Theorem frlmup1 21204

Description: Any assignment of unit vectors to target vectors can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free module to an arbitrary other module on the same base ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmup.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
frlmup.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
frlmup.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
frlmup1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup1

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmup.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐹) = ( ·𝑠 ‘𝐹)
3		frlmup.v	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
4		eqid 2736	. 2 ⊢ (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
5		eqid 2736	. 2 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
7		frlmup.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
8		frlmup.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
9	5	lmodring 20330	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
11	7, 10	eqeltrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		frlmup.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
13		frlmup.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
14	13	frlmlmod 21155	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ LMod)
15	11, 12, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)
16	13	frlmsca 21159	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
17	11, 12, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
18	7, 17	eqtr3d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝐹))
19		frlmup.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
20		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
21		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
22		lmodgrp 20329	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
23	15, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
24		lmodgrp 20329	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Grp)
25	8, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
26		eleq1w 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵))
27	26	anbi2d 629	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)))
28		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∘f · 𝐴) = (𝑥 ∘f · 𝐴))
29	28	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
30	29	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)) ∈ 𝐶 ↔ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) ∈ 𝐶))
31	27, 30	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)) ∈ 𝐶) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) ∈ 𝐶)))
32		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
33		lmodcmn 20370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ CMnd)
34	8, 33	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CMnd)
35	34	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑇 ∈ CMnd)
36	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑋)
37	8	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → 𝑇 ∈ LMod)
38		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
39	7	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
40	39	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
41	38, 40	eleqtrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
42		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝐶)
43		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
44	19, 5, 3, 43	lmodvscl 20339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐶)
45	37, 41, 42, 44	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐶)
46		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
47	13, 46, 1	frlmbasf 21166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
48	12, 47	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
49		frlmup.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
50	49	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
51		inidm 4178	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
52	45, 48, 50, 36, 36, 51	off 7635	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)
53		ovexd 7392	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∘f · 𝐴) ∈ V)
54	52	ffund 6672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → Fun (𝑧 ∘f · 𝐴))
55		fvexd 6857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑇) ∈ V)
56		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
57	13, 56, 1	frlmbasfsupp 21164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 finSupp (0g‘𝑅))
58	12, 57	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 finSupp (0g‘𝑅))
59	7	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
60	59	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘𝑅))
61	60	breq2d 5117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑧 finSupp (0g‘𝑅)))
62	61	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑧 finSupp (0g‘𝑅)))
63	58, 62	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)))
64	63	fsuppimpd 9312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ∈ Fin)
65		ssidd 3967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))
66	8	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑇 ∈ LMod)
67		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
68	19, 5, 3, 67, 32	lmod0vs 20355	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · 𝑤) = (0g‘𝑇))
69	66, 68	sylancom 588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · 𝑤) = (0g‘𝑇))
70		fvexd 6857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑇)) ∈ V)
71	65, 69, 48, 50, 36, 70	suppssof1 8130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑧 ∘f · 𝐴) supp (0g‘𝑇)) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))
72		suppssfifsupp 9320	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 ∘f · 𝐴) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∘f · 𝐴) ∧ (0g‘𝑇) ∈ V) ∧ ((𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∘f · 𝐴) supp (0g‘𝑇)) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))) → (𝑧 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇))
73	53, 54, 55, 64, 71, 72	syl32anc 1378	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇))
74	19, 32, 35, 36, 52, 73	gsumcl 19692	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)) ∈ 𝐶)
75	31, 74	chvarvv 2002	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) ∈ 𝐶)
76		frlmup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
77	75, 76	fmptd 7062	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝐵⟶𝐶)
78	34	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑇 ∈ CMnd)
79	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑋)
80		eleq1w 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
81	80	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
82		oveq1 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∘f · 𝐴) = (𝑦 ∘f · 𝐴))
83	82	feq1d 6653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶 ↔ (𝑦 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶))
84	81, 83	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)))
85	84, 52	chvarvv 2002	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)
86	85	adantrr 715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)
87	52	adantrl 714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)
88	82	breq1d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇) ↔ (𝑦 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇)))
89	81, 88	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇))))
90	89, 73	chvarvv 2002	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇))
91	90	adantrr 715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇))
92	73	adantrl 714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∘f · 𝐴) finSupp (0g‘𝑇))
93	19, 32, 21, 78, 79, 86, 87, 91, 92	gsumadd 19700	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴))) = ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴))(+g‘𝑇)(𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴))))
94	1, 20	lmodvacl 20336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
95	94	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
96	15, 95	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
97		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐹)𝑧) → (𝑥 ∘f · 𝐴) = ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴))
98	97	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐹)𝑧) → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
99		ovex 7390	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 Σg ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) ∈ V
100	98, 76, 99	fvmpt 6948	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑦(+g‘𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
101	96, 100	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g‘𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
102	11	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
103		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
104		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
105		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
106	13, 1, 102, 79, 103, 104, 105, 20	frlmplusgval 21170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝐹)𝑧) = (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧))
107	106	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴))
108	13, 46, 1	frlmbasf 21166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
109	12, 108	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
110	109	adantrr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
111	110	ffnd 6669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐼)
112	48	adantrl 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
113	112	ffnd 6669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 Fn 𝐼)
114	111, 113, 79, 79, 51	offn 7630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) Fn 𝐼)
115	49	ffnd 6669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
116	115	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐴 Fn 𝐼)
117	114, 116, 79, 79, 51	offn 7630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
118	85	ffnd 6669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
119	118	adantrr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
120	52	ffnd 6669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
121	120	adantrl 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
122	119, 121, 79, 79, 51	offn 7630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴)) Fn 𝐼)
123	7	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
124	123	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (+g‘𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
125	124	oveqd 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) = ((𝑦‘𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧‘𝑥)))
126	125	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)) = (((𝑦‘𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)))
127	8	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
128	110	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
129	39	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
130	128, 129	eleqtrd 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
131	112	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
132	131, 129	eleqtrd 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
133	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
134	133	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)
135		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑇)) = (+g‘(Scalar‘𝑇))
136	19, 21, 5, 3, 43, 135	lmodvsdir 20346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ ((𝑦‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝑧‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)) → (((𝑦‘𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)) = (((𝑦‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))(+g‘𝑇)((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))))
137	127, 130, 132, 134, 136	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦‘𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)) = (((𝑦‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))(+g‘𝑇)((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))))
138	126, 137	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)) = (((𝑦‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))(+g‘𝑇)((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))))
139	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑦 Fn 𝐼)
140	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑧 Fn 𝐼)
141	12	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑋)
142		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
143		fnfvof 7634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 Fn 𝐼 ∧ 𝑧 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → ((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)‘𝑥) = ((𝑦‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧‘𝑥)))
144	139, 140, 141, 142, 143	syl22anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)‘𝑥) = ((𝑦‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧‘𝑥)))
145	144	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)) = (((𝑦‘𝑥)(+g‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)))
146	115	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 Fn 𝐼)
147		fnfvof 7634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → ((𝑦 ∘f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
148	139, 146, 141, 142, 147	syl22anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦 ∘f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
149		fnfvof 7634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
150	140, 146, 141, 142, 149	syl22anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
151	148, 150	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦 ∘f · 𝐴)‘𝑥)(+g‘𝑇)((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)) = (((𝑦‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))(+g‘𝑇)((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))))
152	138, 145, 151	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)) = (((𝑦 ∘f · 𝐴)‘𝑥)(+g‘𝑇)((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
153	114	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) Fn 𝐼)
154		fnfvof 7634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → (((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
155	153, 146, 141, 142, 154	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
156	119	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
157	121	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑧 ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
158		fnfvof 7634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∘f · 𝐴) Fn 𝐼 ∧ (𝑧 ∘f · 𝐴) Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → (((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴))‘𝑥) = (((𝑦 ∘f · 𝐴)‘𝑥)(+g‘𝑇)((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
159	156, 157, 141, 142, 158	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴))‘𝑥) = (((𝑦 ∘f · 𝐴)‘𝑥)(+g‘𝑇)((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
160	152, 155, 159	3eqtr4d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴))‘𝑥))
161	117, 122, 160	eqfnfvd 6985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦 ∘f (+g‘𝑅)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴)))
162	107, 161	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = ((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴)))
163	162	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦(+g‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴))))
164	101, 163	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g‘𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦 ∘f · 𝐴) ∘f (+g‘𝑇)(𝑧 ∘f · 𝐴))))
165		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∘f · 𝐴) = (𝑦 ∘f · 𝐴))
166	165	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
167		ovex 7390	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) ∈ V
168	166, 76, 167	fvmpt 6948	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐸‘𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
169	168	ad2antrl 726	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
170		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∘f · 𝐴) = (𝑧 ∘f · 𝐴))
171	170	oveq2d 7373	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)))
172		ovex 7390	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)) ∈ V
173	171, 76, 172	fvmpt 6948	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝐸‘𝑧) = (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)))
174	173	ad2antll 727	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘𝑧) = (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)))
175	169, 174	oveq12d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝐸‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐸‘𝑧)) = ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴))(+g‘𝑇)(𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴))))
176	93, 164, 175	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g‘𝐹)𝑧)) = ((𝐸‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐸‘𝑧)))
177	1, 19, 20, 21, 23, 25, 77, 176	isghmd 19017	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇))
178	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑇 ∈ LMod)
179	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑋)
180	18	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
181	180	eleq2d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹))))
182	181	biimpar 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
183	182	adantrr 715	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
184	52	adantrl 714	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)
185	184	ffvelcdmda 7035	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐶)
186	52	feqmptd 6910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑧 ∘f · 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
187	186, 73	eqbrtrrd 5129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)) finSupp (0g‘𝑇))
188	187	adantrl 714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)) finSupp (0g‘𝑇))
189	19, 5, 43, 32, 21, 3, 178, 179, 183, 185, 188	gsumvsmul 20386	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑇 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))))
190	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ LMod)
191		simprl 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
192		simprr 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
193	1, 4, 2, 6	lmodvscl 20339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
194	190, 191, 192, 193	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
195	13, 46, 1	frlmbasf 21166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐵) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧):𝐼⟶(Base‘𝑅))
196	179, 194, 195	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧):𝐼⟶(Base‘𝑅))
197	196	ffnd 6669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) Fn 𝐼)
198	115	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝐴 Fn 𝐼)
199	197, 198, 179, 179, 51	offn 7630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼)
200		dffn2 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) Fn 𝐼 ↔ ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴):𝐼⟶V)
201	199, 200	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴):𝐼⟶V)
202	201	feqmptd 6910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
203	7	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (.r‘𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑇)))
204	203	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (.r‘𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑇)))
205	204	oveqd 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦(.r‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) = (𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧‘𝑥)))
206	205	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦(.r‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)) = ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)))
207	8	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
208		simplrl 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
209	180	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
210	208, 209	eleqtrrd 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
211	48	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
212	39	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
213	211, 212	eleqtrd 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
214	213	adantlrl 718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑧‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
215	49	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)
216	215	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)
217		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑇)) = (.r‘(Scalar‘𝑇))
218	19, 5, 3, 43, 217	lmodvsass 20347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝑧‘𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))))
219	207, 210, 214, 216, 218	syl13anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))))
220	206, 219	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦(.r‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))))
221	197	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) Fn 𝐼)
222	115	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 Fn 𝐼)
223	12	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑋)
224		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
225		fnfvof 7634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
226	221, 222, 223, 224, 225	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
227	17	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
228	227	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
229	208, 228	eleqtrrd 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
230		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ 𝐵)
231		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
232	13, 1, 46, 223, 229, 230, 224, 2, 231	frlmvscaval 21174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧)‘𝑥) = (𝑦(.r‘𝑅)(𝑧‘𝑥)))
233	232	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)) = ((𝑦(.r‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)))
234	226, 233	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦(.r‘𝑅)(𝑧‘𝑥)) · (𝐴‘𝑥)))
235	48	ffnd 6669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 Fn 𝐼)
236	235	adantrl 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 Fn 𝐼)
237	236	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑧 Fn 𝐼)
238	237, 222, 223, 224, 149	syl22anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
239	238	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦 · ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧‘𝑥) · (𝐴‘𝑥))))
240	220, 234, 239	3eqtr4d 2786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (𝑦 · ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
241	240	mpteq2dva 5205	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥))))
242	202, 241	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥))))
243	242	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))))
244	184	feqmptd 6910	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑧 ∘f · 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))
245	244	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥))))
246	245	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴))) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑧 ∘f · 𝐴)‘𝑥)))))
247	189, 243, 246	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴))))
248		oveq1 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) → (𝑥 ∘f · 𝐴) = ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴))
249	248	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
250		ovex 7390	. . . . 5 ⊢ (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)) ∈ V
251	249, 76, 250	fvmpt 6948	. . . 4 ⊢ ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
252	194, 251	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧) ∘f · 𝐴)))
253	173	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐵 → (𝑦 · (𝐸‘𝑧)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴))))
254	253	ad2antll 727	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 · (𝐸‘𝑧)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧 ∘f · 𝐴))))
255	247, 252, 254	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠 ‘𝐹)𝑧)) = (𝑦 · (𝐸‘𝑧)))
256	1, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 8, 18, 177, 255	islmhmd 20500	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615   supp csupp 8092  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·_𝑠 cvsca 17137  0_gc0g 17321   Σ_g cgsu 17322  Grpcgrp 18748  CMndccmn 19562  Ringcrg 19964  LModclmod 20322   LMHom clmhm 20480   freeLMod cfrlm 21152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lmhm 20483  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153

This theorem is referenced by:  frlmup3  21206  frlmup4  21207  islindf5  21245  indlcim  21246  lnrfg  41432