Theorem lmodvsmmulgdi 20852

Description: Distributive law for a group multiple of a scalar multiplication. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsmmulgdi.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsmmulgdi.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsmmulgdi.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsmmulgdi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsmmulgdi.p	⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
lmodvsmmulgdi.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsmmulgdi	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑁 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsmmulgdi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = (0 ↑ (𝐶 · 𝑋)))
2		oveq1 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝐶) = (0𝐸𝐶))
3	2	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) = ((0𝐸𝐶) · 𝑋))
4	1, 3	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) ↔ (0 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((0𝐸𝐶) · 𝑋)))
5	4	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑥 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋)) ↔ (((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((0𝐸𝐶) · 𝑋))))
6		oveq1 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = (𝑦 ↑ (𝐶 · 𝑋)))
7		oveq1 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝐶) = (𝑦𝐸𝐶))
8	7	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋))
9	6, 8	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) ↔ (𝑦 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)))
10	9	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑥 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋)) ↔ (((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑦 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋))))
11		oveq1 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦 + 1) ↑ (𝐶 · 𝑋)))
12		oveq1 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝐶) = ((𝑦 + 1)𝐸𝐶))
13	12	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
14	11, 13	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋)))
15	14	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑥 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋)) ↔ (((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑦 + 1) ↑ (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))))
16		oveq1 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝐶 · 𝑋)))
17		oveq1 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝐶) = (𝑁𝐸𝐶))
18	17	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋))
19	16, 18	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) ↔ (𝑁 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))
20	19	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑥 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋)) ↔ (((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑁 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋))))
21		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑊 ∈ LMod)
22		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑋 ∈ 𝑉)
24		lmodvsmmulgdi.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
25		lmodvsmmulgdi.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
26		lmodvsmmulgdi.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
27		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
28		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
29	24, 25, 26, 27, 28	lmod0vs 20850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
30	21, 23, 29	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g‘𝐹) · 𝑋) = (0g‘𝑊))
31		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝐾)
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝐶 ∈ 𝐾)
33		lmodvsmmulgdi.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
34		lmodvsmmulgdi.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐹)
35	33, 27, 34	mulg0 19008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐾 → (0𝐸𝐶) = (0g‘𝐹))
36	32, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0𝐸𝐶) = (0g‘𝐹))
37	36	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0𝐸𝐶) · 𝑋) = ((0g‘𝐹) · 𝑋))
38	24, 25, 26, 33	lmodvscl 20833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉)
39	21, 32, 23, 38	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉)
40		lmodvsmmulgdi.p	. . . . . . . 8 ⊢ ↑ = (.g‘𝑊)
41	24, 28, 40	mulg0 19008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉 → (0 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = (0g‘𝑊))
42	39, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = (0g‘𝑊))
43	30, 37, 42	3eqtr4rd 2783	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((0𝐸𝐶) · 𝑋))
44		lmodgrp 20822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
45	44	grpmndd 18880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Mnd)
46	45	ad2antll 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ Mnd)
47		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
48	39	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉)
49		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
50	24, 40, 49	mulgnn0p1 19019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1) ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ (𝐶 · 𝑋))(+g‘𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
51	46, 47, 48, 50	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1) ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ (𝐶 · 𝑋))(+g‘𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
52	51	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑦 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦 ↑ (𝐶 · 𝑋))(+g‘𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
53		oveq1 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋) → ((𝑦 ↑ (𝐶 · 𝑋))(+g‘𝑊)(𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
54	21	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ LMod)
55	25	lmodring 20823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
56		ringmnd 20182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Mnd)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Mnd)
58	57	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐹 ∈ Mnd)
59		simprll 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
60	33, 34, 58, 47, 59	mulgnn0cld 19029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦𝐸𝐶) ∈ 𝐾)
61	23	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
62		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
63	24, 49, 25, 26, 33, 62	lmodvsdir 20841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝐶) ∈ 𝐾 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((𝑦𝐸𝐶)(+g‘𝐹)𝐶) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
64	54, 60, 59, 61, 63	syl13anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝐶)(+g‘𝐹)𝐶) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
65	33, 34, 62	mulgnn0p1 19019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ((𝑦 + 1)𝐸𝐶) = ((𝑦𝐸𝐶)(+g‘𝐹)𝐶))
66	58, 47, 59, 65	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝐶) = ((𝑦𝐸𝐶)(+g‘𝐹)𝐶))
67	66	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦𝐸𝐶)(+g‘𝐹)𝐶) = ((𝑦 + 1)𝐸𝐶))
68	67	oveq1d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝐶)(+g‘𝐹)𝐶) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
69	64, 68	eqtr3d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
70	53, 69	sylan9eqr 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑦 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)) → ((𝑦 ↑ (𝐶 · 𝑋))(+g‘𝑊)(𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
71	52, 70	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑦 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) ↑ (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
72	71	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑦 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋) → ((𝑦 + 1) ↑ (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))))
73	72	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑦 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)) → (((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑦 + 1) ↑ (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))))
74	5, 10, 15, 20, 43, 73	nn0ind 12591	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑁 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))
75	74	exp4c 432	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐶 ∈ 𝐾 → (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑁 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))))
76	75	3imp21 1114	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → (𝑁 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))
77	76	impcom 407	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝑁 ↑ (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033  ℕ₀cn0 12405  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  Scalarcsca 17184   ·_𝑠 cvsca 17185  0_gc0g 17363  Mndcmnd 18663  ._gcmg 19001  Ringcrg 20172  LModclmod 20815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-seq 13929  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-mulg 19002  df-ring 20174  df-lmod 20817

This theorem is referenced by:  asclmulg  21862  chpscmatgsummon  22793