bposlem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem bposlem3 26671

Description: Lemma for bpos 26678. Since the binomial coefficient does not have any primes in the range (2𝑁 / 3, 𝑁] or (2𝑁, +∞) by bposlem2 26670 and prmfac1 16608, respectively, and it does not have any in the range (𝑁, 2𝑁] by hypothesis, the product of the primes up through 2𝑁 / 3 must be sufficient to compose the whole binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem3	⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁))

Distinct variable groups: 𝐹,𝑝 𝑛,𝑝,𝐾 𝑛,𝑁,𝑝 𝜑,𝑛,𝑝 Allowed substitution hint: 𝐹(𝑛)

**Proof of Theorem bposlem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos.3	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
2		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
3		5nn 12248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℕ
4		bpos.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
5		eluznn 12852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
8		fzctr 13563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9		bccl2 14233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
11	10	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
12	2, 11	pccld 16733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
13	12	ralrimiva 3139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
14	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
15		bpos.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
16		2nn 12235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
17		nnmulcl 12186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
18	16, 6, 17	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
19	18	nnred 12177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
20		3nn 12241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
21		nndivre 12203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
22	19, 20, 21	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
23	22	flcld 13713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ ℤ)
24	15, 23	eqeltrid 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25		3re 12242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
27		5re 12249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
29	6	nnred 12177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
30		3lt5 12340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 < 5
31	25, 27, 30	ltleii 11287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ≤ 5
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 5)
33		eluzle 12785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) → 5 ≤ 𝑁)
34	4, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
35	26, 28, 29, 32, 34	letrd 11321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
36		2re 12236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		2pos 12265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
38	36, 37	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39		lemul2 12017	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
40	25, 38, 39	mp3an13 1452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
41	29, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
42	35, 41	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁))
43		3pos 12267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 3
44	25, 43	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
45		lemuldiv 12044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
46	36, 44, 45	mp3an13 1452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
47	19, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
48	42, 47	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
49		2z 12544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
50		flge 13720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
51	22, 49, 50	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
52	48, 51	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))
53	52, 15	breqtrrdi 5152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐾)
54	49	eluz1i 12780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐾))
55	24, 53, 54	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2))
56		eluz2nn 12818	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
57	55, 56	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
58	57	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ)
59		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
60		oveq1 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
61	1, 14, 58, 59, 60	pcmpt 16775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0))
62		iftrue 4497	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ≤ 𝐾 → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
63	62	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝐾) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
64		iffalse 4500	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑝 ≤ 𝐾 → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
65	64	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
66	24	zred 12616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
67		prmz 16562	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
68	67	zred 12616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
69		ltnle 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾))
70	66, 68, 69	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾))
71	70	biimpar 478	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → 𝐾 < 𝑝)
72	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
73		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℙ)
74	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
75	66	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
76	67	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ)
77	76	zred 12616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ)
78	53	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 2 ≤ 𝐾)
79		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝐾 < 𝑝)
80	74, 75, 77, 78, 79	lelttrd 11322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 2 < 𝑝)
81	15, 79	eqbrtrrid 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝)
82	22	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
83		fllt 13721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝))
84	82, 76, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝))
85	81, 84	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝)
86		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ≤ 𝑁)
87	72, 73, 80, 85, 86	bposlem2 26670	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
88	87	expr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 ≤ 𝑁 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
89		rspe 3230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
90	89	adantll 712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
91		bpos.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
92	91	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
93	90, 92	pm2.21dd 194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
94	93	expr 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
95	10	nnzd 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
96	7	faccld 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
97	96, 96	nnmulcld 12215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
98	97	nnzd 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ)
99		dvdsmul1 16171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
100	95, 98, 99	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
101		bcctr 26660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
102	7, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
103	102	oveq1d 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
104	18	nnnn0d 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ₀)
105	104	faccld 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
106	105	nncnd 12178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
107	97	nncnd 12178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
108	97	nnne0d 12212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
109	106, 107, 108	divcan1d 11941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (!‘(2 · 𝑁)))
110	103, 109	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (!‘(2 · 𝑁)))
111	100, 110	breqtrd 5136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁)))
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁)))
113	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
114	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
115	105	nnzd 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
116	115	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
117		dvdstr 16187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
118	113, 114, 116, 117	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
119	112, 118	mpan2d 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
120		prmfac1 16608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))
121	120	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
122	104, 121	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
123	119, 122	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
124	123	con3d 152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
125		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
126		pceq0 16754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
127	125, 10, 126	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
128	124, 127	sylibrd 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
129	128	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
130	94, 129	pm2.61d 179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
131	130	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
132	131	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑁 < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
133		lelttric 11271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝))
134	68, 29, 133	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝))
135	134	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝))
136	88, 132, 135	mpjaod 858	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
137	71, 136	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
138	65, 137	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
139	63, 138	pm2.61dan 811	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
140	61, 139	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
141	140	ralrimiva 3139	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
142	1, 13	pcmptcl 16774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
143	142	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
144	143, 57	ffvelcdmd 7041	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ)
145	144	nnnn0d 12482	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ₀)
146	10	nnnn0d 12482	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ₀)
147		pc11 16763	. . 3 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ₀) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
148	145, 146, 147	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
149	141, 148	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 845 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ∀wral 3060 ∃wrex 3069 ifcif 4491 class class class wbr 5110 ↦ cmpt 5193 ⟶wf 6497 ‘cfv 6501 (class class class)co 7362 ℝcr 11059 0cc0 11060 1c1 11061 · cmul 11065 < clt 11198 ≤ cle 11199 / cdiv 11821 ℕcn 12162 2c2 12217 3c3 12218 5c5 12220 ℕ₀cn0 12422 ℤcz 12508 ℤ_≥cuz 12772 ...cfz 13434 ⌊cfl 13705 seqcseq 13916 ↑cexp 13977 !cfa 14183 Ccbc 14212 ∥ cdvds 16147 ℙcprime 16558 pCnt cpc 16719

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2702 ax-rep 5247 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-inf2 9586 ax-cnex 11116 ax-resscn 11117 ax-1cn 11118 ax-icn 11119 ax-addcl 11120 ax-addrcl 11121 ax-mulcl 11122 ax-mulrcl 11123 ax-mulcom 11124 ax-addass 11125 ax-mulass 11126 ax-distr 11127 ax-i2m1 11128 ax-1ne0 11129 ax-1rid 11130 ax-rnegex 11131 ax-rrecex 11132 ax-cnre 11133 ax-pre-lttri 11134 ax-pre-lttrn 11135 ax-pre-ltadd 11136 ax-pre-mulgt0 11137 ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3406 df-v 3448 df-sbc 3743 df-csb 3859 df-dif 3916 df-un 3918 df-in 3920 df-ss 3930 df-pss 3932 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-int 4913 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-se 5594 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-isom 6510 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-om 7808 df-1st 7926 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-1o 8417 df-2o 8418 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-sup 9387 df-inf 9388 df-oi 9455 df-card 9884 df-pnf 11200 df-mnf 11201 df-xr 11202 df-ltxr 11203 df-le 11204 df-sub 11396 df-neg 11397 df-div 11822 df-nn 12163 df-2 12225 df-3 12226 df-4 12227 df-5 12228 df-n0 12423 df-z 12509 df-uz 12773 df-q 12883 df-rp 12925 df-fz 13435 df-fzo 13578 df-fl 13707 df-mod 13785 df-seq 13917 df-exp 13978 df-fac 14184 df-bc 14213 df-hash 14241 df-cj 14996 df-re 14997 df-im 14998 df-sqrt 15132 df-abs 15133 df-clim 15382 df-sum 15583 df-dvds 16148 df-gcd 16386 df-prm 16559 df-pc 16720

This theorem is referenced by: bposlem6 26674

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