MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltlecasei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltlecasei 11366
Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 1-Jul-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltlecasei.1 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝜓)
ltlecasei.2 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝜓)
ltlecasei.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltlecasei.4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ltlecasei (𝜑𝜓)

Proof of Theorem ltlecasei
StepHypRef Expression
1 ltlecasei.2 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝜓)
2 ltlecasei.1 . 2 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝜓)
3 ltlecasei.4 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ltlecasei.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 lelttric 11365 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
63, 4, 5syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
71, 2, 6mpjaodan 960 1 (𝜑𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  wcel 2105   class class class wbr 5147  cr 11151   < clt 11292  cle 11293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5694  df-cnv 5696  df-xr 11296  df-le 11298
This theorem is referenced by:  iccsplit  13521  expnbnd  14267  hashf1  14492  absmax  15364  sinltx  16221  iccntr  24856  pmltpclem2  25497  cniccbdd  25509  iccvolcl  25615  ioovolcl  25618  dyaddisjlem  25643  mbfposr  25700  itg1ge0a  25760  itg2monolem1  25799  itgioo  25865  c1lip1  26050  plyeq0lem  26263  aalioulem5  26392  pserulm  26479  tanord  26594  birthdaylem3  27010  fsumharmonic  27069  chpo1ubb  27539  mblfinlem2  37644  metakunt9  42194  ioodvbdlimc1  45888  ioodvbdlimc2  45890  ibliooicc  45926  fourierdlem107  46168
  Copyright terms: Public domain W3C validator