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Theorem bposlem3 26650
Description: Lemma for bpos 26657. Since the binomial coefficient does not have any primes in the range (2𝑁 / 3, 𝑁] or (2𝑁, +∞) by bposlem2 26649 and prmfac1 16604, respectively, and it does not have any in the range (𝑁, 2𝑁] by hypothesis, the product of the primes up through 2𝑁 / 3 must be sufficient to compose the whole binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜5))
bpos.2 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
bpos.3 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4 𝐾 = (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3))
Assertion
Ref Expression
bposlem3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ) = ((2 Β· 𝑁)C𝑁))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑛,𝑁,𝑝   πœ‘,𝑛,𝑝
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem bposlem3
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ β„™, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))), 1))
2 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ 𝑛 ∈ β„™)
3 5nn 12246 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ β„•
4 bpos.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜5))
5 eluznn 12850 . . . . . . . . . . . 12 ((5 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜5)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
63, 4, 5sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
76nnnn0d 12480 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
8 fzctr 13560 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ (0...(2 Β· 𝑁)))
9 bccl2 14230 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...(2 Β· 𝑁)) β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•)
1110adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•)
122, 11pccld 16729 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„™) β†’ (𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) ∈ β„•0)
1312ralrimiva 3144 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ (𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) ∈ β„•0)
1413adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„™ (𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) ∈ β„•0)
15 bpos.4 . . . . . . . . 9 𝐾 = (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3))
16 2nn 12233 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•
17 nnmulcl 12184 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„•)
1816, 6, 17sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„•)
1918nnred 12175 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
20 3nn 12239 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ β„•
21 nndivre 12201 . . . . . . . . . . 11 (((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
2219, 20, 21sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
2322flcld 13710 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3)) ∈ β„€)
2415, 23eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„€)
25 3re 12240 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 3 ∈ ℝ)
27 5re 12247 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 5 ∈ ℝ)
296nnred 12175 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
30 3lt5 12338 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 < 5
3125, 27, 30ltleii 11285 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ≀ 5
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 3 ≀ 5)
33 eluzle 12783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜5) β†’ 5 ≀ 𝑁)
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 5 ≀ 𝑁)
3526, 28, 29, 32, 34letrd 11319 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 3 ≀ 𝑁)
36 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
37 2pos 12263 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
3836, 37pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39 lemul2 12015 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (3 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 3) ≀ (2 Β· 𝑁)))
4025, 38, 39mp3an13 1453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ β†’ (3 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 3) ≀ (2 Β· 𝑁)))
4129, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (3 ≀ 𝑁 ↔ (2 Β· 3) ≀ (2 Β· 𝑁)))
4235, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 Β· 3) ≀ (2 Β· 𝑁))
43 3pos 12265 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 3
4425, 43pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
45 lemuldiv 12042 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) β†’ ((2 Β· 3) ≀ (2 Β· 𝑁) ↔ 2 ≀ ((2 Β· 𝑁) / 3)))
4636, 44, 45mp3an13 1453 . . . . . . . . . . . 12 ((2 Β· 𝑁) ∈ ℝ β†’ ((2 Β· 3) ≀ (2 Β· 𝑁) ↔ 2 ≀ ((2 Β· 𝑁) / 3)))
4719, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 3) ≀ (2 Β· 𝑁) ↔ 2 ≀ ((2 Β· 𝑁) / 3)))
4842, 47mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 2 ≀ ((2 Β· 𝑁) / 3))
49 2z 12542 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„€
50 flge 13717 . . . . . . . . . . 11 ((((2 Β· 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (2 ≀ ((2 Β· 𝑁) / 3) ↔ 2 ≀ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3))))
5122, 49, 50sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2 ≀ ((2 Β· 𝑁) / 3) ↔ 2 ≀ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3))))
5248, 51mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3)))
5352, 15breqtrrdi 5152 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ≀ 𝐾)
5449eluz1i 12778 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 𝐾))
5524, 53, 54sylanbrc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
56 eluz2nn 12816 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐾 ∈ β„•)
5755, 56syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
5857adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝐾 ∈ β„•)
59 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
60 oveq1 7369 . . . . 5 (𝑛 = 𝑝 β†’ (𝑛 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
611, 14, 58, 59, 60pcmpt 16771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ)) = if(𝑝 ≀ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)), 0))
62 iftrue 4497 . . . . . 6 (𝑝 ≀ 𝐾 β†’ if(𝑝 ≀ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
6362adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝑝 ≀ 𝐾) β†’ if(𝑝 ≀ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
64 iffalse 4500 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝐾 β†’ if(𝑝 ≀ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
6564adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝐾) β†’ if(𝑝 ≀ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
6624zred 12614 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
67 prmz 16558 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
6867zred 12614 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
69 ltnle 11241 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) β†’ (𝐾 < 𝑝 ↔ Β¬ 𝑝 ≀ 𝐾))
7066, 68, 69syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝐾 < 𝑝 ↔ Β¬ 𝑝 ≀ 𝐾))
7170biimpar 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝐾) β†’ 𝐾 < 𝑝)
726ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
73 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
7436a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 2 ∈ ℝ)
7566ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
7667ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝑝 ∈ β„€)
7776zred 12614 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ)
7853ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 2 ≀ 𝐾)
79 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝐾 < 𝑝)
8074, 75, 77, 78, 79lelttrd 11320 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 2 < 𝑝)
8115, 79eqbrtrrid 5146 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3)) < 𝑝)
8222ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ ((2 Β· 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
83 fllt 13718 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 Β· 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ β„€) β†’ (((2 Β· 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3)) < 𝑝))
8482, 76, 83syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (((2 Β· 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (βŒŠβ€˜((2 Β· 𝑁) / 3)) < 𝑝))
8581, 84mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ ((2 Β· 𝑁) / 3) < 𝑝)
86 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ 𝑝 ≀ 𝑁)
8772, 73, 80, 85, 86bposlem2 26649 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝐾 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ 𝑁)) β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0)
8887expr 458 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝐾 < 𝑝) β†’ (𝑝 ≀ 𝑁 β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0))
89 rspe 3235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
9089adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
91 bpos.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
9291ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁))) β†’ Β¬ βˆƒπ‘ ∈ β„™ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
9390, 92pm2.21dd 194 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁))) β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0)
9493expr 458 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝑁 < 𝑝) β†’ (𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁) β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0))
9510nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„€)
967faccld 14191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (!β€˜π‘) ∈ β„•)
9796, 96nnmulcld 12213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘)) ∈ β„•)
9897nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘)) ∈ β„€)
99 dvdsmul1 16167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„€ ∧ ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘)) ∈ β„€) β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) βˆ₯ (((2 Β· 𝑁)C𝑁) Β· ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))))
10095, 98, 99syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) βˆ₯ (((2 Β· 𝑁)C𝑁) Β· ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))))
101 bcctr 26639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) = ((!β€˜(2 Β· 𝑁)) / ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))))
1027, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) = ((!β€˜(2 Β· 𝑁)) / ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))))
103102oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (((2 Β· 𝑁)C𝑁) Β· ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))) = (((!β€˜(2 Β· 𝑁)) / ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))) Β· ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))))
10418nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„•0)
105104faccld 14191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (!β€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ β„•)
106105nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (!β€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ β„‚)
10797nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘)) ∈ β„‚)
10897nnne0d 12210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘)) β‰  0)
109106, 107, 108divcan1d 11939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (((!β€˜(2 Β· 𝑁)) / ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))) Β· ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))) = (!β€˜(2 Β· 𝑁)))
110103, 109eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (((2 Β· 𝑁)C𝑁) Β· ((!β€˜π‘) Β· (!β€˜π‘))) = (!β€˜(2 Β· 𝑁)))
111100, 110breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁)))
112111adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁)))
11367adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„€)
11495adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„€)
115105nnzd 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (!β€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ β„€)
116115adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (!β€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ β„€)
117 dvdstr 16183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ β„€ ∧ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„€ ∧ (!β€˜(2 Β· 𝑁)) ∈ β„€) β†’ ((𝑝 βˆ₯ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁))) β†’ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁))))
118113, 114, 116, 117syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 βˆ₯ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁))) β†’ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁))))
119112, 118mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 βˆ₯ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) β†’ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁))))
120 prmfac1 16604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 Β· 𝑁) ∈ β„•0 ∧ 𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁))) β†’ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁))
1211203expia 1122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 Β· 𝑁) ∈ β„•0 ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁)) β†’ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
122104, 121sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 βˆ₯ (!β€˜(2 Β· 𝑁)) β†’ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
123119, 122syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 βˆ₯ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) β†’ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁)))
124123con3d 152 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁) β†’ Β¬ 𝑝 βˆ₯ ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
125 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„™)
126 pceq0 16750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ β„™ ∧ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•) β†’ ((𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ Β¬ 𝑝 βˆ₯ ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
127125, 10, 126syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ ((𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ Β¬ 𝑝 βˆ₯ ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
128124, 127sylibrd 259 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁) β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0))
129128adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝑁 < 𝑝) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ (2 Β· 𝑁) β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0))
13094, 129pm2.61d 179 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝑁 < 𝑝) β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0)
131130ex 414 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑁 < 𝑝 β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0))
132131adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝐾 < 𝑝) β†’ (𝑁 < 𝑝 β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0))
133 lelttric 11269 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (𝑝 ≀ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝))
13468, 29, 133syl2anr 598 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 ≀ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝))
135134adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝐾 < 𝑝) β†’ (𝑝 ≀ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑝))
13688, 132, 135mpjaod 859 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ 𝐾 < 𝑝) β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0)
13771, 136syldan 592 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝐾) β†’ (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)) = 0)
13865, 137eqtr4d 2780 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) ∧ Β¬ 𝑝 ≀ 𝐾) β†’ if(𝑝 ≀ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
13963, 138pm2.61dan 812 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ if(𝑝 ≀ 𝐾, (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
14061, 139eqtrd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ)) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
141140ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ β„™ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ)) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁)))
1421, 13pcmptcl 16770 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•))
143142simprd 497 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq1( Β· , 𝐹):β„•βŸΆβ„•)
144143, 57ffvelcdmd 7041 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ) ∈ β„•)
145144nnnn0d 12480 . . 3 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ) ∈ β„•0)
14610nnnn0d 12480 . . 3 (πœ‘ β†’ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•0)
147 pc11 16759 . . 3 (((seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ) ∈ β„•0 ∧ ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ∈ β„•0) β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ) = ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„™ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ)) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))))
148145, 146, 147syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ) = ((2 Β· 𝑁)C𝑁) ↔ βˆ€π‘ ∈ β„™ (𝑝 pCnt (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ)) = (𝑝 pCnt ((2 Β· 𝑁)C𝑁))))
149141, 148mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (seq1( Β· , 𝐹)β€˜πΎ) = ((2 Β· 𝑁)C𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  5c5 12218  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974  !cfa 14180  Ccbc 14209   βˆ₯ cdvds 16143  β„™cprime 16554   pCnt cpc 16715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716
This theorem is referenced by:  bposlem6  26653
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