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Theorem bposlem3 27013
Description: Lemma for bpos 27020. Since the binomial coefficient does not have any primes in the range (2𝑁 / 3, 𝑁] or (2𝑁, +∞) by bposlem2 27012 and prmfac1 16662, respectively, and it does not have any in the range (𝑁, 2𝑁] by hypothesis, the product of the primes up through 2𝑁 / 3 must be sufficient to compose the whole binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜5))
bpos.2 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
bpos.3 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4 𝐾 = (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3))
Assertion
Ref Expression
bposlem3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ) = ((2 Β· 𝑁)C𝑁))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑛,𝑁,𝑝   πœ‘,𝑛,𝑝
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem bposlem3
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1))
2 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ 𝑛 ∈ β„™)
3 5nn 12302 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ β„•
4 bpos.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜5))
5 eluznn 12906 . . . . . . . . . . . 12 ((5 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜5)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
63, 4, 5sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
76nnnn0d 12536 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
8 fzctr 13617 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0...(2 Β· 𝑁)))
9 bccl2 14287 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...(2 Β· 𝑁)) β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•)
1110adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•)
122, 11pccld 16787 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) ∈ β„•0)
1312ralrimiva 3146 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ (𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) ∈ β„•0)
1413adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ (𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) ∈ β„•0)
15 bpos.4 . . . . . . . . 9 𝐾 = (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3))
16 2nn 12289 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•
17 nnmulcl 12240 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„•)
1816, 6, 17sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„•)
1918nnred 12231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
20 3nn 12295 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ β„•
21 nndivre 12257 . . . . . . . . . . 11 (((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
2219, 20, 21sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
2322flcld 13767 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3)) ∈ β„€)
2415, 23eqeltrid 2837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
25 3re 12296 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 3 ∈ ℝ)
27 5re 12303 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 5 ∈ ℝ)
296nnred 12231 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
30 3lt5 12394 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 < 5
3125, 27, 30ltleii 11341 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ≀ 5
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 3 ≀ 5)
33 eluzle 12839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜5) β†’ 5 ≀ 𝑁)
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 5 ≀ 𝑁)
3526, 28, 29, 32, 34letrd 11375 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 3 ≀ 𝑁)
36 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
37 2pos 12319 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
3836, 37pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39 lemul2 12071 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (3 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 3) ≀ (2 Β· 𝑁)))
4025, 38, 39mp3an13 1452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (3 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 3) ≀ (2 Β· 𝑁)))
4129, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (3 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 3) ≀ (2 Β· 𝑁)))
4235, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 Β· 3) ≀ (2 Β· 𝑁))
43 3pos 12321 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 3
4425, 43pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
45 lemuldiv 12098 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) β†’ ((2 Β· 3) ≀ (2 Β· 𝑁) ↔ 2 ≀ ((2 Β· 𝑁) / 3)))
4636, 44, 45mp3an13 1452 . . . . . . . . . . . 12 ((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ β†’ ((2 Β· 3) ≀ (2 Β· 𝑁) ↔ 2 ≀ ((2 Β· 𝑁) / 3)))
4719, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 3) ≀ (2 Β· 𝑁) ↔ 2 ≀ ((2 Β· 𝑁) / 3)))
4842, 47mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 ≀ ((2 Β· 𝑁) / 3))
49 2z 12598 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„€
50 flge 13774 . . . . . . . . . . 11 ((((2 Β· 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (2 ≀ ((2 Β· 𝑁) / 3) ↔ 2 ≀ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3))))
5122, 49, 50sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 ≀ ((2 Β· 𝑁) / 3) ↔ 2 ≀ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3))))
5248, 51mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3)))
5352, 15breqtrrdi 5190 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 𝐾)
5449eluz1i 12834 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 𝐾))
5524, 53, 54sylanbrc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
56 eluz2nn 12872 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐾 ∈ β„•)
5755, 56syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
5857adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝐾 ∈ β„•)
59 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
60 oveq1 7418 . . . . 5 (𝑛 = 𝑝 β†’ (𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
611, 14, 58, 59, 60pcmpt 16829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ)) = if(𝑝 ≀ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)), 0))
62 iftrue 4534 . . . . . 6 (𝑝 ≀ 𝐾 β†’ if(𝑝 ≀ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
6362adantl 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝑝 ≀ 𝐾) β†’ if(𝑝 ≀ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
64 iffalse 4537 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝐾 β†’ if(𝑝 ≀ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
6564adantl 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝐾) β†’ if(𝑝 ≀ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
6624zred 12670 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
67 prmz 16616 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
6867zred 12670 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
69 ltnle 11297 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) β†’ (𝐾 < 𝑝 ↔ Β¬ 𝑝 ≀ 𝐾))
7066, 68, 69syl2an 596 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝐾 < 𝑝 ↔ Β¬ 𝑝 ≀ 𝐾))
7170biimpar 478 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝐾) β†’ 𝐾 < 𝑝)
726ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
73 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
7436a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 2 ∈ ℝ)
7566ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
7667ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝑝 ∈ β„€)
7776zred 12670 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
7853ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 2 ≀ 𝐾)
79 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝐾 < 𝑝)
8074, 75, 77, 78, 79lelttrd 11376 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 2 < 𝑝)
8115, 79eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3)) < 𝑝)
8222ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ ((2 Β· 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
83 fllt 13775 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 Β· 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ β„€) β†’ (((2 Β· 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3)) < 𝑝))
8482, 76, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (((2 Β· 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3)) < 𝑝))
8581, 84mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ ((2 Β· 𝑁) / 3) < 𝑝)
86 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝑝 ≀ 𝑁)
8772, 73, 80, 85, 86bposlem2 27012 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0)
8887expr 457 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝐾 < 𝑝) β†’ (𝑝 ≀ 𝑁 β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0))
89 rspe 3246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
9089adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
91 bpos.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
9291ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁))) β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
9390, 92pm2.21dd 194 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁))) β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0)
9493expr 457 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝑁 < 𝑝) β†’ (𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁) β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0))
9510nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„€)
967faccld 14248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
9796, 96nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘)) ∈ β„•)
9897nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘)) ∈ β„€)
99 dvdsmul1 16225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„€ ∧ ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘)) ∈ β„€) β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) βˆ₯ (((2 Β· 𝑁)C𝑁) Β· ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))))
10095, 98, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) βˆ₯ (((2 Β· 𝑁)C𝑁) Β· ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))))
101 bcctr 27002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) = ((!β€˜(2 Β· 𝑁)) / ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))))
1027, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) = ((!β€˜(2 Β· 𝑁)) / ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))))
103102oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (((2 Β· 𝑁)C𝑁) Β· ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))) = (((!β€˜(2 Β· 𝑁)) / ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))) Β· ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))))
10418nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„•0)
105104faccld 14248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (!β€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ β„•)
106105nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (!β€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ β„‚)
10797nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘)) ∈ β„‚)
10897nnne0d 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘)) β‰  0)
109106, 107, 108divcan1d 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (((!β€˜(2 Β· 𝑁)) / ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))) Β· ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))) = (!β€˜(2 Β· 𝑁)))
110103, 109eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (((2 Β· 𝑁)C𝑁) Β· ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))) = (!β€˜(2 Β· 𝑁)))
111100, 110breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁)))
112111adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁)))
11367adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„€)
11495adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„€)
115105nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (!β€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ β„€)
116115adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (!β€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ β„€)
117 dvdstr 16241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ β„€) β†’ ((𝑝 βˆ₯ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁))) β†’ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁))))
118113, 114, 116, 117syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 βˆ₯ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁))) β†’ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁))))
119112, 118mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 βˆ₯ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) β†’ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁))))
120 prmfac1 16662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 Β· 𝑁) ∈ β„•0 ∧ 𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁))) β†’ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁))
1211203expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 Β· 𝑁) ∈ β„•0 ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁)) β†’ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
122104, 121sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁)) β†’ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
123119, 122syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 βˆ₯ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) β†’ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
124123con3d 152 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁) β†’ Β¬ 𝑝 βˆ₯ ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
125 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„™)
126 pceq0 16808 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•) β†’ ((𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ Β¬ 𝑝 βˆ₯ ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
127125, 10, 126syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ Β¬ 𝑝 βˆ₯ ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
128124, 127sylibrd 258 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁) β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0))
129128adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝑁 < 𝑝) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁) β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0))
13094, 129pm2.61d 179 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝑁 < 𝑝) β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0)
131130ex 413 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑁 < 𝑝 β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0))
132131adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝐾 < 𝑝) β†’ (𝑁 < 𝑝 β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0))
133 lelttric 11325 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ≀ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝))
13468, 29, 133syl2anr 597 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 ≀ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝))
135134adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝐾 < 𝑝) β†’ (𝑝 ≀ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝))
13688, 132, 135mpjaod 858 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝐾 < 𝑝) β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0)
13771, 136syldan 591 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝐾) β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0)
13865, 137eqtr4d 2775 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝐾) β†’ if(𝑝 ≀ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
13963, 138pm2.61dan 811 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ if(𝑝 ≀ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
14061, 139eqtrd 2772 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ)) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
141140ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ β„™ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ)) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
1421, 13pcmptcl 16828 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•))
143142simprd 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•)
144143, 57ffvelcdmd 7087 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ) ∈ β„•)
145144nnnn0d 12536 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ) ∈ β„•0)
14610nnnn0d 12536 . . 3 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•0)
147 pc11 16817 . . 3 (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ) ∈ β„•0 ∧ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•0) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ) = ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„™ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ)) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))))
148145, 146, 147syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ) = ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„™ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ)) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))))
149141, 148mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ) = ((2 Β· 𝑁)C𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  5c5 12274  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  βŒŠcfl 13759  seqcseq 13970  β†‘cexp 14031  !cfa 14237  Ccbc 14266   βˆ₯ cdvds 16201  β„™cprime 16612   pCnt cpc 16773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774
This theorem is referenced by:  bposlem6  27016
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