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Theorem bposlem3 25231
Description: Lemma for bpos 25238. Since the binomial coefficient does not have any primes in the range (2𝑁 / 3, 𝑁] or (2𝑁, +∞) by bposlem2 25230 and prmfac1 15637, respectively, and it does not have any in the range (𝑁, 2𝑁] by hypothesis, the product of the primes up through 2𝑁 / 3 must be sufficient to compose the whole binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
bpos.2 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
bpos.3 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
bpos.4 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
Assertion
Ref Expression
bposlem3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝑛,𝑝,𝐾   𝑛,𝑁,𝑝   𝜑,𝑛,𝑝
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem bposlem3
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (𝑛↑(𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))), 1))
2 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → 𝑛 ∈ ℙ)
3 5nn 11394 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℕ
4 bpos.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘5))
5 eluznn 11965 . . . . . . . . . . . 12 ((5 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘5)) → 𝑁 ∈ ℕ)
63, 4, 5sylancr 575 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76nnnn0d 11557 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
8 fzctr 12658 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
9 bccl2 13313 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
1110adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
122, 11pccld 15761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℙ) → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
1312ralrimiva 3115 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
1413adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑛 ∈ ℙ (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
15 bpos.4 . . . . . . . . 9 𝐾 = (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))
16 2nn 11391 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
17 nnmulcl 11248 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
1816, 6, 17sylancr 575 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
1918nnred 11240 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
20 3nn 11392 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
21 nndivre 11261 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
2219, 20, 21sylancl 574 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
2322flcld 12806 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) ∈ ℤ)
2415, 23syl5eqel 2854 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
25 3re 11299 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
27 5re 11304 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℝ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
296nnred 11240 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
30 3lt5 11407 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 < 5
3125, 27, 30ltleii 10365 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ≤ 5
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 3 ≤ 5)
33 eluzle 11905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘5) → 5 ≤ 𝑁)
344, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 5 ≤ 𝑁)
3526, 28, 29, 32, 34letrd 10399 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
36 2re 11295 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
37 2pos 11317 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
3836, 37pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
39 lemul2 11081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
4025, 38, 39mp3an13 1563 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
4129, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (3 ≤ 𝑁 ↔ (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁)))
4235, 41mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 3) ≤ (2 · 𝑁))
43 3pos 11319 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 3
4425, 43pm3.2i 456 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
45 lemuldiv 11108 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
4636, 44, 45mp3an13 1563 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) ∈ ℝ → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
4719, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 3) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3)))
4842, 47mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3))
49 2z 11615 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
50 flge 12813 . . . . . . . . . . 11 ((((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
5122, 49, 50sylancl 574 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 ≤ ((2 · 𝑁) / 3) ↔ 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3))))
5248, 51mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≤ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)))
5352, 15syl6breqr 4829 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≤ 𝐾)
5449eluz1i 11900 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝐾))
5524, 53, 54sylanbrc 572 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
56 eluz2nn 11932 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
5755, 56syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
5857adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℕ)
59 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
60 oveq1 6802 . . . . 5 (𝑛 = 𝑝 → (𝑛 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
611, 14, 58, 59, 60pcmpt 15802 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0))
62 iftrue 4232 . . . . . 6 (𝑝𝐾 → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
6362adantl 467 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝𝐾) → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
64 iffalse 4235 . . . . . . 7 𝑝𝐾 → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
6564adantl 467 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝𝐾) → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = 0)
6624zred 11688 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
67 prmz 15595 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
6867zred 11688 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
69 ltnle 10322 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝐾))
7066, 68, 69syl2an 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐾 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝐾))
7170biimpar 463 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝𝐾) → 𝐾 < 𝑝)
726ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
73 simplr 752 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℙ)
7436a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
7566ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
7667ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℤ)
7776zred 11688 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝑝 ∈ ℝ)
7853ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 2 ≤ 𝐾)
79 simprl 754 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝐾 < 𝑝)
8074, 75, 77, 78, 79lelttrd 10400 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 2 < 𝑝)
8115, 79syl5eqbrr 4823 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝)
8222ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → ((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ)
83 fllt 12814 . . . . . . . . . . . 12 ((((2 · 𝑁) / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝))
8482, 76, 83syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → (((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝 ↔ (⌊‘((2 · 𝑁) / 3)) < 𝑝))
8581, 84mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → ((2 · 𝑁) / 3) < 𝑝)
86 simprr 756 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → 𝑝𝑁)
8772, 73, 80, 85, 86bposlem2 25230 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐾 < 𝑝𝑝𝑁)) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
8887expr 444 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝𝑁 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
89 rspe 3151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
9089adantll 693 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
91 bpos.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
9291ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
9390, 92pm2.21dd 186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝 ≤ (2 · 𝑁))) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
9493expr 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
9510nnzd 11687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
96 faccl 13273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
977, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
9897, 97nnmulcld 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
9998nnzd 11687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ)
100 dvdsmul1 15211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
10195, 99, 100syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
102 bcctr 25220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
1037, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) = ((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
104103oveq1d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))))
10518nnnn0d 11557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
106 faccl 13273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
108107nncnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℂ)
10998nncnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ∈ ℂ)
11098nnne0d 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((!‘𝑁) · (!‘𝑁)) ≠ 0)
111108, 109, 110divcan1d 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((!‘(2 · 𝑁)) / ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (!‘(2 · 𝑁)))
112104, 111eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((2 · 𝑁)C𝑁) · ((!‘𝑁) · (!‘𝑁))) = (!‘(2 · 𝑁)))
113101, 112breqtrd 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁)))
114113adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁)))
11567adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
11695adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ)
117107nnzd 11687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
118117adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ)
119 dvdstr 15226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℤ ∧ (!‘(2 · 𝑁)) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
120115, 116, 118, 119syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
121114, 120mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) → 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))))
122 prmfac1 15637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁))) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁))
1231223expia 1114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
124105, 123sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (!‘(2 · 𝑁)) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
125121, 124syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁) → 𝑝 ≤ (2 · 𝑁)))
126125con3d 149 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
127 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
128 pceq0 15781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
129127, 10, 128syl2anr 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ ((2 · 𝑁)C𝑁)))
130126, 129sylibrd 249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
131130adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (¬ 𝑝 ≤ (2 · 𝑁) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
13294, 131pm2.61d 171 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 < 𝑝) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
133132ex 397 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
134133adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑁 < 𝑝 → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0))
135 lelttric 10349 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑝𝑁𝑁 < 𝑝))
13668, 29, 135syl2anr 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝𝑁𝑁 < 𝑝))
137136adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝𝑁𝑁 < 𝑝))
13888, 134, 137mpjaod 849 . . . . . . 7 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝐾 < 𝑝) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
13971, 138syldan 579 . . . . . 6 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝𝐾) → (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = 0)
14065, 139eqtr4d 2808 . . . . 5 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑝𝐾) → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
14163, 140pm2.61dan 814 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → if(𝑝𝐾, (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)), 0) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
14261, 141eqtrd 2805 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
143142ralrimiva 3115 . 2 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)))
1441, 13pcmptcl 15801 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:ℕ⟶ℕ ∧ seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ))
145144simprd 483 . . . . 5 (𝜑 → seq1( · , 𝐹):ℕ⟶ℕ)
146145, 57ffvelrnd 6505 . . . 4 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ)
147146nnnn0d 11557 . . 3 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0)
14810nnnn0d 11557 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0)
149 pc11 15790 . . 3 (((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) ∈ ℕ0 ∧ ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ0) → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
150147, 148, 149syl2anc 573 . 2 (𝜑 → ((seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (seq1( · , 𝐹)‘𝐾)) = (𝑝 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))))
151143, 150mpbird 247 1 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘𝐾) = ((2 · 𝑁)C𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  ifcif 4226   class class class wbr 4787  cmpt 4864  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6795  cr 10140  0cc0 10141  1c1 10142   · cmul 10146   < clt 10279  cle 10280   / cdiv 10889  cn 11225  2c2 11275  3c3 11276  5c5 11278  0cn0 11498  cz 11583  cuz 11892  ...cfz 12532  cfl 12798  seqcseq 13007  cexp 13066  !cfa 13263  Ccbc 13292  cdvds 15188  cprime 15591   pCnt cpc 15747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-n0 11499  df-z 11584  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-pc 15748
This theorem is referenced by:  bposlem6  25234
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