bposlem3 - Metamath Proof Explorer

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Theorem bposlem3 27613

Description: Lemma for bpos 27620. Since the binomial coefficient does not have any primes in the range (2𝑁 / 3, 𝑁] or (2𝑁, +∞) by bposlem2 27612 and prmfac1 16896, respectively, and it does not have any in the range (𝑁, 2𝑁] by hypothesis, the product of the primes up through 2𝑁 / 3 must be sufficient to compose the whole binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bpos.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
bpos.2	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4	⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem3	⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁))

Distinct variable groups: 𝐹,𝑝 𝑛,𝑝,𝐾 𝑛,𝑁,𝑝 𝜑,𝑛,𝑝 Allowed substitution hint: 𝐹(𝑛)

**Proof of Theorem bposlem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos.3	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
2		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
3		5nn 12429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℕ
4		bpos.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5))
5		eluznn 13045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	3, 4, 5	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnnn0d 12667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
8		fzctr 13774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9		bccl2 14467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
10	7, 8, 9	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
12	2, 11	pccld 17028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
13	12	ralrimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ₀)
15		bpos.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
16		2nn 12416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
17		nnmulcl 12359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
18	16, 6, 17	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
19	18	nnred 12350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
20		3nn 12422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
21		nndivre 12379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
22	19, 20, 21	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
23	22	flcld 13938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ ℤ)
24	15, 23	eqeltrid 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
25		3re 12423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
27		5re 12430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℝ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
29	6	nnred 12350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
30		3lt5 12523	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 < 5
31	25, 27, 30	ltleii 11433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ≤ 5
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 5)
33		eluzle 12978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘5) → 5 ≤ 𝑁)
34	4, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
35	26, 28, 29, 32, 34	letrd 11467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
36		2re 12417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		2pos 12447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
38	36, 37	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39		lemul2 12170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
40	25, 38, 39	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
41	29, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
42	35, 41	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁))
43		3pos 12451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 3
44	25, 43	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
45		lemuldiv 12197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
46	36, 44, 45	mp3an13 1481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
47	19, 46	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
48	42, 47	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
49		2z 12728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
50		flge 13945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
51	22, 49, 50	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
52	48, 51	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))
53	52, 15	breqtrrdi 5147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 𝐾)
54	49	eluz1i 12973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐾))
55	24, 53, 54	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2))
56		eluz2nn 13015	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
57	55, 56	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
58	57	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ)
59		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
60		oveq1 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
61	1, 14, 58, 59, 60	pcmpt 17070	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0))
62		iftrue 4488	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ≤ 𝐾 → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
63	62	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≤ 𝐾) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
64		iffalse 4491	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑝 ≤ 𝐾 → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
65	64	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
66	24	zred 12803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
67		prmz 16850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
68	67	zred 12803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
69		ltnle 11389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾))
70	66, 68, 69	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾))
71	70	biimpar 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → 𝐾 < 𝑝)
72	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
73		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℙ)
74	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
75	66	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
76	67	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ)
77	76	zred 12803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ)
78	53	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 2 ≤ 𝐾)
79		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝐾 < 𝑝)
80	74, 75, 77, 78, 79	lelttrd 11468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 2 < 𝑝)
81	15, 79	eqbrtrrid 5141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝)
82	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
83		fllt 13946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝))
84	82, 76, 83	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝))
85	81, 84	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝)
86		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → 𝑝 ≤ 𝑁)
87	72, 73, 80, 85, 86	bposlem2 27612	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑁)) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
88	87	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 ≤ 𝑁 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
89		rspe 3253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
90	89	adantll 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
91		bpos.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
92	91	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
93	90, 92	pm2.21dd 198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
94	93	expr 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
95	10	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
96	7	faccld 14428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
97	96, 96	nnmulcld 12391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
98	97	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ)
99		dvdsmul1 16447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
100	95, 98, 99	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
101		bcctr 27602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
102	7, 101	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
103	102	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
104	18	nnnn0d 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ₀)
105	104	faccld 14428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
106	105	nncnd 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
107	97	nncnd 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
108	97	nnne0d 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
109	106, 107, 108	divcan1d 12094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (!‘(2 · 𝑁)))
110	103, 109	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (!‘(2 · 𝑁)))
111	100, 110	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁)))
112	111	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁)))
113	67	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
114	95	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
115	105	nnzd 12719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
116	115	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
117		dvdstr 16464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
118	113, 114, 116, 117	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
119	112, 118	mpan2d 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
120		prmfac1 16896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))
121	120	3expia 1139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
122	104, 121	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
123	119, 122	syld 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
124	123	con3d 153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
125		id 23	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
126		pceq0 17049	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
127	125, 10, 126	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
128	124, 127	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
129	128	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
130	94, 129	pm2.61d 181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
131	130	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
132	131	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑁 < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
133		lelttric 11417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝))
134	68, 29, 133	syl2anr 609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝))
135	134	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝))
136	88, 132, 135	mpjaod 874	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
137	71, 136	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
138	65, 137	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝐾) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
139	63, 138	pm2.61dan 825	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝 ≤ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
140	61, 139	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
141	140	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
142	1, 13	pcmptcl 17069	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
143	142	simprd 501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
144	143, 57	ffvelcdmd 7085	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ)
145	144	nnnn0d 12667	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ₀)
146	10	nnnn0d 12667	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ₀)
147		pc11 17058	. . 3 ⊢ (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ₀ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ₀) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
148	145, 146, 147	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
149	141, 148	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ∀wral 3077 ∃wrex 3087 ifcif 4482 class class class wbr 5103 ↦ cmpt 5186 ⟶wf 6534 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 ℝcr 11199 0cc0 11200 1c1 11201 · cmul 11205 < clt 11343 ≤ cle 11344 / cdiv 11973 ℕcn 12335 2c2 12397 3c3 12398 5c5 12400 ℕ₀cn0 12606 ℤcz 12693 ℤ_≥cuz 12965 ...cfz 13639 ⌊cfl 13930 seqcseq 14144 ↑cexp 14204 !cfa 14417 Ccbc 14446 ∥ cdvds 16422 ℙcprime 16846 pCnt cpc 17014

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7751 ax-inf2 9642 ax-cnex 11256 ax-resscn 11257 ax-1cn 11258 ax-icn 11259 ax-addcl 11260 ax-addrcl 11261 ax-mulcl 11262 ax-mulrcl 11263 ax-mulcom 11264 ax-addass 11265 ax-mulass 11266 ax-distr 11267 ax-i2m1 11268 ax-1ne0 11269 ax-1rid 11270 ax-rnegex 11271 ax-rrecex 11272 ax-cnre 11273 ax-pre-lttri 11274 ax-pre-lttrn 11275 ax-pre-ltadd 11276 ax-pre-mulgt0 11277 ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-se 5605 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-isom 6547 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8299 df-wrecs 8330 df-recs 8379 df-rdg 8418 df-1o 8476 df-2o 8477 df-er 8717 df-en 8974 df-dom 8975 df-sdom 8976 df-fin 8977 df-sup 9434 df-inf 9435 df-oi 9504 df-card 10020 df-pnf 11345 df-mnf 11346 df-xr 11347 df-ltxr 11348 df-le 11349 df-sub 11543 df-neg 11544 df-div 11974 df-nn 12336 df-2 12405 df-3 12406 df-4 12407 df-5 12408 df-n0 12607 df-z 12694 df-uz 12966 df-q 13076 df-rp 13121 df-fz 13640 df-fzo 13789 df-fl 13932 df-mod 14010 df-seq 14145 df-exp 14205 df-fac 14418 df-bc 14447 df-hash 14475 df-cj 15266 df-re 15267 df-im 15268 df-sqrt 15402 df-abs 15403 df-clim 15655 df-sum 15854 df-dvds 16423 df-gcd 16665 df-prm 16847 df-pc 17015

This theorem is used by: bposlem6 27616

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