MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmup1 21204
Description: Any assignment of unit vectors to target vectors can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free module to an arbitrary other module on the same base ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v · = ( ·𝑠𝑇)
frlmup.e 𝐸 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)))
frlmup.t (𝜑𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i (𝜑𝐼𝑋)
frlmup.r (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a (𝜑𝐴:𝐼𝐶)
Assertion
Ref Expression
frlmup1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup1
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐹)
2 eqid 2736 . 2 ( ·𝑠𝐹) = ( ·𝑠𝐹)
3 frlmup.v . 2 · = ( ·𝑠𝑇)
4 eqid 2736 . 2 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
5 eqid 2736 . 2 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6 eqid 2736 . 2 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
7 frlmup.r . . . 4 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑇))
8 frlmup.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ LMod)
95lmodring 20330 . . . . 5 (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
117, 10eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 frlmup.i . . 3 (𝜑𝐼𝑋)
13 frlmup.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
1413frlmlmod 21155 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → 𝐹 ∈ LMod)
1511, 12, 14syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
1613frlmsca 21159 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
1711, 12, 16syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝐹))
187, 17eqtr3d 2778 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝐹))
19 frlmup.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑇)
20 eqid 2736 . . 3 (+g𝐹) = (+g𝐹)
21 eqid 2736 . . 3 (+g𝑇) = (+g𝑇)
22 lmodgrp 20329 . . . 4 (𝐹 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
2315, 22syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
24 lmodgrp 20329 . . . 4 (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Grp)
258, 24syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Grp)
26 eleq1w 2820 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝐵𝑥𝐵))
2726anbi2d 629 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝜑𝑧𝐵) ↔ (𝜑𝑥𝐵)))
28 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧f · 𝐴) = (𝑥f · 𝐴))
2928oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)))
3029eleq1d 2822 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) ∈ 𝐶 ↔ (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) ∈ 𝐶))
3127, 30imbi12d 344 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → (((𝜑𝑧𝐵) → (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) ∈ 𝐶) ↔ ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) ∈ 𝐶)))
32 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝑇) = (0g𝑇)
33 lmodcmn 20370 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ CMnd)
348, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
3534adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑇 ∈ CMnd)
3612adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐼𝑋)
378ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑇 ∈ LMod)
38 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
397fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
4039ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
4138, 40eleqtrd 2840 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
42 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑦𝐶)
43 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
4419, 5, 3, 43lmodvscl 20339 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐶)
4537, 41, 42, 44syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐶)
46 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4713, 46, 1frlmbasf 21166 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑋𝑧𝐵) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
4812, 47sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
49 frlmup.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:𝐼𝐶)
5049adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐴:𝐼𝐶)
51 inidm 4178 . . . . . . 7 (𝐼𝐼) = 𝐼
5245, 48, 50, 36, 36, 51off 7635 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶)
53 ovexd 7392 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) ∈ V)
5452ffund 6672 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → Fun (𝑧f · 𝐴))
55 fvexd 6857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (0g𝑇) ∈ V)
56 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5713, 56, 1frlmbasfsupp 21164 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑋𝑧𝐵) → 𝑧 finSupp (0g𝑅))
5812, 57sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 finSupp (0g𝑅))
597fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
6059eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g𝑅))
6160breq2d 5117 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑧 finSupp (0g𝑅)))
6261adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑧 finSupp (0g𝑅)))
6358, 62mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)))
6463fsuppimpd 9312 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ∈ Fin)
65 ssidd 3967 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))
668ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑇 ∈ LMod)
67 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
6819, 5, 3, 67, 32lmod0vs 20355 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑤𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · 𝑤) = (0g𝑇))
6966, 68sylancom 588 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑤𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · 𝑤) = (0g𝑇))
70 fvexd 6857 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑇)) ∈ V)
7165, 69, 48, 50, 36, 70suppssof1 8130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → ((𝑧f · 𝐴) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))
72 suppssfifsupp 9320 . . . . . . 7 ((((𝑧f · 𝐴) ∈ V ∧ Fun (𝑧f · 𝐴) ∧ (0g𝑇) ∈ V) ∧ ((𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ∈ Fin ∧ ((𝑧f · 𝐴) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))) → (𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
7353, 54, 55, 64, 71, 72syl32anc 1378 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
7419, 32, 35, 36, 52, 73gsumcl 19692 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) ∈ 𝐶)
7531, 74chvarvv 2002 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) ∈ 𝐶)
76 frlmup.e . . . 4 𝐸 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)))
7775, 76fmptd 7062 . . 3 (𝜑𝐸:𝐵𝐶)
7834adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑇 ∈ CMnd)
7912adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐼𝑋)
80 eleq1w 2820 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝐵𝑦𝐵))
8180anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑𝑧𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐵)))
82 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧f · 𝐴) = (𝑦f · 𝐴))
8382feq1d 6653 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶 ↔ (𝑦f · 𝐴):𝐼𝐶))
8481, 83imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶) ↔ ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴):𝐼𝐶)))
8584, 52chvarvv 2002 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴):𝐼𝐶)
8685adantrr 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦f · 𝐴):𝐼𝐶)
8752adantrl 714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶)
8882breq1d 5115 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇) ↔ (𝑦f · 𝐴) finSupp (0g𝑇)))
8981, 88imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇)) ↔ ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))))
9089, 73chvarvv 2002 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
9190adantrr 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
9273adantrl 714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
9319, 32, 21, 78, 79, 86, 87, 91, 92gsumadd 19700 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))) = ((𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴))(+g𝑇)(𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
941, 20lmodvacl 20336 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
95943expb 1120 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ LMod ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
9615, 95sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
97 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(+g𝐹)𝑧) → (𝑥f · 𝐴) = ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴))
9897oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝐹)𝑧) → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
99 ovex 7390 . . . . . . 7 (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) ∈ V
10098, 76, 99fvmpt 6948 . . . . . 6 ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
10196, 100syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
10211adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
103 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
104 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
105 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
10613, 1, 102, 79, 103, 104, 105, 20frlmplusgval 21170 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) = (𝑦f (+g𝑅)𝑧))
107106oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴))
10813, 46, 1frlmbasf 21166 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑋𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
10912, 108sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
110109adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
111110ffnd 6669 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐼)
11248adantrl 714 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
113112ffnd 6669 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧 Fn 𝐼)
114111, 113, 79, 79, 51offn 7630 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦f (+g𝑅)𝑧) Fn 𝐼)
11549ffnd 6669 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 Fn 𝐼)
116115adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐴 Fn 𝐼)
117114, 116, 79, 79, 51offn 7630 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
11885ffnd 6669 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴) Fn 𝐼)
119118adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦f · 𝐴) Fn 𝐼)
12052ffnd 6669 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) Fn 𝐼)
121120adantrl 714 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴) Fn 𝐼)
122119, 121, 79, 79, 51offn 7630 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴)) Fn 𝐼)
1237fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
124123ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
125124oveqd 7374 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) = ((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)))
126125oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
1278ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
128110ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
12939ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
130128, 129eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
131112ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
132131, 129eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
13349adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐴:𝐼𝐶)
134133ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)
135 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (+g‘(Scalar‘𝑇)) = (+g‘(Scalar‘𝑇))
13619, 21, 5, 3, 43, 135lmodvsdir 20346 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)) → (((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
137127, 130, 132, 134, 136syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
138126, 137eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
139111adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 Fn 𝐼)
140113adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑧 Fn 𝐼)
14112ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑋)
142 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
143 fnfvof 7634 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 Fn 𝐼𝑧 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → ((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)))
144139, 140, 141, 142, 143syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)))
145144oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
146115ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 Fn 𝐼)
147 fnfvof 7634 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → ((𝑦f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥)))
148139, 146, 141, 142, 147syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥)))
149 fnfvof 7634 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥)))
150140, 146, 141, 142, 149syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥)))
151148, 150oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
152138, 145, 1513eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦f · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
153114adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦f (+g𝑅)𝑧) Fn 𝐼)
154 fnfvof 7634 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦f (+g𝑅)𝑧) Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
155153, 146, 141, 142, 154syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
156119adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦f · 𝐴) Fn 𝐼)
157121adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧f · 𝐴) Fn 𝐼)
158 fnfvof 7634 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦f · 𝐴) Fn 𝐼 ∧ (𝑧f · 𝐴) Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → (((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))‘𝑥) = (((𝑦f · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
159156, 157, 141, 142, 158syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))‘𝑥) = (((𝑦f · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
160152, 155, 1593eqtr4d 2786 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))‘𝑥))
161117, 122, 160eqfnfvd 6985 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴)))
162107, 161eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴)))
163162oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))))
164101, 163eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))))
165 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥f · 𝐴) = (𝑦f · 𝐴))
166165oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴)))
167 ovex 7390 . . . . . . 7 (𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴)) ∈ V
168166, 76, 167fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑦𝐵 → (𝐸𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴)))
169168ad2antrl 726 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴)))
170 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥f · 𝐴) = (𝑧f · 𝐴))
171170oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)))
172 ovex 7390 . . . . . . 7 (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) ∈ V
173171, 76, 172fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑧𝐵 → (𝐸𝑧) = (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)))
174173ad2antll 727 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸𝑧) = (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)))
175169, 174oveq12d 7375 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝐸𝑦)(+g𝑇)(𝐸𝑧)) = ((𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴))(+g𝑇)(𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
17693, 164, 1753eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = ((𝐸𝑦)(+g𝑇)(𝐸𝑧)))
1771, 19, 20, 21, 23, 25, 77, 176isghmd 19017 . 2 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇))
1788adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑇 ∈ LMod)
17912adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝐼𝑋)
18018fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
181180eleq2d 2823 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹))))
182181biimpar 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
183182adantrr 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
18452adantrl 714 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶)
185184ffvelcdmda 7035 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐶)
18652feqmptd 6910 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
187186, 73eqbrtrrd 5129 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)) finSupp (0g𝑇))
188187adantrl 714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)) finSupp (0g𝑇))
18919, 5, 43, 32, 21, 3, 178, 179, 183, 185, 188gsumvsmul 20386 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))))
19015adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝐹 ∈ LMod)
191 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
192 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
1931, 4, 2, 6lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
194190, 191, 192, 193syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
19513, 46, 1frlmbasf 21166 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑋 ∧ (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧):𝐼⟶(Base‘𝑅))
196179, 194, 195syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧):𝐼⟶(Base‘𝑅))
197196ffnd 6669 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) Fn 𝐼)
198115adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝐴 Fn 𝐼)
199197, 198, 179, 179, 51offn 7630 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
200 dffn2 6670 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼 ↔ ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴):𝐼⟶V)
201199, 200sylib 217 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴):𝐼⟶V)
202201feqmptd 6910 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
2037fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (.r𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑇)))
204203ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (.r𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑇)))
205204oveqd 7374 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) = (𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)))
206205oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
2078ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
208 simplrl 775 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
209180ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
210208, 209eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
21148ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
21239ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
213211, 212eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
214213adantlrl 718 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
21549ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)
216215adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)
217 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.r‘(Scalar‘𝑇)) = (.r‘(Scalar‘𝑇))
21819, 5, 3, 43, 217lmodvsass 20347 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
219207, 210, 214, 216, 218syl13anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
220206, 219eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
221197adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) Fn 𝐼)
222115ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 Fn 𝐼)
22312ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑋)
224 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
225 fnfvof 7634 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
226221, 222, 223, 224, 225syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
22717fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
228227ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
229208, 228eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
230 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑧𝐵)
231 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
23213, 1, 46, 223, 229, 230, 224, 2, 231frlmvscaval 21174 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) = (𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)))
233232oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)) = ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
234226, 233eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
23548ffnd 6669 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 Fn 𝐼)
236235adantrl 714 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑧 Fn 𝐼)
237236adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑧 Fn 𝐼)
238237, 222, 223, 224, 149syl22anc 837 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥)))
239238oveq2d 7373 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
240220, 234, 2393eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
241240mpteq2dva 5205 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥))))
242202, 241eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥))))
243242oveq2d 7373 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))))
244184feqmptd 6910 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
245244oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥))))
246245oveq2d 7373 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))))
247189, 243, 2463eqtr4d 2786 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
248 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) → (𝑥f · 𝐴) = ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴))
249248oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
250 ovex 7390 . . . . 5 (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) ∈ V
251249, 76, 250fvmpt 6948 . . . 4 ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
252194, 251syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
253173oveq2d 7373 . . . 4 (𝑧𝐵 → (𝑦 · (𝐸𝑧)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
254253ad2antll 727 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦 · (𝐸𝑧)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
255247, 252, 2543eqtr4d 2786 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)) = (𝑦 · (𝐸𝑧)))
2561, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 8, 18, 177, 255islmhmd 20500 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615   supp csupp 8092  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Grpcgrp 18748  CMndccmn 19562  Ringcrg 19964  LModclmod 20322   LMHom clmhm 20480   freeLMod cfrlm 21152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lmhm 20483  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153
This theorem is referenced by:  frlmup3  21206  frlmup4  21207  islindf5  21245  indlcim  21246  lnrfg  41432
  Copyright terms: Public domain W3C validator