Theorem dvdsprmpweqle 16857

Description: If a positive integer divides a prime power, it is a prime power with a smaller exponent. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprmpweqle	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Proof of Theorem dvdsprmpweqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsprmpweq 16855	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
2	1	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
3		nn0re 12446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
6		nn0re 12446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
7	5, 6	anim12ci 615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
9		lelttric 11253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑛))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑛))
11		breq1 5088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁)))
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁)))
13		prmnn 16643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14	13	nnnn0d 12498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
15	14	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ0)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ0)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
18	16, 17	nn0expcld 14208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℤ)
20	13	nncnd 12190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
21	20	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
23	13	nnne0d 12227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 0)
24	23	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≠ 0)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≠ 0)
26		nn0z 12548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
28	22, 25, 27	expne0d 14114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) ≠ 0)
29		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
31	16, 30	nn0expcld 14208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 12549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℤ)
33		dvdsval2 16224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑛) ≠ 0 ∧ (𝑃↑𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁) ↔ ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) ∈ ℤ))
34	19, 28, 32, 33	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁) ↔ ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) ∈ ℤ))
35	20, 23	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0))
36	35	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0))
37		nn0z 12548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
38	37	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
39	38, 26	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ))
40		expsub 14072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) = ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)))
41	40	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) = (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)))
42	36, 39, 41	syl2an2r 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) = (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)))
43	42	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) ∈ ℤ ↔ (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ))
44	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 𝑃 ∈ ℂ)
45		nn0cn 12447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
46	45	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
48		nn0cn 12447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
49	48	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
50	47, 49	subcld 11505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑛) ∈ ℂ)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑁 − 𝑛) ∈ ℂ)
52	46, 48	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ))
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ))
54		negsubdi2 11453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → -(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → -(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁))
56	29	anim1ci 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
57		ltsubnn0 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
59	58	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
60	55, 59	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → -(𝑁 − 𝑛) ∈ ℕ0)
61		expneg2 14032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑛) ∈ ℂ ∧ -(𝑁 − 𝑛) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) = (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))))
62	44, 51, 60, 61	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) = (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))))
63	62	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ ↔ (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ∈ ℤ))
64	13	nnred 12189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
65	64	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 𝑃 ∈ ℝ)
68	67, 59	reexpcld 14125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)) ∈ ℝ)
69		znnsub 12573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ))
70	39, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ))
71	70	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ)
72		prmgt1 16667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
73	72	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 1 < 𝑃)
76		expgt1 14062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃) → 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)))
77	67, 71, 75, 76	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)))
78	68, 77	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑛 − 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁))))
79		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) = (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)))
80	79	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → ((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ↔ (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)) ∈ ℝ))
81	79	breq2d 5097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → (1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ↔ 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁))))
82	80, 81	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → (((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ↔ ((𝑃↑(𝑛 − 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)))))
83	78, 82	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → ((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)))))
84	55, 83	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))))
85		recnz 12604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) → ¬ (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ∈ ℤ)
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ¬ (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ∈ ℤ)
87	86	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ∈ ℤ → 𝑛 ≤ 𝑁))
88	63, 87	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ → 𝑛 ≤ 𝑁))
89	88	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ → 𝑛 ≤ 𝑁)))
90	89	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
91	43, 90	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
92	34, 91	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
94	12, 93	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
95	94	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁))))
96	95	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁))))
97	96	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))))
98	97	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))))
99	98	imp41 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁))
100	99	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 𝑛 → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑁))
101	100	jao1i 859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑛) → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑁))
102	10, 101	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑁)
103		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
104	102, 103	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
105	104	ex 412	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
106	105	reximdva 3150	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
107	2, 106	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
108	107	ex 412	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ↑cexp 14023   ∥ cdvds 16221  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-pc 16808

This theorem is referenced by:  odz2prm2pw  48026