MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmup1 20858
Description: Any assignment of unit vectors to target vectors can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free module to an arbitrary other module on the same base ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v · = ( ·𝑠𝑇)
frlmup.e 𝐸 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)))
frlmup.t (𝜑𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i (𝜑𝐼𝑋)
frlmup.r (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a (𝜑𝐴:𝐼𝐶)
Assertion
Ref Expression
frlmup1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup1
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐹)
2 eqid 2826 . 2 ( ·𝑠𝐹) = ( ·𝑠𝐹)
3 frlmup.v . 2 · = ( ·𝑠𝑇)
4 eqid 2826 . 2 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
5 eqid 2826 . 2 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6 eqid 2826 . 2 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
7 frlmup.r . . . 4 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑇))
8 frlmup.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ LMod)
95lmodring 19562 . . . . 5 (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
117, 10eqeltrd 2918 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 frlmup.i . . 3 (𝜑𝐼𝑋)
13 frlmup.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
1413frlmlmod 20809 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → 𝐹 ∈ LMod)
1511, 12, 14syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
1613frlmsca 20813 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
1711, 12, 16syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝐹))
187, 17eqtr3d 2863 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝐹))
19 frlmup.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑇)
20 eqid 2826 . . 3 (+g𝐹) = (+g𝐹)
21 eqid 2826 . . 3 (+g𝑇) = (+g𝑇)
22 lmodgrp 19561 . . . 4 (𝐹 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
2315, 22syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
24 lmodgrp 19561 . . . 4 (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Grp)
258, 24syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Grp)
26 eleq1w 2900 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝐵𝑥𝐵))
2726anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝜑𝑧𝐵) ↔ (𝜑𝑥𝐵)))
28 oveq1 7155 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧f · 𝐴) = (𝑥f · 𝐴))
2928oveq2d 7164 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)))
3029eleq1d 2902 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) ∈ 𝐶 ↔ (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) ∈ 𝐶))
3127, 30imbi12d 346 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → (((𝜑𝑧𝐵) → (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) ∈ 𝐶) ↔ ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) ∈ 𝐶)))
32 eqid 2826 . . . . . 6 (0g𝑇) = (0g𝑇)
33 lmodcmn 19602 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ CMnd)
348, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
3534adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑇 ∈ CMnd)
3612adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐼𝑋)
378ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑇 ∈ LMod)
38 simprl 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
397fveq2d 6671 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
4039ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
4138, 40eleqtrd 2920 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
42 simprr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑦𝐶)
43 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
4419, 5, 3, 43lmodvscl 19571 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐶)
4537, 41, 42, 44syl3anc 1365 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐶)
46 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4713, 46, 1frlmbasf 20820 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑋𝑧𝐵) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
4812, 47sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
49 frlmup.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:𝐼𝐶)
5049adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐴:𝐼𝐶)
51 inidm 4199 . . . . . . 7 (𝐼𝐼) = 𝐼
5245, 48, 50, 36, 36, 51off 7414 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶)
53 ovexd 7183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) ∈ V)
5452ffund 6515 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → Fun (𝑧f · 𝐴))
55 fvexd 6682 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (0g𝑇) ∈ V)
56 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5713, 56, 1frlmbasfsupp 20818 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑋𝑧𝐵) → 𝑧 finSupp (0g𝑅))
5812, 57sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 finSupp (0g𝑅))
597fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
6059eqcomd 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g𝑅))
6160breq2d 5075 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑧 finSupp (0g𝑅)))
6261adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑧 finSupp (0g𝑅)))
6358, 62mpbird 258 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)))
6463fsuppimpd 8829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ∈ Fin)
65 ssidd 3994 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))
668ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑇 ∈ LMod)
67 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
6819, 5, 3, 67, 32lmod0vs 19587 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑤𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · 𝑤) = (0g𝑇))
6966, 68sylancom 588 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑤𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · 𝑤) = (0g𝑇))
70 fvexd 6682 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑇)) ∈ V)
7165, 69, 48, 50, 36, 70suppssof1 7854 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → ((𝑧f · 𝐴) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))
72 suppssfifsupp 8837 . . . . . . 7 ((((𝑧f · 𝐴) ∈ V ∧ Fun (𝑧f · 𝐴) ∧ (0g𝑇) ∈ V) ∧ ((𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ∈ Fin ∧ ((𝑧f · 𝐴) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))) → (𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
7353, 54, 55, 64, 71, 72syl32anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
7419, 32, 35, 36, 52, 73gsumcl 18955 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) ∈ 𝐶)
7531, 74chvarvv 1998 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) ∈ 𝐶)
76 frlmup.e . . . 4 𝐸 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)))
7775, 76fmptd 6874 . . 3 (𝜑𝐸:𝐵𝐶)
7834adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑇 ∈ CMnd)
7912adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐼𝑋)
80 eleq1w 2900 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝐵𝑦𝐵))
8180anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑𝑧𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐵)))
82 oveq1 7155 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧f · 𝐴) = (𝑦f · 𝐴))
8382feq1d 6496 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶 ↔ (𝑦f · 𝐴):𝐼𝐶))
8481, 83imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶) ↔ ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴):𝐼𝐶)))
8584, 52chvarvv 1998 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴):𝐼𝐶)
8685adantrr 713 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦f · 𝐴):𝐼𝐶)
8752adantrl 712 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶)
8882breq1d 5073 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇) ↔ (𝑦f · 𝐴) finSupp (0g𝑇)))
8981, 88imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇)) ↔ ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))))
9089, 73chvarvv 1998 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
9190adantrr 713 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
9273adantrl 712 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
9319, 32, 21, 78, 79, 86, 87, 91, 92gsumadd 18963 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))) = ((𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴))(+g𝑇)(𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
941, 20lmodvacl 19568 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
95943expb 1114 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ LMod ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
9615, 95sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
97 oveq1 7155 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(+g𝐹)𝑧) → (𝑥f · 𝐴) = ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴))
9897oveq2d 7164 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝐹)𝑧) → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
99 ovex 7181 . . . . . . 7 (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) ∈ V
10098, 76, 99fvmpt 6765 . . . . . 6 ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
10196, 100syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
10211adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
103 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
104 simprr 769 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
105 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
10613, 1, 102, 79, 103, 104, 105, 20frlmplusgval 20824 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) = (𝑦f (+g𝑅)𝑧))
107106oveq1d 7163 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴))
10813, 46, 1frlmbasf 20820 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑋𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
10912, 108sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
110109adantrr 713 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
111110ffnd 6512 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐼)
11248adantrl 712 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
113112ffnd 6512 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧 Fn 𝐼)
114111, 113, 79, 79, 51offn 7410 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦f (+g𝑅)𝑧) Fn 𝐼)
11549ffnd 6512 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 Fn 𝐼)
116115adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐴 Fn 𝐼)
117114, 116, 79, 79, 51offn 7410 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
11885ffnd 6512 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴) Fn 𝐼)
119118adantrr 713 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦f · 𝐴) Fn 𝐼)
12052ffnd 6512 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) Fn 𝐼)
121120adantrl 712 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴) Fn 𝐼)
122119, 121, 79, 79, 51offn 7410 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴)) Fn 𝐼)
1237fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
124123ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
125124oveqd 7165 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) = ((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)))
126125oveq1d 7163 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
1278ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
128110ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
12939ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
130128, 129eleqtrd 2920 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
131112ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
132131, 129eleqtrd 2920 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
13349adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐴:𝐼𝐶)
134133ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)
135 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (+g‘(Scalar‘𝑇)) = (+g‘(Scalar‘𝑇))
13619, 21, 5, 3, 43, 135lmodvsdir 19578 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)) → (((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
137127, 130, 132, 134, 136syl13anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
138126, 137eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
139111adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 Fn 𝐼)
140113adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑧 Fn 𝐼)
14112ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑋)
142 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
143 fnfvof 7413 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 Fn 𝐼𝑧 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → ((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)))
144139, 140, 141, 142, 143syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)))
145144oveq1d 7163 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
146115ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 Fn 𝐼)
147 fnfvof 7413 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → ((𝑦f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥)))
148139, 146, 141, 142, 147syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥)))
149 fnfvof 7413 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥)))
150140, 146, 141, 142, 149syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥)))
151148, 150oveq12d 7166 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
152138, 145, 1513eqtr4d 2871 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦f · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
153114adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦f (+g𝑅)𝑧) Fn 𝐼)
154 fnfvof 7413 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦f (+g𝑅)𝑧) Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
155153, 146, 141, 142, 154syl22anc 836 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
156119adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦f · 𝐴) Fn 𝐼)
157121adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧f · 𝐴) Fn 𝐼)
158 fnfvof 7413 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦f · 𝐴) Fn 𝐼 ∧ (𝑧f · 𝐴) Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → (((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))‘𝑥) = (((𝑦f · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
159156, 157, 141, 142, 158syl22anc 836 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))‘𝑥) = (((𝑦f · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
160152, 155, 1593eqtr4d 2871 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))‘𝑥))
161117, 122, 160eqfnfvd 6801 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴)))
162107, 161eqtrd 2861 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴)))
163162oveq2d 7164 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))))
164101, 163eqtrd 2861 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))))
165 oveq1 7155 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥f · 𝐴) = (𝑦f · 𝐴))
166165oveq2d 7164 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴)))
167 ovex 7181 . . . . . . 7 (𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴)) ∈ V
168166, 76, 167fvmpt 6765 . . . . . 6 (𝑦𝐵 → (𝐸𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴)))
169168ad2antrl 724 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴)))
170 oveq1 7155 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥f · 𝐴) = (𝑧f · 𝐴))
171170oveq2d 7164 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)))
172 ovex 7181 . . . . . . 7 (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) ∈ V
173171, 76, 172fvmpt 6765 . . . . . 6 (𝑧𝐵 → (𝐸𝑧) = (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)))
174173ad2antll 725 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸𝑧) = (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)))
175169, 174oveq12d 7166 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝐸𝑦)(+g𝑇)(𝐸𝑧)) = ((𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴))(+g𝑇)(𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
17693, 164, 1753eqtr4d 2871 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = ((𝐸𝑦)(+g𝑇)(𝐸𝑧)))
1771, 19, 20, 21, 23, 25, 77, 176isghmd 18297 . 2 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇))
1788adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑇 ∈ LMod)
17912adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝐼𝑋)
18018fveq2d 6671 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
181180eleq2d 2903 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹))))
182181biimpar 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
183182adantrr 713 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
18452adantrl 712 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶)
185184ffvelrnda 6847 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐶)
18652feqmptd 6730 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
187186, 73eqbrtrrd 5087 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)) finSupp (0g𝑇))
188187adantrl 712 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)) finSupp (0g𝑇))
18919, 5, 43, 32, 21, 3, 178, 179, 183, 185, 188gsumvsmul 19618 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))))
19015adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝐹 ∈ LMod)
191 simprl 767 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
192 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
1931, 4, 2, 6lmodvscl 19571 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
194190, 191, 192, 193syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
19513, 46, 1frlmbasf 20820 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑋 ∧ (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧):𝐼⟶(Base‘𝑅))
196179, 194, 195syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧):𝐼⟶(Base‘𝑅))
197196ffnd 6512 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) Fn 𝐼)
198115adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝐴 Fn 𝐼)
199197, 198, 179, 179, 51offn 7410 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
200 dffn2 6513 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼 ↔ ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴):𝐼⟶V)
201199, 200sylib 219 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴):𝐼⟶V)
202201feqmptd 6730 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
2037fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (.r𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑇)))
204203ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (.r𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑇)))
205204oveqd 7165 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) = (𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)))
206205oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
2078ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
208 simplrl 773 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
209180ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
210208, 209eleqtrrd 2921 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
21148ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
21239ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
213211, 212eleqtrd 2920 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
214213adantlrl 716 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
21549ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)
216215adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)
217 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (.r‘(Scalar‘𝑇)) = (.r‘(Scalar‘𝑇))
21819, 5, 3, 43, 217lmodvsass 19579 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
219207, 210, 214, 216, 218syl13anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
220206, 219eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
221197adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) Fn 𝐼)
222115ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 Fn 𝐼)
22312ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑋)
224 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
225 fnfvof 7413 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
226221, 222, 223, 224, 225syl22anc 836 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
22717fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
228227ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
229208, 228eleqtrrd 2921 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
230 simplrr 774 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑧𝐵)
231 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
23213, 1, 46, 223, 229, 230, 224, 2, 231frlmvscaval 20828 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) = (𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)))
233232oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)) = ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
234226, 233eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
23548ffnd 6512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 Fn 𝐼)
236235adantrl 712 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑧 Fn 𝐼)
237236adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑧 Fn 𝐼)
238237, 222, 223, 224, 149syl22anc 836 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥)))
239238oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
240220, 234, 2393eqtr4d 2871 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
241240mpteq2dva 5158 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥))))
242202, 241eqtrd 2861 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥))))
243242oveq2d 7164 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))))
244184feqmptd 6730 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
245244oveq2d 7164 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥))))
246245oveq2d 7164 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))))
247189, 243, 2463eqtr4d 2871 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
248 oveq1 7155 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) → (𝑥f · 𝐴) = ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴))
249248oveq2d 7164 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
250 ovex 7181 . . . . 5 (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) ∈ V
251249, 76, 250fvmpt 6765 . . . 4 ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
252194, 251syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
253173oveq2d 7164 . . . 4 (𝑧𝐵 → (𝑦 · (𝐸𝑧)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
254253ad2antll 725 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦 · (𝐸𝑧)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
255247, 252, 2543eqtr4d 2871 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)) = (𝑦 · (𝐸𝑧)))
2561, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 8, 18, 177, 255islmhmd 19731 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3500  wss 3940   class class class wbr 5063  cmpt 5143  Fun wfun 6346   Fn wfn 6347  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  f cof 7397   supp csupp 7821  Fincfn 8498   finSupp cfsupp 8822  Basecbs 16473  +gcplusg 16555  .rcmulr 16556  Scalarcsca 16558   ·𝑠 cvsca 16559  0gc0g 16703   Σg cgsu 16704  Grpcgrp 18033  CMndccmn 18826  Ringcrg 19217  LModclmod 19554   LMHom clmhm 19711   freeLMod cfrlm 20806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-sup 8895  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-hash 13681  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-hom 16579  df-cco 16580  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-prds 16711  df-pws 16713  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-sbg 18038  df-subg 18206  df-ghm 18286  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-abl 18829  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-subrg 19453  df-lmod 19556  df-lss 19624  df-lmhm 19714  df-sra 19864  df-rgmod 19865  df-dsmm 20792  df-frlm 20807
This theorem is referenced by:  frlmup3  20860  frlmup4  20861  islindf5  20899  indlcim  20900  lnrfg  39584
  Copyright terms: Public domain W3C validator