MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmup1 21836
Description: Any assignment of unit vectors to target vectors can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free module to an arbitrary other module on the same base ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v · = ( ·𝑠𝑇)
frlmup.e 𝐸 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)))
frlmup.t (𝜑𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i (𝜑𝐼𝑋)
frlmup.r (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a (𝜑𝐴:𝐼𝐶)
Assertion
Ref Expression
frlmup1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup1
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐹)
2 eqid 2735 . 2 ( ·𝑠𝐹) = ( ·𝑠𝐹)
3 frlmup.v . 2 · = ( ·𝑠𝑇)
4 eqid 2735 . 2 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
5 eqid 2735 . 2 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6 eqid 2735 . 2 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
7 frlmup.r . . . 4 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑇))
8 frlmup.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ LMod)
95lmodring 20883 . . . . 5 (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
117, 10eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 frlmup.i . . 3 (𝜑𝐼𝑋)
13 frlmup.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
1413frlmlmod 21787 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → 𝐹 ∈ LMod)
1511, 12, 14syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
1613frlmsca 21791 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
1711, 12, 16syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝐹))
187, 17eqtr3d 2777 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝐹))
19 frlmup.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑇)
20 eqid 2735 . . 3 (+g𝐹) = (+g𝐹)
21 eqid 2735 . . 3 (+g𝑇) = (+g𝑇)
22 lmodgrp 20882 . . . 4 (𝐹 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
2315, 22syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
24 lmodgrp 20882 . . . 4 (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Grp)
258, 24syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Grp)
26 eleq1w 2822 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝐵𝑥𝐵))
2726anbi2d 630 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝜑𝑧𝐵) ↔ (𝜑𝑥𝐵)))
28 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧f · 𝐴) = (𝑥f · 𝐴))
2928oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)))
3029eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) ∈ 𝐶 ↔ (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) ∈ 𝐶))
3127, 30imbi12d 344 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → (((𝜑𝑧𝐵) → (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) ∈ 𝐶) ↔ ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) ∈ 𝐶)))
32 eqid 2735 . . . . . 6 (0g𝑇) = (0g𝑇)
33 lmodcmn 20925 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ CMnd)
348, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
3534adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑇 ∈ CMnd)
3612adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐼𝑋)
378ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑇 ∈ LMod)
38 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
397fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
4039ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
4138, 40eleqtrd 2841 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
42 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑦𝐶)
43 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
4419, 5, 3, 43lmodvscl 20893 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐶)
4537, 41, 42, 44syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐶)
46 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4713, 46, 1frlmbasf 21798 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑋𝑧𝐵) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
4812, 47sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
49 frlmup.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:𝐼𝐶)
5049adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐴:𝐼𝐶)
51 inidm 4235 . . . . . . 7 (𝐼𝐼) = 𝐼
5245, 48, 50, 36, 36, 51off 7715 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶)
53 ovexd 7466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) ∈ V)
5452ffund 6741 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → Fun (𝑧f · 𝐴))
55 fvexd 6922 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (0g𝑇) ∈ V)
56 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5713, 56, 1frlmbasfsupp 21796 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑋𝑧𝐵) → 𝑧 finSupp (0g𝑅))
5812, 57sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 finSupp (0g𝑅))
597fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
6059eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g𝑅))
6160breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑧 finSupp (0g𝑅)))
6261adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑧 finSupp (0g𝑅)))
6358, 62mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)))
6463fsuppimpd 9407 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ∈ Fin)
65 ssidd 4019 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))
668ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑇 ∈ LMod)
67 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
6819, 5, 3, 67, 32lmod0vs 20910 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑤𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · 𝑤) = (0g𝑇))
6966, 68sylancom 588 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑤𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · 𝑤) = (0g𝑇))
70 fvexd 6922 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑇)) ∈ V)
7165, 69, 48, 50, 36, 70suppssof1 8223 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → ((𝑧f · 𝐴) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))
72 suppssfifsupp 9418 . . . . . . 7 ((((𝑧f · 𝐴) ∈ V ∧ Fun (𝑧f · 𝐴) ∧ (0g𝑇) ∈ V) ∧ ((𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ∈ Fin ∧ ((𝑧f · 𝐴) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))) → (𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
7353, 54, 55, 64, 71, 72syl32anc 1377 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
7419, 32, 35, 36, 52, 73gsumcl 19948 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) ∈ 𝐶)
7531, 74chvarvv 1996 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) ∈ 𝐶)
76 frlmup.e . . . 4 𝐸 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)))
7775, 76fmptd 7134 . . 3 (𝜑𝐸:𝐵𝐶)
7834adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑇 ∈ CMnd)
7912adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐼𝑋)
80 eleq1w 2822 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝐵𝑦𝐵))
8180anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑𝑧𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐵)))
82 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧f · 𝐴) = (𝑦f · 𝐴))
8382feq1d 6721 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶 ↔ (𝑦f · 𝐴):𝐼𝐶))
8481, 83imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶) ↔ ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴):𝐼𝐶)))
8584, 52chvarvv 1996 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴):𝐼𝐶)
8685adantrr 717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦f · 𝐴):𝐼𝐶)
8752adantrl 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶)
8882breq1d 5158 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇) ↔ (𝑦f · 𝐴) finSupp (0g𝑇)))
8981, 88imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇)) ↔ ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))))
9089, 73chvarvv 1996 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
9190adantrr 717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
9273adantrl 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
9319, 32, 21, 78, 79, 86, 87, 91, 92gsumadd 19956 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))) = ((𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴))(+g𝑇)(𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
941, 20lmodvacl 20890 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
95943expb 1119 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ LMod ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
9615, 95sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
97 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(+g𝐹)𝑧) → (𝑥f · 𝐴) = ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴))
9897oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝐹)𝑧) → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
99 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) ∈ V
10098, 76, 99fvmpt 7016 . . . . . 6 ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
10196, 100syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
10211adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
103 simprl 771 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
104 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
105 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
10613, 1, 102, 79, 103, 104, 105, 20frlmplusgval 21802 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) = (𝑦f (+g𝑅)𝑧))
107106oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴))
10813, 46, 1frlmbasf 21798 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑋𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
10912, 108sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
110109adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
111110ffnd 6738 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐼)
11248adantrl 716 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
113112ffnd 6738 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧 Fn 𝐼)
114111, 113, 79, 79, 51offn 7710 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦f (+g𝑅)𝑧) Fn 𝐼)
11549ffnd 6738 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 Fn 𝐼)
116115adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐴 Fn 𝐼)
117114, 116, 79, 79, 51offn 7710 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
11885ffnd 6738 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦f · 𝐴) Fn 𝐼)
119118adantrr 717 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦f · 𝐴) Fn 𝐼)
12052ffnd 6738 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) Fn 𝐼)
121120adantrl 716 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴) Fn 𝐼)
122119, 121, 79, 79, 51offn 7710 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴)) Fn 𝐼)
1237fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
124123ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
125124oveqd 7448 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) = ((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)))
126125oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
1278ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
128110ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
12939ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
130128, 129eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
131112ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
132131, 129eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
13349adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐴:𝐼𝐶)
134133ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)
135 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (+g‘(Scalar‘𝑇)) = (+g‘(Scalar‘𝑇))
13619, 21, 5, 3, 43, 135lmodvsdir 20901 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)) → (((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
137127, 130, 132, 134, 136syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
138126, 137eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
139111adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 Fn 𝐼)
140113adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑧 Fn 𝐼)
14112ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑋)
142 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
143 fnfvof 7714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 Fn 𝐼𝑧 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → ((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)))
144139, 140, 141, 142, 143syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)))
145144oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
146115ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 Fn 𝐼)
147 fnfvof 7714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → ((𝑦f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥)))
148139, 146, 141, 142, 147syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥)))
149 fnfvof 7714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥)))
150140, 146, 141, 142, 149syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥)))
151148, 150oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
152138, 145, 1513eqtr4d 2785 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦f · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
153114adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦f (+g𝑅)𝑧) Fn 𝐼)
154 fnfvof 7714 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦f (+g𝑅)𝑧) Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
155153, 146, 141, 142, 154syl22anc 839 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦f (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
156119adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦f · 𝐴) Fn 𝐼)
157121adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧f · 𝐴) Fn 𝐼)
158 fnfvof 7714 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦f · 𝐴) Fn 𝐼 ∧ (𝑧f · 𝐴) Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → (((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))‘𝑥) = (((𝑦f · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
159156, 157, 141, 142, 158syl22anc 839 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))‘𝑥) = (((𝑦f · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
160152, 155, 1593eqtr4d 2785 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))‘𝑥))
161117, 122, 160eqfnfvd 7054 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦f (+g𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴)))
162107, 161eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴)))
163162oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))))
164101, 163eqtrd 2775 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦f · 𝐴) ∘f (+g𝑇)(𝑧f · 𝐴))))
165 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥f · 𝐴) = (𝑦f · 𝐴))
166165oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴)))
167 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴)) ∈ V
168166, 76, 167fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑦𝐵 → (𝐸𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴)))
169168ad2antrl 728 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴)))
170 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥f · 𝐴) = (𝑧f · 𝐴))
171170oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)))
172 ovex 7464 . . . . . . 7 (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) ∈ V
173171, 76, 172fvmpt 7016 . . . . . 6 (𝑧𝐵 → (𝐸𝑧) = (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)))
174173ad2antll 729 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸𝑧) = (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)))
175169, 174oveq12d 7449 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝐸𝑦)(+g𝑇)(𝐸𝑧)) = ((𝑇 Σg (𝑦f · 𝐴))(+g𝑇)(𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
17693, 164, 1753eqtr4d 2785 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = ((𝐸𝑦)(+g𝑇)(𝐸𝑧)))
1771, 19, 20, 21, 23, 25, 77, 176isghmd 19256 . 2 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇))
1788adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑇 ∈ LMod)
17912adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝐼𝑋)
18018fveq2d 6911 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
181180eleq2d 2825 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹))))
182181biimpar 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
183182adantrr 717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
18452adantrl 716 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴):𝐼𝐶)
185184ffvelcdmda 7104 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐶)
18652feqmptd 6977 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧f · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
187186, 73eqbrtrrd 5172 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)) finSupp (0g𝑇))
188187adantrl 716 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)) finSupp (0g𝑇))
18919, 5, 43, 32, 21, 3, 178, 179, 183, 185, 188gsumvsmul 20941 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))))
19015adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝐹 ∈ LMod)
191 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
192 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
1931, 4, 2, 6lmodvscl 20893 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
194190, 191, 192, 193syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
19513, 46, 1frlmbasf 21798 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑋 ∧ (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧):𝐼⟶(Base‘𝑅))
196179, 194, 195syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧):𝐼⟶(Base‘𝑅))
197196ffnd 6738 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) Fn 𝐼)
198115adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝐴 Fn 𝐼)
199197, 198, 179, 179, 51offn 7710 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
200 dffn2 6739 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼 ↔ ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴):𝐼⟶V)
201199, 200sylib 218 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴):𝐼⟶V)
202201feqmptd 6977 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
2037fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (.r𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑇)))
204203ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (.r𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑇)))
205204oveqd 7448 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) = (𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)))
206205oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
2078ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
208 simplrl 777 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
209180ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
210208, 209eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
21148ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
21239ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
213211, 212eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
214213adantlrl 720 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
21549ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)
216215adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)
217 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (.r‘(Scalar‘𝑇)) = (.r‘(Scalar‘𝑇))
21819, 5, 3, 43, 217lmodvsass 20902 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
219207, 210, 214, 216, 218syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
220206, 219eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
221197adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) Fn 𝐼)
222115ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 Fn 𝐼)
22312ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑋)
224 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
225 fnfvof 7714 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
226221, 222, 223, 224, 225syl22anc 839 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
22717fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
228227ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
229208, 228eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
230 simplrr 778 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑧𝐵)
231 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
23213, 1, 46, 223, 229, 230, 224, 2, 231frlmvscaval 21806 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) = (𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)))
233232oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)) = ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
234226, 233eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
23548ffnd 6738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 Fn 𝐼)
236235adantrl 716 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑧 Fn 𝐼)
237236adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑧 Fn 𝐼)
238237, 222, 223, 224, 149syl22anc 839 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥)))
239238oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
240220, 234, 2393eqtr4d 2785 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
241240mpteq2dva 5248 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥))))
242202, 241eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥))))
243242oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))))
244184feqmptd 6977 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑧f · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))
245244oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥))))
246245oveq2d 7447 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧f · 𝐴)‘𝑥)))))
247189, 243, 2463eqtr4d 2785 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
248 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) → (𝑥f · 𝐴) = ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴))
249248oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) → (𝑇 Σg (𝑥f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
250 ovex 7464 . . . . 5 (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) ∈ V
251249, 76, 250fvmpt 7016 . . . 4 ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
252194, 251syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
253173oveq2d 7447 . . . 4 (𝑧𝐵 → (𝑦 · (𝐸𝑧)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
254253ad2antll 729 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦 · (𝐸𝑧)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧f · 𝐴))))
255247, 252, 2543eqtr4d 2785 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)) = (𝑦 · (𝐸𝑧)))
2561, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 8, 18, 177, 255islmhmd 21056 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695   supp csupp 8184  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Grpcgrp 18964  CMndccmn 19813  Ringcrg 20251  LModclmod 20875   LMHom clmhm 21036   freeLMod cfrlm 21784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lmhm 21039  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785
This theorem is referenced by:  frlmup3  21838  frlmup4  21839  islindf5  21877  indlcim  21878  lnrfg  43108
  Copyright terms: Public domain W3C validator