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Theorem bposlem3 27204

Description: Lemma for bpos 27211. Since the binomial coefficient does not have any primes in the range (2𝑁 / 3, 𝑁] or (2𝑁, +∞) by bposlem2 27203 and prmfac1 16697, respectively, and it does not have any in the range (𝑁, 2𝑁] by hypothesis, the product of the primes up through 2𝑁 / 3 must be sufficient to compose the whole binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem3	⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁))

Distinct variable groups: 𝐹,𝑝 𝑛,𝑝,𝐾 𝑛,𝑁,𝑝 𝜑,𝑛,𝑝 Allowed substitution hint: 𝐹(𝑛)

**Proof of Theorem bposlem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos.3	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
2		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
3		5nn 12279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℕ
4		bpos.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
5		eluznn 12884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
8		fzctr 13608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9		bccl2 14295	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
12	2, 11	pccld 16828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
13	12	ralrimiva 3126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
15		bpos.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
16		2nn 12266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
17		nnmulcl 12217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
18	16, 6, 17	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
19	18	nnred 12208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
20		3nn 12272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
21		nndivre 12234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
22	19, 20, 21	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
23	22	flcld 13767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ ℤ)
24	15, 23	eqeltrid 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25		3re 12273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
27		5re 12280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
29	6	nnred 12208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
30		3lt5 12366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 < 5
31	25, 27, 30	ltleii 11304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ≤ 5
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 5)
33		eluzle 12813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) → 5 ≤ 𝑁)
34	4, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
35	26, 28, 29, 32, 34	letrd 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
36		2re 12267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		2pos 12296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
38	36, 37	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39		lemul2 12042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
40	25, 38, 39	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
41	29, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
42	35, 41	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁))
43		3pos 12298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 3
44	25, 43	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
45		lemuldiv 12070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
46	36, 44, 45	mp3an13 1454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
47	19, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
48	42, 47	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
49		2z 12572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
50		flge 13774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
51	22, 49, 50	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
52	48, 51	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))
53	52, 15	breqtrrdi 5152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐾)
54	49	eluz1i 12808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐾))
55	24, 53, 54	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2))
56		eluz2nn 12854	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
57	55, 56	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
58	57	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ)
59		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
60		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
61	1, 14, 58, 59, 60	pcmpt 16870	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0))
62		iftrue 4497	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ≤ 𝐾 → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
63	62	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝐾) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
64		iffalse 4500	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑝 ≤ 𝐾 → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
65	64	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
66	24	zred 12645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
67		prmz 16652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
68	67	zred 12645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
69		ltnle 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾))
70	66, 68, 69	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾))
71	70	biimpar 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → 𝐾 < 𝑝)
72	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
73		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℙ)
74	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
75	66	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
76	67	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ)
77	76	zred 12645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ)
78	53	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 2 ≤ 𝐾)
79		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝐾 < 𝑝)
80	74, 75, 77, 78, 79	lelttrd 11339	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 2 < 𝑝)
81	15, 79	eqbrtrrid 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝)
82	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
83		fllt 13775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝))
84	82, 76, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝))
85	81, 84	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝)
86		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ≤ 𝑁)
87	72, 73, 80, 85, 86	bposlem2 27203	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
88	87	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 ≤ 𝑁 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
89		rspe 3228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
90	89	adantll 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
91		bpos.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
92	91	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
93	90, 92	pm2.21dd 195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
94	93	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
95	10	nnzd 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
96	7	faccld 14256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
97	96, 96	nnmulcld 12246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
98	97	nnzd 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ)
99		dvdsmul1 16254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
100	95, 98, 99	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
101		bcctr 27193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
102	7, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
103	102	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
104	18	nnnn0d 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ₀)
105	104	faccld 14256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
106	105	nncnd 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
107	97	nncnd 12209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
108	97	nnne0d 12243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
109	106, 107, 108	divcan1d 11966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (!‘(2 · 𝑁)))
110	103, 109	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (!‘(2 · 𝑁)))
111	100, 110	breqtrd 5136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁)))
112	111	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁)))
113	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
114	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
115	105	nnzd 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
116	115	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
117		dvdstr 16271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
118	113, 114, 116, 117	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
119	112, 118	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
120		prmfac1 16697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))
121	120	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
122	104, 121	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
123	119, 122	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
124	123	con3d 152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
125		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
126		pceq0 16849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
127	125, 10, 126	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
128	124, 127	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
129	128	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
130	94, 129	pm2.61d 179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
131	130	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
132	131	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑁 < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
133		lelttric 11288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝))
134	68, 29, 133	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝))
135	134	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝))
136	88, 132, 135	mpjaod 860	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
137	71, 136	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
138	65, 137	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
139	63, 138	pm2.61dan 812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
140	61, 139	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
141	140	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
142	1, 13	pcmptcl 16869	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
143	142	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
144	143, 57	ffvelcdmd 7060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ)
145	144	nnnn0d 12510	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ₀)
146	10	nnnn0d 12510	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ₀)
147		pc11 16858	. . 3 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ₀) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
148	145, 146, 147	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
149	141, 148	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∀wral 3045 ∃wrex 3054 ifcif 4491 class class class wbr 5110 ↦ cmpt 5191 ⟶wf 6510 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 ℝcr 11074 0cc0 11075 1c1 11076 · cmul 11080 < clt 11215 ≤ cle 11216 / cdiv 11842 ℕcn 12193 2c2 12248 3c3 12249 5c5 12251 ℕ₀cn0 12449 ℤcz 12536 ℤ_≥cuz 12800 ...cfz 13475 ⌊cfl 13759 seqcseq 13973 ↑cexp 14033 !cfa 14245 Ccbc 14274 ∥ cdvds 16229 ℙcprime 16648 pCnt cpc 16814

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-rep 5237 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-inf2 9601 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-op 4599 df-uni 4875 df-int 4914 df-iun 4960 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-se 5595 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-isom 6523 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-er 8674 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-sup 9400 df-inf 9401 df-oi 9470 df-card 9899 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-div 11843 df-nn 12194 df-2 12256 df-3 12257 df-4 12258 df-5 12259 df-n0 12450 df-z 12537 df-uz 12801 df-q 12915 df-rp 12959 df-fz 13476 df-fzo 13623 df-fl 13761 df-mod 13839 df-seq 13974 df-exp 14034 df-fac 14246 df-bc 14275 df-hash 14303 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-clim 15461 df-sum 15660 df-dvds 16230 df-gcd 16472 df-prm 16649 df-pc 16815

This theorem is referenced by: bposlem6 27207

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