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
1816, 6, 17sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
1918nnred 11507 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
20 3nn 11570 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
21 nndivre 11532 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
2219, 20, 21sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
2322flcld 13022 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ ℤ)
2415, 23syl5eqel 2889 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
25 3re 11571 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
27 5re 11578 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
296nnred 11507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
30 3lt5 11669 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 < 5
3125, 27, 30ltleii 10616 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ≤ 5
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 3 ≤ 5)
33 eluzle 12110 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → 5 ≤ 𝑁)
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
3526, 28, 29, 32, 34letrd 10650 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
36 2re 11565 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
37 2pos 11594 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
3836, 37pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39 lemul2 11347 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
4025, 38, 39mp3an13 1444 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
4129, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
4235, 41mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁))
43 3pos 11596 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 3
4425, 43pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
45 lemuldiv 11374 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
4636, 44, 45mp3an13 1444 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
4719, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
4842, 47mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
49 2z 11868 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
50 flge 13029 . . . . . . . . . . 11 ((((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
5122, 49, 50sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
5248, 51mpbid 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))
5352, 15syl6breqr 5010 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≤ 𝐾)
5449eluz1i 12105 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐾))
5524, 53, 54sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
56 eluz2nn 12137 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
5755, 56syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
5857adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ)
59 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
60 oveq1 7030 . . . . 5 (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
611, 14, 58, 59, 60pcmpt 16061 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0))
62 iftrue 4393 . . . . . 6 (𝑝𝐾 → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
6362adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝐾) → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
64 iffalse 4396 . . . . . . 7 𝑝𝐾 → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
6564adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝𝐾) → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
6624zred 11941 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
67 prmz 15852 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
6867zred 11941 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
69 ltnle 10573 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝐾))
7066, 68, 69syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝐾))
7170biimpar 478 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝𝐾) → 𝐾 < 𝑝)
726ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
73 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℙ)
7436a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
7566ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
7667ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ)
7776zred 11941 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ)
7853ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 2 ≤ 𝐾)
79 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝐾 < 𝑝)
8074, 75, 77, 78, 79lelttrd 10651 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 2 < 𝑝)
8115, 79eqbrtrrid 5004 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝)
8222ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
83 fllt 13030 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝))
8482, 76, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝))
8581, 84mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝)
86 simprr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝑝𝑁)
8772, 73, 80, 85, 86bposlem2 25547 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
8887expr 457 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝𝑁 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
89 rspe 3269 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
9089adantll 710 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
91 bpos.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
9291ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
9390, 92pm2.21dd 196 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
9493expr 457 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
9510nnzd 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
967faccld 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
9796, 96nnmulcld 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
9897nnzd 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ)
99 dvdsmul1 15468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
10095, 98, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
101 bcctr 25537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
1027, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
103102oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
10418nnnn0d 11809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
105104faccld 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
106105nncnd 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
10797nncnd 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
10897nnne0d 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
109106, 107, 108divcan1d 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (!‘(2 · 𝑁)))
110103, 109eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (!‘(2 · 𝑁)))
111100, 110breqtrd 4994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁)))
112111adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁)))
11367adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
11495adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
115105nnzd 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
116115adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
117 dvdstr 15483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
118113, 114, 116, 117syl3anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
119112, 118mpan2d 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
120 prmfac1 15896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))
1211203expia 1114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
122104, 121sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
123119, 122syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
124123con3d 155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
125 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
126 pceq0 16040 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
127125, 10, 126syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
128124, 127sylibrd 260 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
129128adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
13094, 129pm2.61d 180 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
131130ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
132131adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑁 < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
133 lelttric 10600 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑝𝑁𝑁 < 𝑝))
13468, 29, 133syl2anr 596 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑁𝑁 < 𝑝))
135134adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝𝑁𝑁 < 𝑝))
13688, 132, 135mpjaod 855 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
13771, 136syldan 591 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝𝐾) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
13865, 137eqtr4d 2836 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝𝐾) → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
13963, 138pm2.61dan 809 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
14061, 139eqtrd 2833 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
141140ralrimiva 3151 . 2 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
1421, 13pcmptcl 16060 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
143142simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
144143, 57ffvelrnd 6724 . . . 4 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ)
145144nnnn0d 11809 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0)
14610nnnn0d 11809 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
147 pc11 16049 . . 3 (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
148145, 146, 147syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
149141, 148mpbird 258 1 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842   = wceq 1525  wcel 2083  wral 3107  wrex 3108  ifcif 4387   class class class wbr 4968  cmpt 5047  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   · cmul 10395   < clt 10528  cle 10529   / cdiv 11151  cn 11492  2c2 11546  3c3 11547  5c5 11549  0cn0 11751  cz 11835  cuz 12097  ...cfz 12746  cfl 13014  seqcseq 13223  cexp 13283  !cfa 13487  Ccbc 13516  cdvds 15444  cprime 15848   pCnt cpc 16006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-fac 13488  df-bc 13517  df-hash 13545  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-clim 14683  df-sum 14881  df-dvds 15445  df-gcd 15681  df-prm 15849  df-pc 16007
This theorem is referenced by:  bposlem6  25551
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