Theorem frlmup1 21777

Description: Any assignment of unit vectors to target vectors can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free module to an arbitrary other module on the same base ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmup.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
frlmup.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
frlmup.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
frlmup1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup1

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmup.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
2		eqid 2741	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐹) = ( ·𝑠 ‘𝐹)
3		frlmup.v	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
4		eqid 2741	. 2 ⊢ (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
5		eqid 2741	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6		eqid 2741	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
7		frlmup.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
8		frlmup.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
9	5	lmodring 20862	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
11	7, 10	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		frlmup.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
13		frlmup.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
14	13	frlmlmod 21728	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ LMod)
15	11, 12, 14	syl2anc 591	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)
16	13	frlmsca 21732	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
17	11, 12, 16	syl2anc 591	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
18	7, 17	eqtr3d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝐹))
19		frlmup.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
20		eqid 2741	. . 3 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
21		eqid 2741	. . 3 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
22		lmodgrp 20861	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
23	15, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
24		lmodgrp 20861	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Grp)
25	8, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
26		eleq1w 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
27	26	anbi2d 637	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
28		oveq1 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∘f · 𝐴) = (𝑥 ∘f · 𝐴))
29	28	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
30	29	eleq1d 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)) ∈ 𝐶 ↔ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) ∈ 𝐶))
31	27, 30	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)) ∈ 𝐶) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) ∈ 𝐶)))
32		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
33		lmodcmn 20904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ CMnd)
34	8, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
35	34	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ CMnd)
36	12	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑋)
37	8	ad2antrr 733	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → 𝑇 ∈ LMod)
38		simprl 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
39	7	fveq2d 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
40	39	ad2antrr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
41	38, 40	eleqtrd 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
42		simprr 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝐶)
43		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
44	19, 5, 3, 43	lmodvscl 20872	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐶)
45	37, 41, 42, 44	syl3anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐶)
46		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
47	13, 46, 1	frlmbasf 21739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
48	12, 47	sylan 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
49		frlmup.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
50	49	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
51		inidm 4158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
52	45, 48, 50, 36, 36, 51	off 7642	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)
53		ovexd 7395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∘f · 𝐴) ∈ V)
54	52	ffund 6663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → Fun (𝑧 ∘f · 𝐴))
55		fvexd 6846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑇) ∈ V)
56		eqid 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
57	13, 56, 1	frlmbasfsupp 21737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 finSupp (0g‘𝑅))
58	12, 57	sylan 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 finSupp (0g‘𝑅))
59	7	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
60	59	eqcomd 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘𝑅))
61	60	breq2d 5087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑧 finSupp (0g‘𝑅)))
62	61	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑧 finSupp (0g‘𝑅)))
63	58, 62	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)))
64	63	fsuppimpd 9276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ∈ Fin)
65		ssidd 3940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))
66	8	ad2antrr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑇 ∈ LMod)
67		eqid 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
68	19, 5, 3, 67, 32	lmod0vs 20889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · 𝑤) = (0g‘𝑇))
69	66, 68	sylancom 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · 𝑤) = (0g‘𝑇))
70		fvexd 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑇)) ∈ V)
71	65, 69, 48, 50, 36, 70	suppssof1 8143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑧 ∘f · 𝐴) supp (0g‘𝑇)) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))
72		suppssfifsupp 9287	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∘f · 𝐴) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∘f · 𝐴) ∧ (0g‘𝑇) ∈ V) ∧ ((𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∘f · 𝐴) supp (0g‘𝑇)) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))) → (𝑧 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇))
73	53, 54, 55, 64, 71, 72	syl32anc 1387	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇))
74	19, 32, 35, 36, 52, 73	gsumcl 19885	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)) ∈ 𝐶)
75	31, 74	chvarvv 1997	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) ∈ 𝐶)
76		frlmup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
77	75, 76	fmptd 7059	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵⟶𝐶)
78	34	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑇 ∈ CMnd)
79	12	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑋)
80		eleq1w 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
81	80	anbi2d 637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
82		oveq1 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∘f · 𝐴) = (𝑦 ∘f · 𝐴))
83	82	feq1d 6641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶 ↔ (𝑦 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶))
84	81, 83	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)))
85	84, 52	chvarvv 1997	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)
86	85	adantrr 724	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)
87	52	adantrl 723	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)
88	82	breq1d 5085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇) ↔ (𝑦 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇)))
89	81, 88	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇))))
90	89, 73	chvarvv 1997	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇))
91	90	adantrr 724	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇))
92	73	adantrl 723	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇))
93	19, 32, 21, 78, 79, 86, 87, 91, 92	gsumadd 19893	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴))) = ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴))(+g‘𝑇)(𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴))))
94	1, 20	lmodvacl 20869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
95	94	3expb 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
96	15, 95	sylan 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
97		oveq1 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐹)𝑧) → (𝑥 ∘f · 𝐴) = ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴))
98	97	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐹)𝑧) → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
99		ovex 7393	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 Σg ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) ∈ V
100	98, 76, 99	fvmpt 6939	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑦(+g‘𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
101	96, 100	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g‘𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
102	11	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
103		simprl 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
104		simprr 779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
105		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
106	13, 1, 102, 79, 103, 104, 105, 20	frlmplusgval 21743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐹)𝑧) = (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
107	106	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴))
108	13, 46, 1	frlmbasf 21739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
109	12, 108	sylan 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
110	109	adantrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
111	110	ffnd 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐼)
112	48	adantrl 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
113	112	ffnd 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 Fn 𝐼)
114	111, 113, 79, 79, 51	offn 7637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) Fn 𝐼)
115	49	ffnd 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
116	115	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐴 Fn 𝐼)
117	114, 116, 79, 79, 51	offn 7637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
118	85	ffnd 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
119	118	adantrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
120	52	ffnd 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
121	120	adantrl 723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
122	119, 121, 79, 79, 51	offn 7637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴)) Fn 𝐼)
123	7	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
124	123	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (+g‘𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
125	124	oveqd 7377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) = ((𝑦‘𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧‘𝑥)))
126	125	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)) = (((𝑦‘𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)))
127	8	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
128	110	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
129	39	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
130	128, 129	eleqtrd 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
131	112	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
132	131, 129	eleqtrd 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
133	49	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
134	133	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)
135		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑇)) = (+g‘(Scalar‘𝑇))
136	19, 21, 5, 3, 43, 135	lmodvsdir 20880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ ((𝑦‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝑧‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)) → (((𝑦‘𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)) = (((𝑦‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))(+g‘𝑇)((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))))
137	127, 130, 132, 134, 136	syl13anc 1381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦‘𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)) = (((𝑦‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))(+g‘𝑇)((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))))
138	126, 137	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)) = (((𝑦‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))(+g‘𝑇)((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))))
139	111	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑦 Fn 𝐼)
140	113	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑧 Fn 𝐼)
141	12	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑋)
142		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
143		fnfvof 7641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 Fn 𝐼 ∧ 𝑧 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → ((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)‘𝑥) = ((𝑦‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧‘𝑥)))
144	139, 140, 141, 142, 143	syl22anc 845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)‘𝑥) = ((𝑦‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧‘𝑥)))
145	144	oveq1d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)) = (((𝑦‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)))
146	115	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 Fn 𝐼)
147		fnfvof 7641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → ((𝑦 ∘f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
148	139, 146, 141, 142, 147	syl22anc 845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∘f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
149		fnfvof 7641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
150	140, 146, 141, 142, 149	syl22anc 845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
151	148, 150	oveq12d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦 ∘f · 𝐴)‘𝑥)(+g‘𝑇)((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)) = (((𝑦‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))(+g‘𝑇)((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))))
152	138, 145, 151	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)) = (((𝑦 ∘f · 𝐴)‘𝑥)(+g‘𝑇)((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
153	114	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) Fn 𝐼)
154		fnfvof 7641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → (((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
155	153, 146, 141, 142, 154	syl22anc 845	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
156	119	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
157	121	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑧 ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
158		fnfvof 7641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∘f · 𝐴) Fn 𝐼 ∧ (𝑧 ∘f · 𝐴) Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → (((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴))‘𝑥) = (((𝑦 ∘f · 𝐴)‘𝑥)(+g‘𝑇)((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
159	156, 157, 141, 142, 158	syl22anc 845	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴))‘𝑥) = (((𝑦 ∘f · 𝐴)‘𝑥)(+g‘𝑇)((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
160	152, 155, 159	3eqtr4d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴))‘𝑥))
161	117, 122, 160	eqfnfvd 6978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴)))
162	107, 161	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴)))
163	162	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴))))
164	101, 163	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g‘𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴))))
165		oveq1 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∘f · 𝐴) = (𝑦 ∘f · 𝐴))
166	165	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
167		ovex 7393	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) ∈ V
168	166, 76, 167	fvmpt 6939	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐸‘𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
169	168	ad2antrl 735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
170		oveq1 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∘f · 𝐴) = (𝑧 ∘f · 𝐴))
171	170	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)))
172		ovex 7393	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)) ∈ V
173	171, 76, 172	fvmpt 6939	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝐸‘𝑧) = (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)))
174	173	ad2antll 736	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘𝑧) = (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)))
175	169, 174	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝐸‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐸‘𝑧)) = ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴))(+g‘𝑇)(𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴))))
176	93, 164, 175	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g‘𝐹)𝑧)) = ((𝐸‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐸‘𝑧)))
177	1, 19, 20, 21, 23, 25, 77, 176	isghmd 19195	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇))
178	8	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑇 ∈ LMod)
179	12	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑋)
180	18	fveq2d 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
181	180	eleq2d 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹))))
182	181	biimpar 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
183	182	adantrr 724	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
184	52	adantrl 723	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)
185	184	ffvelcdmda 7029	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐶)
186	52	feqmptd 6899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∘f · 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
187	186, 73	eqbrtrrd 5099	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)) finSupp (0g‘𝑇))
188	187	adantrl 723	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)) finSupp (0g‘𝑇))
189	19, 5, 43, 32, 21, 3, 178, 179, 183, 185, 188	gsumvsmul 20920	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑇 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))))
190	15	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ LMod)
191		simprl 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
192		simprr 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
193	1, 4, 2, 6	lmodvscl 20872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
194	190, 191, 192, 193	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
195	13, 46, 1	frlmbasf 21739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐵) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧):𝐼⟶(Base‘𝑅))
196	179, 194, 195	syl2anc 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧):𝐼⟶(Base‘𝑅))
197	196	ffnd 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) Fn 𝐼)
198	115	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐴 Fn 𝐼)
199	197, 198, 179, 179, 51	offn 7637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
200		dffn2 6661	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼 ↔ ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴):𝐼⟶V)
201	199, 200	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴):𝐼⟶V)
202	201	feqmptd 6899	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
203	7	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑇)))
204	203	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (.r‘𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑇)))
205	204	oveqd 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦(.r‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) = (𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧‘𝑥)))
206	205	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦(.r‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)) = ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)))
207	8	ad2antrr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
208		simplrl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
209	180	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
210	208, 209	eleqtrrd 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
211	48	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
212	39	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
213	211, 212	eleqtrd 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
214	213	adantlrl 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
215	49	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)
216	215	adantlr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)
217		eqid 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑇)) = (.r‘(Scalar‘𝑇))
218	19, 5, 3, 43, 217	lmodvsass 20881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝑧‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))))
219	207, 210, 214, 216, 218	syl13anc 1381	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))))
220	206, 219	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦(.r‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))))
221	197	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) Fn 𝐼)
222	115	ad2antrr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 Fn 𝐼)
223	12	ad2antrr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑋)
224		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
225		fnfvof 7641	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
226	221, 222, 223, 224, 225	syl22anc 845	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
227	17	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
228	227	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
229	208, 228	eleqtrrd 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
230		simplrr 784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ 𝐵)
231		eqid 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
232	13, 1, 46, 223, 229, 230, 224, 2, 231	frlmvscaval 21747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧)‘𝑥) = (𝑦(.r‘𝑅)(𝑧‘𝑥)))
233	232	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)) = ((𝑦(.r‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)))
234	226, 233	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦(.r‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)))
235	48	ffnd 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 Fn 𝐼)
236	235	adantrl 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 Fn 𝐼)
237	236	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑧 Fn 𝐼)
238	237, 222, 223, 224, 149	syl22anc 845	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
239	238	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 · ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))))
240	220, 234, 239	3eqtr4d 2786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (𝑦 · ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
241	240	mpteq2dva 5168	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥))))
242	202, 241	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥))))
243	242	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))))
244	184	feqmptd 6899	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∘f · 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
245	244	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥))))
246	245	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴))) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))))
247	189, 243, 246	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴))))
248		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) → (𝑥 ∘f · 𝐴) = ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴))
249	248	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
250		ovex 7393	. . . . 5 ⊢ (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) ∈ V
251	249, 76, 250	fvmpt 6939	. . . 4 ⊢ ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
252	194, 251	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
253	173	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑦 · (𝐸‘𝑧)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴))))
254	253	ad2antll 736	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 · (𝐸‘𝑧)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴))))
255	247, 252, 254	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧)) = (𝑦 · (𝐸‘𝑧)))
256	1, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 8, 18, 177, 255	islmhmd 21033	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  Fun wfun 6483   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622   supp csupp 8104  Fincfn 8887   finSupp cfsupp 9268  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  0_gc0g 17397   Σ_g cgsu 17398  Grpcgrp 18904  CMndccmn 19750  Ringcrg 20209  LModclmod 20854   LMHom clmhm 21013   freeLMod cfrlm 21725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-subrg 20546  df-lmod 20856  df-lss 20926  df-lmhm 21016  df-sra 21167  df-rgmod 21168  df-dsmm 21711  df-frlm 21726

This theorem is referenced by:  frlmup3  21779  frlmup4  21780  islindf5  21818  indlcim  21819  lnrfg  43579