Theorem ltlecasei 11329

Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 1-Jul-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltlecasei.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝜓)
ltlecasei.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)
ltlecasei.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltlecasei.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltlecasei	⊢ (𝜑 → 𝜓)

Proof of Theorem ltlecasei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlecasei.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)
2		ltlecasei.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝜓)
3		ltlecasei.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltlecasei.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		lelttric 11328	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
7	1, 2, 6	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ℝcr 11110   < clt 11254   ≤ cle 11255

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-cnv 5671  df-xr 11258  df-le 11260

This theorem is used by:  iccsplit  13523  expnbnd  14281  hashf1  14507  absmax  15400  sinltx  16262  iccntr  25008  pmltpclem2  25637  cniccbdd  25649  iccvolcl  25755  ioovolcl  25758  dyaddisjlem  25783  mbfposr  25840  itg1ge0a  25899  itg2monolem1  25938  itgioo  26004  c1lip1  26185  plyeq0lem  26396  aalioulem5  26528  pserulm  26614  tanord  26732  birthdaylem3  27147  fsumharmonic  27205  chpo1ubb  27674  cos9thpiminplylem1  34195  mblfinlem2  38342  ioodvbdlimc1  46680  ioodvbdlimc2  46682  ibliooicc  46718  fourierdlem107  46960