Theorem dvdsprmpweqle 16978

Description: If a positive integer divides a prime power, it is a prime power with a smaller exponent. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprmpweqle	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Proof of Theorem dvdsprmpweqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsprmpweq 16976	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
2	1	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
3		nn0re 12537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5	4	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
6		nn0re 12537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
7	5, 6	anim12ci 626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
8	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
9		lelttric 11341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑛))
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑛))
11		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁)))
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁)))
13		prmnn 16764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14	13	nnnn0d 12589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
15	14	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ0)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ0)
17		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
18	16, 17	nn0expcld 14310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℕ0)
19	18	nn0zd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) ∈ ℤ)
20	13	nncnd 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
21	20	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
23	13	nnne0d 12310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 0)
24	23	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≠ 0)
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≠ 0)
26		nn0z 12639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
27	26	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
28	22, 25, 27	expne0d 14216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑛) ≠ 0)
29		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
31	16, 30	nn0expcld 14310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℕ0)
32	31	nn0zd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝑁) ∈ ℤ)
33		dvdsval2 16345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃↑𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑛) ≠ 0 ∧ (𝑃↑𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁) ↔ ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) ∈ ℤ))
34	19, 28, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁) ↔ ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) ∈ ℤ))
35	20, 23	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0))
36	35	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0))
37		nn0z 12639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
38	37	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
39	38, 26	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ))
40		expsub 14174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) = ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)))
41	40	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) = (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)))
42	36, 39, 41	syl2an2r 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) = (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)))
43	42	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) ∈ ℤ ↔ (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ))
44	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 𝑃 ∈ ℂ)
45		nn0cn 12538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
46	45	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
47	46	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
48		nn0cn 12538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
49	48	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
50	47, 49	subcld 11593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑛) ∈ ℂ)
51	50	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑁 − 𝑛) ∈ ℂ)
52	46, 48	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ))
53	52	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ))
54		negsubdi2 11541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → -(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁))
55	53, 54	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → -(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁))
56	29	anim1ci 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
57		ltsubnn0 12579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
58	56, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0))
59	58	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ0)
60	55, 59	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → -(𝑁 − 𝑛) ∈ ℕ0)
61		expneg2 14134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 𝑛) ∈ ℂ ∧ -(𝑁 − 𝑛) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) = (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))))
62	44, 51, 60, 61	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) = (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))))
63	62	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ ↔ (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ∈ ℤ))
64	13	nnred 12272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
65	64	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
66	65	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
67	66	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 𝑃 ∈ ℝ)
68	67, 59	reexpcld 14227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)) ∈ ℝ)
69		znnsub 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ))
70	39, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 ↔ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ))
71	70	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ)
72		prmgt1 16788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
73	72	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
74	73	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
75	74	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 1 < 𝑃)
76		expgt1 14164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑛 − 𝑁) ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃) → 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)))
77	67, 71, 75, 76	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)))
78	68, 77	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑛 − 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁))))
79		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) = (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)))
80	79	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → ((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ↔ (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)) ∈ ℝ))
81	79	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → (1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ↔ 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁))))
82	80, 81	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → (((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ↔ ((𝑃↑(𝑛 − 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑(𝑛 − 𝑁)))))
83	78, 82	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (-(𝑁 − 𝑛) = (𝑛 − 𝑁) → ((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)))))
84	55, 83	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))))
85		recnz 12696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃↑-(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) → ¬ (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ∈ ℤ)
86	84, 85	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ¬ (1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ∈ ℤ)
87	86	pm2.21d 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((1 / (𝑃↑-(𝑁 − 𝑛))) ∈ ℤ → 𝑛 ≤ 𝑁))
88	63, 87	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ → 𝑛 ≤ 𝑁))
89	88	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ → 𝑛 ≤ 𝑁)))
90	89	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(𝑁 − 𝑛)) ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
91	43, 90	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑃↑𝑁) / (𝑃↑𝑛)) ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
92	34, 91	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
93	92	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → ((𝑃↑𝑛) ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
94	12, 93	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))
95	94	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁))))
96	95	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁))))
97	96	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))))
98	97	com23 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁)))))
99	98	imp41 431	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝑁 < 𝑛 → 𝑛 ≤ 𝑁))
100	99	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 < 𝑛 → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑁))
101	100	jao1i 872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 < 𝑛) → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑁))
102	10, 101	mpcom 39	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑁)
103		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
104	102, 103	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
105	104	ex 418	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
106	105	reximdva 3175	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
107	2, 106	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
108	107	ex 418	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ≤ 𝑁 ∧ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  -cneg 11466   / cdiv 11895  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ↑cexp 14125   ∥ cdvds 16342  ℙcprime 16761

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343  df-gcd 16585  df-prm 16762  df-pc 16929

This theorem is used by:  odz2prm2pw  48466