MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmup1 21819
Description: Any assignment of unit vectors to target vectors can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free module to an arbitrary other module on the same base ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v · = ( ·𝑠𝑇)
frlmup.e 𝐸 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)))
frlmup.t (𝜑𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i (𝜑𝐼𝑋)
frlmup.r (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a (𝜑𝐴:𝐼𝐶)
Assertion
Ref Expression
frlmup1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup1
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐹)
2 eqid 2736 . 2 ( ·𝑠𝐹) = ( ·𝑠𝐹)
3 frlmup.v . 2 · = ( ·𝑠𝑇)
4 eqid 2736 . 2 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
5 eqid 2736 . 2 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6 eqid 2736 . 2 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
7 frlmup.r . . . 4 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑇))
8 frlmup.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ LMod)
95lmodring 20867 . . . . 5 (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
117, 10eqeltrd 2840 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 frlmup.i . . 3 (𝜑𝐼𝑋)
13 frlmup.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
1413frlmlmod 21770 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → 𝐹 ∈ LMod)
1511, 12, 14syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
1613frlmsca 21774 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
1711, 12, 16syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝐹))
187, 17eqtr3d 2778 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝐹))
19 frlmup.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑇)
20 eqid 2736 . . 3 (+g𝐹) = (+g𝐹)
21 eqid 2736 . . 3 (+g𝑇) = (+g𝑇)
22 lmodgrp 20866 . . . 4 (𝐹 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
2315, 22syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
24 lmodgrp 20866 . . . 4 (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Grp)
258, 24syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Grp)
26 eleq1w 2823 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝐵𝑥𝐵))
2726anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝜑𝑧𝐵) ↔ (𝜑𝑥𝐵)))
28 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧f · 𝐴) = (𝑥f · 𝐴))
2928oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)))
3029eleq1d 2825 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) ∈ 𝐶 ↔ (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) ∈ 𝐶))
3127, 30imbi12d 344 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → (((𝜑𝑧𝐵) → (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) ∈ 𝐶) ↔ ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) ∈ 𝐶)))
32 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝑇) = (0g𝑇)
33 lmodcmn 20909 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ CMnd)
348, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
3534adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑇 ∈ CMnd)
3612adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐼𝑋)
378ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑇 ∈ LMod)
38 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
397fveq2d 6909 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
4039ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
4138, 40eleqtrd 2842 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
42 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑦𝐶)
43 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
4419, 5, 3, 43lmodvscl 20877 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐶)
4537, 41, 42, 44syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐶)
46 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4713, 46, 1frlmbasf 21781 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑋𝑧𝐵) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
4812, 47sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
49 frlmup.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:𝐼𝐶)
5049adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐴:𝐼𝐶)
51 inidm 4226 . . . . . . 7 (𝐼𝐼) = 𝐼
5245, 48, 50, 36, 36, 51off 7716 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶)
53 ovexd 7467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) ∈ V)
5452ffund 6739 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → Fun (𝑧f · 𝐴))
55 fvexd 6920 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (0g𝑇) ∈ V)
56 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5713, 56, 1frlmbasfsupp 21779 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑋𝑧𝐵) → 𝑧 finSupp (0g𝑅))
5812, 57sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 finSupp (0g𝑅))
597fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
6059eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g𝑅))
6160breq2d 5154 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑧 finSupp (0g𝑅)))
6261adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑧 finSupp (0g𝑅)))
6358, 62mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)))
6463fsuppimpd 9410 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ∈ Fin)
65 ssidd 4006 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))
668ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑇 ∈ LMod)
67 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
6819, 5, 3, 67, 32lmod0vs 20894 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑤𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · 𝑤) = (0g𝑇))
6966, 68sylancom 588 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑤𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · 𝑤) = (0g𝑇))
70 fvexd 6920 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑇)) ∈ V)
7165, 69, 48, 50, 36, 70suppssof1 8225 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → ((𝑧f · 𝐴) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))
72 suppssfifsupp 9421 . . . . . . 7 ((((𝑧f · 𝐴) ∈ V ∧ Fun (𝑧f · 𝐴) ∧ (0g𝑇) ∈ V) ∧ ((𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ∈ Fin ∧ ((𝑧f · 𝐴) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))) → (𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
7353, 54, 55, 64, 71, 72syl32anc 1379 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
7419, 32, 35, 36, 52, 73gsumcl 19934 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) ∈ 𝐶)
7531, 74chvarvv 1997 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) ∈ 𝐶)
76 frlmup.e . . . 4 𝐸 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)))
7775, 76fmptd 7133 . . 3 (𝜑𝐸:𝐵𝐶)
7834adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑇 ∈ CMnd)
7912adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐼𝑋)
80 eleq1w 2823 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝐵𝑦𝐵))
8180anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑𝑧𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐵)))
82 oveq1 7439 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧f · 𝐴) = (𝑦f · 𝐴))
8382feq1d 6719 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶 ↔ (𝑦f · 𝐴):𝐼𝐶))
8481, 83imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶) ↔ ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴):𝐼𝐶)))
8584, 52chvarvv 1997 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴):𝐼𝐶)
8685adantrr 717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦f · 𝐴):𝐼𝐶)
8752adantrl 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶)
8882breq1d 5152 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇) ↔ (𝑦f · 𝐴) finSupp (0g𝑇)))
8981, 88imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇)) ↔ ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))))
9089, 73chvarvv 1997 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
9190adantrr 717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
9273adantrl 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
9319, 32, 21, 78, 79, 86, 87, 91, 92gsumadd 19942 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))) = ((𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴))(+g𝑇)(𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
941, 20lmodvacl 20874 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
95943expb 1120 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ LMod ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
9615, 95sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
97 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(+g𝐹)𝑧) → (𝑥f · 𝐴) = ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴))
9897oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝐹)𝑧) → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
99 ovex 7465 . . . . . . 7 (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) ∈ V
10098, 76, 99fvmpt 7015 . . . . . 6 ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
10196, 100syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
10211adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
103 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
104 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
105 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
10613, 1, 102, 79, 103, 104, 105, 20frlmplusgval 21785 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) = (𝑦f (+g𝑅)𝑧))
107106oveq1d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴))
10813, 46, 1frlmbasf 21781 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑋𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
10912, 108sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
110109adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
111110ffnd 6736 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐼)
11248adantrl 716 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
113112ffnd 6736 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧 Fn 𝐼)
114111, 113, 79, 79, 51offn 7711 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦f (+g𝑅)𝑧) Fn 𝐼)
11549ffnd 6736 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 Fn 𝐼)
116115adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐴 Fn 𝐼)
117114, 116, 79, 79, 51offn 7711 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
11885ffnd 6736 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴) Fn 𝐼)
119118adantrr 717 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦f · 𝐴) Fn 𝐼)
12052ffnd 6736 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) Fn 𝐼)
121120adantrl 716 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴) Fn 𝐼)
122119, 121, 79, 79, 51offn 7711 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴)) Fn 𝐼)
1237fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
124123ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
125124oveqd 7449 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) = ((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)))
126125oveq1d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
1278ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
128110ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
12939ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
130128, 129eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
131112ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
132131, 129eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
13349adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐴:𝐼𝐶)
134133ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)
135 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (+g‘(Scalar‘𝑇)) = (+g‘(Scalar‘𝑇))
13619, 21, 5, 3, 43, 135lmodvsdir 20885 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)) → (((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
137127, 130, 132, 134, 136syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
138126, 137eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
139111adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 Fn 𝐼)
140113adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑧 Fn 𝐼)
14112ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑋)
142 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
143 fnfvof 7715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 Fn 𝐼𝑧 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → ((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)))
144139, 140, 141, 142, 143syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)))
145144oveq1d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
146115ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 Fn 𝐼)
147 fnfvof 7715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → ((𝑦f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥)))
148139, 146, 141, 142, 147syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥)))
149 fnfvof 7715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥)))
150140, 146, 141, 142, 149syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥)))
151148, 150oveq12d 7450 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
152138, 145, 1513eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦f · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
153114adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦f (+g𝑅)𝑧) Fn 𝐼)
154 fnfvof 7715 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦f (+g𝑅)𝑧) Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
155153, 146, 141, 142, 154syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
156119adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦f · 𝐴) Fn 𝐼)
157121adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧f · 𝐴) Fn 𝐼)
158 fnfvof 7715 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦f · 𝐴) Fn 𝐼 ∧ (𝑧f · 𝐴) Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → (((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))‘𝑥) = (((𝑦f · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
159156, 157, 141, 142, 158syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))‘𝑥) = (((𝑦f · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
160152, 155, 1593eqtr4d 2786 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))‘𝑥))
161117, 122, 160eqfnfvd 7053 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴)))
162107, 161eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴)))
163162oveq2d 7448 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))))
164101, 163eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))))
165 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥f · 𝐴) = (𝑦f · 𝐴))
166165oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴)))
167 ovex 7465 . . . . . . 7 (𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴)) ∈ V
168166, 76, 167fvmpt 7015 . . . . . 6 (𝑦𝐵 → (𝐸𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴)))
169168ad2antrl 728 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴)))
170 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥f · 𝐴) = (𝑧f · 𝐴))
171170oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)))
172 ovex 7465 . . . . . . 7 (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) ∈ V
173171, 76, 172fvmpt 7015 . . . . . 6 (𝑧𝐵 → (𝐸𝑧) = (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)))
174173ad2antll 729 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸𝑧) = (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)))
175169, 174oveq12d 7450 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝐸𝑦)(+g𝑇)(𝐸𝑧)) = ((𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴))(+g𝑇)(𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
17693, 164, 1753eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = ((𝐸𝑦)(+g𝑇)(𝐸𝑧)))
1771, 19, 20, 21, 23, 25, 77, 176isghmd 19244 . 2 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇))
1788adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑇 ∈ LMod)
17912adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝐼𝑋)
18018fveq2d 6909 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
181180eleq2d 2826 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹))))
182181biimpar 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
183182adantrr 717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
18452adantrl 716 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶)
185184ffvelcdmda 7103 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐶)
18652feqmptd 6976 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
187186, 73eqbrtrrd 5166 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)) finSupp (0g𝑇))
188187adantrl 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)) finSupp (0g𝑇))
18919, 5, 43, 32, 21, 3, 178, 179, 183, 185, 188gsumvsmul 20925 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))))
19015adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝐹 ∈ LMod)
191 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
192 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
1931, 4, 2, 6lmodvscl 20877 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
194190, 191, 192, 193syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
19513, 46, 1frlmbasf 21781 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑋 ∧ (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧):𝐼⟶(Base‘𝑅))
196179, 194, 195syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧):𝐼⟶(Base‘𝑅))
197196ffnd 6736 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) Fn 𝐼)
198115adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝐴 Fn 𝐼)
199197, 198, 179, 179, 51offn 7711 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
200 dffn2 6737 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼 ↔ ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴):𝐼⟶V)
201199, 200sylib 218 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴):𝐼⟶V)
202201feqmptd 6976 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
2037fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (.r𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑇)))
204203ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (.r𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑇)))
205204oveqd 7449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) = (𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)))
206205oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
2078ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
208 simplrl 776 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
209180ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
210208, 209eleqtrrd 2843 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
21148ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
21239ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
213211, 212eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
214213adantlrl 720 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
21549ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)
216215adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)
217 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.r‘(Scalar‘𝑇)) = (.r‘(Scalar‘𝑇))
21819, 5, 3, 43, 217lmodvsass 20886 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
219207, 210, 214, 216, 218syl13anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
220206, 219eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
221197adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) Fn 𝐼)
222115ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 Fn 𝐼)
22312ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑋)
224 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
225 fnfvof 7715 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
226221, 222, 223, 224, 225syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
22717fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
228227ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
229208, 228eleqtrrd 2843 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
230 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑧𝐵)
231 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
23213, 1, 46, 223, 229, 230, 224, 2, 231frlmvscaval 21789 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) = (𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)))
233232oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)) = ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
234226, 233eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
23548ffnd 6736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 Fn 𝐼)
236235adantrl 716 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑧 Fn 𝐼)
237236adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑧 Fn 𝐼)
238237, 222, 223, 224, 149syl22anc 838 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥)))
239238oveq2d 7448 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
240220, 234, 2393eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
241240mpteq2dva 5241 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥))))
242202, 241eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥))))
243242oveq2d 7448 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))))
244184feqmptd 6976 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
245244oveq2d 7448 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥))))
246245oveq2d 7448 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))))
247189, 243, 2463eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
248 oveq1 7439 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) → (𝑥f · 𝐴) = ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴))
249248oveq2d 7448 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
250 ovex 7465 . . . . 5 (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) ∈ V
251249, 76, 250fvmpt 7015 . . . 4 ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
252194, 251syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
253173oveq2d 7448 . . . 4 (𝑧𝐵 → (𝑦 · (𝐸𝑧)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
254253ad2antll 729 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦 · (𝐸𝑧)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
255247, 252, 2543eqtr4d 2786 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)) = (𝑦 · (𝐸𝑧)))
2561, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 8, 18, 177, 255islmhmd 21039 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  wss 3950   class class class wbr 5142  cmpt 5224  Fun wfun 6554   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  f cof 7696   supp csupp 8186  Fincfn 8986   finSupp cfsupp 9402  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Grpcgrp 18952  CMndccmn 19799  Ringcrg 20231  LModclmod 20859   LMHom clmhm 21019   freeLMod cfrlm 21767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lmhm 21022  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-dsmm 21753  df-frlm 21768
This theorem is referenced by:  frlmup3  21821  frlmup4  21822  islindf5  21860  indlcim  21861  lnrfg  43136
  Copyright terms: Public domain W3C validator