Theorem ltlecasei 11322

Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 1-Jul-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltlecasei.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝜓)
ltlecasei.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)
ltlecasei.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltlecasei.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltlecasei	⊢ (𝜑 → 𝜓)

Proof of Theorem ltlecasei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlecasei.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)
2		ltlecasei.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝜓)
3		ltlecasei.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltlecasei.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		lelttric 11321	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
6	3, 4, 5	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
7	1, 2, 6	mpjaodan 958	1 ⊢ (𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   < clt 11248   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-cnv 5685  df-xr 11252  df-le 11254

This theorem is referenced by:  iccsplit  13462  expnbnd  14195  hashf1  14418  absmax  15276  sinltx  16132  iccntr  24337  pmltpclem2  24966  cniccbdd  24978  iccvolcl  25084  ioovolcl  25087  dyaddisjlem  25112  mbfposr  25169  itg1ge0a  25229  itg2monolem1  25268  itgioo  25333  c1lip1  25514  plyeq0lem  25724  aalioulem5  25849  pserulm  25934  tanord  26047  birthdaylem3  26458  fsumharmonic  26516  chpo1ubb  26984  mblfinlem2  36526  metakunt9  40993  ioodvbdlimc1  44649  ioodvbdlimc2  44651  ibliooicc  44687  fourierdlem107  44929