MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltlecasei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltlecasei 11268
Description: Ordering elimination by cases. (Contributed by NM, 1-Jul-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltlecasei.1 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝜓)
ltlecasei.2 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝜓)
ltlecasei.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltlecasei.4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ltlecasei (𝜑𝜓)

Proof of Theorem ltlecasei
StepHypRef Expression
1 ltlecasei.2 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → 𝜓)
2 ltlecasei.1 . 2 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝜓)
3 ltlecasei.4 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ltlecasei.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 lelttric 11267 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
63, 4, 5syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
71, 2, 6mpjaodan 958 1 (𝜑𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 846  wcel 2107   class class class wbr 5106  cr 11055   < clt 11194  cle 11195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5107  df-opab 5169  df-xp 5640  df-cnv 5642  df-xr 11198  df-le 11200
This theorem is referenced by:  iccsplit  13408  expnbnd  14141  hashf1  14362  absmax  15220  sinltx  16076  iccntr  24200  pmltpclem2  24829  cniccbdd  24841  iccvolcl  24947  ioovolcl  24950  dyaddisjlem  24975  mbfposr  25032  itg1ge0a  25092  itg2monolem1  25131  itgioo  25196  c1lip1  25377  plyeq0lem  25587  aalioulem5  25712  pserulm  25797  tanord  25910  birthdaylem3  26319  fsumharmonic  26377  chpo1ubb  26845  mblfinlem2  36162  metakunt9  40631  ioodvbdlimc1  44260  ioodvbdlimc2  44262  ibliooicc  44298  fourierdlem107  44540
  Copyright terms: Public domain W3C validator