MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bposlem3 25302
Description: Lemma for bpos 25309. Since the binomial coefficient does not have any primes in the range (2𝑁 / 3, 𝑁] or (2𝑁, +∞) by bposlem2 25301 and prmfac1 15712, respectively, and it does not have any in the range (𝑁, 2𝑁] by hypothesis, the product of the primes up through 2𝑁 / 3 must be sufficient to compose the whole binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
bpos.2 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
Assertion
Ref Expression
bposlem3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑛,𝑁,𝑝   𝜑,𝑛,𝑝
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem bposlem3
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
2 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
3 5nn 11360 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℕ
4 bpos.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
5 eluznn 11959 . . . . . . . . . . . 12 ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
63, 4, 5sylancr 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76nnnn0d 11598 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
8 fzctr 12659 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9 bccl2 13314 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
1110adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
122, 11pccld 15836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
1312ralrimiva 3113 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
1413adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
15 bpos.4 . . . . . . . . 9 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
16 2nn 11345 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
17 nnmulcl 11299 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
1816, 6, 17sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
1918nnred 11291 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
20 3nn 11351 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
21 nndivre 11313 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
2219, 20, 21sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
2322flcld 12807 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ ℤ)
2415, 23syl5eqel 2848 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
25 3re 11352 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
27 5re 11361 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
296nnred 11291 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
30 3lt5 11456 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 < 5
3125, 27, 30ltleii 10414 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ≤ 5
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 3 ≤ 5)
33 eluzle 11899 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → 5 ≤ 𝑁)
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
3526, 28, 29, 32, 34letrd 10448 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
36 2re 11346 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
37 2pos 11382 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
3836, 37pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39 lemul2 11130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
4025, 38, 39mp3an13 1576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
4129, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
4235, 41mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁))
43 3pos 11384 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 3
4425, 43pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
45 lemuldiv 11157 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
4636, 44, 45mp3an13 1576 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
4719, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
4842, 47mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
49 2z 11656 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
50 flge 12814 . . . . . . . . . . 11 ((((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
5122, 49, 50sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
5248, 51mpbid 223 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))
5352, 15syl6breqr 4851 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≤ 𝐾)
5449eluz1i 11894 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐾))
5524, 53, 54sylanbrc 578 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
56 eluz2nn 11926 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
5755, 56syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
5857adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ)
59 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
60 oveq1 6849 . . . . 5 (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
611, 14, 58, 59, 60pcmpt 15877 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0))
62 iftrue 4249 . . . . . 6 (𝑝𝐾 → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
6362adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝐾) → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
64 iffalse 4252 . . . . . . 7 𝑝𝐾 → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
6564adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝𝐾) → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
6624zred 11729 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
67 prmz 15671 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
6867zred 11729 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
69 ltnle 10371 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝐾))
7066, 68, 69syl2an 589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝐾))
7170biimpar 469 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝𝐾) → 𝐾 < 𝑝)
726ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
73 simplr 785 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℙ)
7436a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
7566ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
7667ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ)
7776zred 11729 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ)
7853ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 2 ≤ 𝐾)
79 simprl 787 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝐾 < 𝑝)
8074, 75, 77, 78, 79lelttrd 10449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 2 < 𝑝)
8115, 79syl5eqbrr 4845 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝)
8222ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
83 fllt 12815 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝))
8482, 76, 83syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝))
8581, 84mpbird 248 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝)
86 simprr 789 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝑝𝑁)
8772, 73, 80, 85, 86bposlem2 25301 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
8887expr 448 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝𝑁 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
89 rspe 3149 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
9089adantll 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
91 bpos.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
9291ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
9390, 92pm2.21dd 186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
9493expr 448 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
9510nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
96 faccl 13274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
977, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
9897, 97nnmulcld 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
9998nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ)
100 dvdsmul1 15290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
10195, 99, 100syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
102 bcctr 25291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
1037, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
104103oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
10518nnnn0d 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
106 faccl 13274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
108107nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
10998nncnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
11098nnne0d 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
111108, 109, 110divcan1d 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (!‘(2 · 𝑁)))
112104, 111eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (!‘(2 · 𝑁)))
113101, 112breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁)))
114113adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁)))
11567adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
11695adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
117107nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
118117adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
119 dvdstr 15305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
120115, 116, 118, 119syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
121114, 120mpan2d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
122 prmfac1 15712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))
1231223expia 1150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
124105, 123sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
125121, 124syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
126125con3d 149 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
127 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
128 pceq0 15856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
129127, 10, 128syl2anr 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
130126, 129sylibrd 250 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
131130adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
13294, 131pm2.61d 171 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
133132ex 401 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
134133adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑁 < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
135 lelttric 10398 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑝𝑁𝑁 < 𝑝))
13668, 29, 135syl2anr 590 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑁𝑁 < 𝑝))
137136adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝𝑁𝑁 < 𝑝))
13888, 134, 137mpjaod 886 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
13971, 138syldan 585 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝𝐾) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
14065, 139eqtr4d 2802 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝𝐾) → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
14163, 140pm2.61dan 847 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
14261, 141eqtrd 2799 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
143142ralrimiva 3113 . 2 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
1441, 13pcmptcl 15876 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
145144simprd 489 . . . . 5 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
146145, 57ffvelrnd 6550 . . . 4 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ)
147146nnnn0d 11598 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0)
14810nnnn0d 11598 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
149 pc11 15865 . . 3 (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
150147, 148, 149syl2anc 579 . 2 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
151143, 150mpbird 248 1 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  ifcif 4243   class class class wbr 4809  cmpt 4888  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  3c3 11328  5c5 11330  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  cfl 12799  seqcseq 13008  cexp 13067  !cfa 13264  Ccbc 13293  cdvds 15267  cprime 15667   pCnt cpc 15822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704  df-dvds 15268  df-gcd 15500  df-prm 15668  df-pc 15823
This theorem is referenced by:  bposlem6  25305
  Copyright terms: Public domain W3C validator