MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsmmulgdi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodvsmmulgdi 20733
Description: Distributive law for a group multiple of a scalar multiplication. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmmulgdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodvsmmulgdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodvsmmulgdi.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodvsmmulgdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodvsmmulgdi.p ↑ = (.gβ€˜π‘Š)
lmodvsmmulgdi.e 𝐸 = (.gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
lmodvsmmulgdi ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋))
Proof of Theorem lmodvsmmulgdi
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7408 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)))
2 oveq1 7408 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯𝐸𝐢) = (0𝐸𝐢))
32oveq1d 7416 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) = ((0𝐸𝐢) Β· 𝑋))
41, 3eqeq12d 2740 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) ↔ (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((0𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
54imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋)) ↔ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((0𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
6 oveq1 7408 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)))
7 oveq1 7408 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯𝐸𝐢) = (𝑦𝐸𝐢))
87oveq1d 7416 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋))
96, 8eqeq12d 2740 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) ↔ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
109imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋)) ↔ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
11 oveq1 7408 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)))
12 oveq1 7408 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯𝐸𝐢) = ((𝑦 + 1)𝐸𝐢))
1312oveq1d 7416 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))
1411, 13eqeq12d 2740 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
1514imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋)) ↔ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
16 oveq1 7408 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)))
17 oveq1 7408 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯𝐸𝐢) = (𝑁𝐸𝐢))
1817oveq1d 7416 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋))
1916, 18eqeq12d 2740 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) ↔ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
2019imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋)) ↔ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
21 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ π‘Š ∈ LMod)
22 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2322adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
24 lmodvsmmulgdi.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
25 lmodvsmmulgdi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
26 lmodvsmmulgdi.s . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
27 eqid 2724 . . . . . . . 8 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
28 eqid 2724 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
2924, 25, 26, 27, 28lmod0vs 20731 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
3021, 23, 29syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
31 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
3231adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
33 lmodvsmmulgdi.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
34 lmodvsmmulgdi.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (.gβ€˜πΉ)
3533, 27, 34mulg0 18992 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ 𝐾 β†’ (0𝐸𝐢) = (0gβ€˜πΉ))
3632, 35syl 17 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0𝐸𝐢) = (0gβ€˜πΉ))
3736oveq1d 7416 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((0𝐸𝐢) Β· 𝑋) = ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
3824, 25, 26, 33lmodvscl 20714 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
3921, 32, 23, 38syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝐢 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
40 lmodvsmmulgdi.p . . . . . . . 8 ↑ = (.gβ€˜π‘Š)
4124, 28, 40mulg0 18992 . . . . . . 7 ((𝐢 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 β†’ (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (0gβ€˜π‘Š))
4239, 41syl 17 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (0gβ€˜π‘Š))
4330, 37, 423eqtr4rd 2775 . . . . 5 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((0𝐸𝐢) Β· 𝑋))
44 lmodgrp 20703 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
4544grpmndd 18866 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Mnd)
4645ad2antll 726 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
47 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
4839adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝐢 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
49 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
5024, 40, 49mulgnn0p1 19002 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ (𝐢 Β· 𝑋) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
5146, 47, 48, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
5251adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
53 oveq1 7408 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋) β†’ ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
5421adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
5525lmodring 20704 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
56 ringmnd 20138 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
5857ad2antll 726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
59 simprll 776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
6033, 34, 58, 47, 59mulgnn0cld 19012 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑦𝐸𝐢) ∈ 𝐾)
6123adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
62 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
6324, 49, 25, 26, 33, 62lmodvsdir 20722 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝐢) ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢) Β· 𝑋) = (((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
6454, 60, 59, 61, 63syl13anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢) Β· 𝑋) = (((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
6533, 34, 62mulgnn0p1 19002 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝐢) = ((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢))
6658, 47, 59, 65syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝐢) = ((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢))
6766eqcomd 2730 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢) = ((𝑦 + 1)𝐸𝐢))
6867oveq1d 7416 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢) Β· 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))
6964, 68eqtr3d 2766 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))
7053, 69sylan9eqr 2786 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)) β†’ ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))
7152, 70eqtrd 2764 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))
7271exp31 419 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
7372a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ ((((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)) β†’ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
745, 10, 15, 20, 43, 73nn0ind 12654 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
7574exp4c 432 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐢 ∈ 𝐾 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋)))))
76753imp21 1111 . 2 ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
7776impcom 407 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  β„•0cn0 12469  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384  Mndcmnd 18657  .gcmg 18985  Ringcrg 20128  LModclmod 20696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-seq 13964  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-mulg 18986  df-ring 20130  df-lmod 20698
This theorem is referenced by:  asclmulg  21764  chpscmatgsummon  22669
  Copyright terms: Public domain W3C validator