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Theorem dvdsprmpweqle 16818
Description: If a positive integer divides a prime power, it is a prime power with a smaller exponent. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsprmpweqle ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛𝑁𝐴 = (𝑃𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Proof of Theorem dvdsprmpweqle
StepHypRef Expression
1 dvdsprmpweq 16816 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛)))
21imp 407 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛))
3 nn0re 12480 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
433ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
54adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
6 nn0re 12480 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
75, 6anim12ci 614 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
87adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
9 lelttric 11320 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑛𝑁𝑁 < 𝑛))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → (𝑛𝑁𝑁 < 𝑛))
11 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = (𝑃𝑛) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑛) ∥ (𝑃𝑁)))
1211adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) ↔ (𝑃𝑛) ∥ (𝑃𝑁)))
13 prmnn 16610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1413nnnn0d 12531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
15143ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ0)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ0)
17 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
1816, 17nn0expcld 14208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑛) ∈ ℕ0)
1918nn0zd 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑛) ∈ ℤ)
2013nncnd 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
21203ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℂ)
2313nnne0d 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 0)
24233ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≠ 0)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≠ 0)
26 nn0z 12582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
2822, 25, 27expne0d 14116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑛) ≠ 0)
29 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3116, 30nn0expcld 14208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ0)
3231nn0zd 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑁) ∈ ℤ)
33 dvdsval2 16199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑛) ≠ 0 ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑃𝑛) ∥ (𝑃𝑁) ↔ ((𝑃𝑁) / (𝑃𝑛)) ∈ ℤ))
3419, 28, 32, 33syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑛) ∥ (𝑃𝑁) ↔ ((𝑃𝑁) / (𝑃𝑛)) ∈ ℤ))
3520, 23jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0))
36353ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0))
37 nn0z 12582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
38373ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
3938, 26anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ))
40 expsub 14075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑁𝑛)) = ((𝑃𝑁) / (𝑃𝑛)))
4140eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → ((𝑃𝑁) / (𝑃𝑛)) = (𝑃↑(𝑁𝑛)))
4236, 39, 41syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑁) / (𝑃𝑛)) = (𝑃↑(𝑁𝑛)))
4342eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑃𝑁) / (𝑃𝑛)) ∈ ℤ ↔ (𝑃↑(𝑁𝑛)) ∈ ℤ))
4422adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 𝑃 ∈ ℂ)
45 nn0cn 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
46453ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
48 nn0cn 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
5047, 49subcld 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑛) ∈ ℂ)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑁𝑛) ∈ ℂ)
5246, 48anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ))
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ))
54 negsubdi2 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → -(𝑁𝑛) = (𝑛𝑁))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → -(𝑁𝑛) = (𝑛𝑁))
5629anim1ci 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
57 ltsubnn0 12522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0))
5958imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ0)
6055, 59eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → -(𝑁𝑛) ∈ ℕ0)
61 expneg2 14035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑛) ∈ ℂ ∧ -(𝑁𝑛) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑁𝑛)) = (1 / (𝑃↑-(𝑁𝑛))))
6244, 51, 60, 61syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑃↑(𝑁𝑛)) = (1 / (𝑃↑-(𝑁𝑛))))
6362eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑁𝑛)) ∈ ℤ ↔ (1 / (𝑃↑-(𝑁𝑛))) ∈ ℤ))
6413nnred 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
65643ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
6665adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 𝑃 ∈ ℝ)
6867, 59reexpcld 14127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑃↑(𝑛𝑁)) ∈ ℝ)
69 znnsub 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑛 ↔ (𝑛𝑁) ∈ ℕ))
7039, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 ↔ (𝑛𝑁) ∈ ℕ))
7170biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑛𝑁) ∈ ℕ)
72 prmgt1 16633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
73723ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
7473adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 1 < 𝑃)
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 1 < 𝑃)
76 expgt1 14065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑛𝑁) ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃) → 1 < (𝑃↑(𝑛𝑁)))
7767, 71, 75, 76syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → 1 < (𝑃↑(𝑛𝑁)))
7868, 77jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑛𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑(𝑛𝑁))))
79 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-(𝑁𝑛) = (𝑛𝑁) → (𝑃↑-(𝑁𝑛)) = (𝑃↑(𝑛𝑁)))
8079eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (-(𝑁𝑛) = (𝑛𝑁) → ((𝑃↑-(𝑁𝑛)) ∈ ℝ ↔ (𝑃↑(𝑛𝑁)) ∈ ℝ))
8179breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (-(𝑁𝑛) = (𝑛𝑁) → (1 < (𝑃↑-(𝑁𝑛)) ↔ 1 < (𝑃↑(𝑛𝑁))))
8280, 81anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (-(𝑁𝑛) = (𝑛𝑁) → (((𝑃↑-(𝑁𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁𝑛))) ↔ ((𝑃↑(𝑛𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑(𝑛𝑁)))))
8378, 82syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → (-(𝑁𝑛) = (𝑛𝑁) → ((𝑃↑-(𝑁𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁𝑛)))))
8455, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑-(𝑁𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁𝑛))))
85 recnz 12636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃↑-(𝑁𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃↑-(𝑁𝑛))) → ¬ (1 / (𝑃↑-(𝑁𝑛))) ∈ ℤ)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ¬ (1 / (𝑃↑-(𝑁𝑛))) ∈ ℤ)
8786pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((1 / (𝑃↑-(𝑁𝑛))) ∈ ℤ → 𝑛𝑁))
8863, 87sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑃↑(𝑁𝑛)) ∈ ℤ → 𝑛𝑁))
8988ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑛 → ((𝑃↑(𝑁𝑛)) ∈ ℤ → 𝑛𝑁)))
9089com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃↑(𝑁𝑛)) ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁)))
9143, 90sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑃𝑁) / (𝑃𝑛)) ∈ ℤ → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁)))
9234, 91sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑃𝑛) ∥ (𝑃𝑁) → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁)))
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → ((𝑃𝑛) ∥ (𝑃𝑁) → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁)))
9412, 93sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁)))
9594ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃𝑛) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁))))
9695com23 86 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → (𝐴 = (𝑃𝑛) → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁))))
9796ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → (𝐴 = (𝑃𝑛) → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁)))))
9897com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝐴 = (𝑃𝑛) → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁)))))
9998imp41 426 . . . . . . . . 9 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → (𝑁 < 𝑛𝑛𝑁))
10099com12 32 . . . . . . . 8 (𝑁 < 𝑛 → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → 𝑛𝑁))
101100jao1i 856 . . . . . . 7 ((𝑛𝑁𝑁 < 𝑛) → (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → 𝑛𝑁))
10210, 101mpcom 38 . . . . . 6 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → 𝑛𝑁)
103 simpr 485 . . . . . 6 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → 𝐴 = (𝑃𝑛))
104102, 103jca 512 . . . . 5 (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = (𝑃𝑛)) → (𝑛𝑁𝐴 = (𝑃𝑛)))
105104ex 413 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃𝑛) → (𝑛𝑁𝐴 = (𝑃𝑛))))
106105reximdva 3168 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛𝑁𝐴 = (𝑃𝑛))))
1072, 106mpd 15 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛𝑁𝐴 = (𝑃𝑛)))
108107ex 413 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛𝑁𝐴 = (𝑃𝑛))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  cc 11107  cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11247  cle 11248  cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  cn 12211  0cn0 12471  cz 12557  cexp 14026  cdvds 16196  cprime 16607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-pc 16769
This theorem is referenced by:  odz2prm2pw  46221
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