MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsmmulgdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsmmulgdi 20373
Description: Distributive law for a group multiple of a scalar multiplication. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmmulgdi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodvsmmulgdi.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodvsmmulgdi.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodvsmmulgdi.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodvsmmulgdi.p ↑ = (.gβ€˜π‘Š)
lmodvsmmulgdi.e 𝐸 = (.gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
lmodvsmmulgdi ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsmmulgdi
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7369 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)))
2 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯𝐸𝐢) = (0𝐸𝐢))
32oveq1d 7377 . . . . . . 7 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) = ((0𝐸𝐢) Β· 𝑋))
41, 3eqeq12d 2753 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) ↔ (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((0𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
54imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ ((((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋)) ↔ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((0𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
6 oveq1 7369 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)))
7 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯𝐸𝐢) = (𝑦𝐸𝐢))
87oveq1d 7377 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋))
96, 8eqeq12d 2753 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) ↔ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
109imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋)) ↔ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
11 oveq1 7369 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)))
12 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯𝐸𝐢) = ((𝑦 + 1)𝐸𝐢))
1312oveq1d 7377 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))
1411, 13eqeq12d 2753 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
1514imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋)) ↔ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
16 oveq1 7369 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)))
17 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯𝐸𝐢) = (𝑁𝐸𝐢))
1817oveq1d 7377 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋))
1916, 18eqeq12d 2753 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋) ↔ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
2019imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (π‘₯ ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((π‘₯𝐸𝐢) Β· 𝑋)) ↔ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
21 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ π‘Š ∈ LMod)
22 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2322adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
24 lmodvsmmulgdi.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
25 lmodvsmmulgdi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
26 lmodvsmmulgdi.s . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
27 eqid 2737 . . . . . . . 8 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
28 eqid 2737 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
2924, 25, 26, 27, 28lmod0vs 20371 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
3021, 23, 29syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋) = (0gβ€˜π‘Š))
31 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
3231adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
33 lmodvsmmulgdi.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
34 lmodvsmmulgdi.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (.gβ€˜πΉ)
3533, 27, 34mulg0 18886 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ 𝐾 β†’ (0𝐸𝐢) = (0gβ€˜πΉ))
3632, 35syl 17 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0𝐸𝐢) = (0gβ€˜πΉ))
3736oveq1d 7377 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((0𝐸𝐢) Β· 𝑋) = ((0gβ€˜πΉ) Β· 𝑋))
3824, 25, 26, 33lmodvscl 20355 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
3921, 32, 23, 38syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝐢 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
40 lmodvsmmulgdi.p . . . . . . . 8 ↑ = (.gβ€˜π‘Š)
4124, 28, 40mulg0 18886 . . . . . . 7 ((𝐢 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 β†’ (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (0gβ€˜π‘Š))
4239, 41syl 17 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (0gβ€˜π‘Š))
4330, 37, 423eqtr4rd 2788 . . . . 5 (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (0 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((0𝐸𝐢) Β· 𝑋))
44 lmodgrp 20345 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
4544grpmndd 18767 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Mnd)
4645ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ π‘Š ∈ Mnd)
47 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
4839adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝐢 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
49 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
5024, 40, 49mulgnn0p1 18894 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ (𝐢 Β· 𝑋) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
5146, 47, 48, 50syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
5251adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
53 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋) β†’ ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
5421adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
5525lmodring 20346 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
56 ringmnd 19981 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
5857ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝐹 ∈ Mnd)
59 simprll 778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
6033, 34, 58, 47, 59mulgnn0cld 18904 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (𝑦𝐸𝐢) ∈ 𝐾)
6123adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
62 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
6324, 49, 25, 26, 33, 62lmodvsdir 20362 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝐢) ∈ 𝐾 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢) Β· 𝑋) = (((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
6454, 60, 59, 61, 63syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢) Β· 𝑋) = (((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)))
6533, 34, 62mulgnn0p1 18894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝐢) = ((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢))
6658, 47, 59, 65syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦 + 1)𝐸𝐢) = ((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢))
6766eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ ((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢) = ((𝑦 + 1)𝐸𝐢))
6867oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝐢)(+gβ€˜πΉ)𝐢) Β· 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))
6964, 68eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) β†’ (((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))
7053, 69sylan9eqr 2799 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)) β†’ ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))
7152, 70eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod)) ∧ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))
7271exp31 421 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
7372a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ ((((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑦 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐢) Β· 𝑋)) β†’ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐢) Β· 𝑋))))
745, 10, 15, 20, 43, 73nn0ind 12605 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Š ∈ LMod) β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
7574exp4c 434 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐢 ∈ 𝐾 β†’ (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋)))))
76753imp21 1115 . 2 ((𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋)))
7776impcom 409 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐢 ∈ 𝐾 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (𝑁 ↑ (𝐢 Β· 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐢) Β· 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  β„•0cn0 12420  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  0gc0g 17328  Mndcmnd 18563  .gcmg 18879  Ringcrg 19971  LModclmod 20338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-mulg 18880  df-ring 19973  df-lmod 20340
This theorem is referenced by:  chpscmatgsummon  22210  asclmulg  32303
  Copyright terms: Public domain W3C validator