Theorem ltlecasei 11013

Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 1-Jul-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltlecasei.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝜓)
ltlecasei.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)
ltlecasei.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltlecasei.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltlecasei	⊢ (𝜑 → 𝜓)

Proof of Theorem ltlecasei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlecasei.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝜓)
2		ltlecasei.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝜓)
3		ltlecasei.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltlecasei.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		lelttric 11012	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
6	3, 4, 5	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
7	1, 2, 6	mpjaodan 955	1 ⊢ (𝜑 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ℝcr 10801   < clt 10940   ≤ cle 10941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-cnv 5588  df-xr 10944  df-le 10946

This theorem is referenced by:  iccsplit  13146  expnbnd  13875  hashf1  14099  absmax  14969  sinltx  15826  iccntr  23890  pmltpclem2  24518  cniccbdd  24530  iccvolcl  24636  ioovolcl  24639  dyaddisjlem  24664  mbfposr  24721  itg1ge0a  24781  itg2monolem1  24820  itgioo  24885  c1lip1  25066  plyeq0lem  25276  aalioulem5  25401  pserulm  25486  tanord  25599  birthdaylem3  26008  fsumharmonic  26066  chpo1ubb  26534  mblfinlem2  35742  metakunt9  40061  ioodvbdlimc1  43364  ioodvbdlimc2  43366  ibliooicc  43402  fourierdlem107  43644