MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsmmulgdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsmmulgdi 20286
Description: Distributive law for a group multiple of a scalar multiplication. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmmulgdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsmmulgdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsmmulgdi.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsmmulgdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsmmulgdi.p = (.g𝑊)
lmodvsmmulgdi.e 𝐸 = (.g𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsmmulgdi ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉)) → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsmmulgdi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7357 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = (0 (𝐶 · 𝑋)))
2 oveq1 7357 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝐶) = (0𝐸𝐶))
32oveq1d 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) = ((0𝐸𝐶) · 𝑋))
41, 3eqeq12d 2754 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) ↔ (0 (𝐶 · 𝑋)) = ((0𝐸𝐶) · 𝑋)))
54imbi2d 341 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋)) ↔ (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 (𝐶 · 𝑋)) = ((0𝐸𝐶) · 𝑋))))
6 oveq1 7357 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = (𝑦 (𝐶 · 𝑋)))
7 oveq1 7357 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝐶) = (𝑦𝐸𝐶))
87oveq1d 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋))
96, 8eqeq12d 2754 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) ↔ (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)))
109imbi2d 341 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋)) ↔ (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋))))
11 oveq1 7357 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)))
12 oveq1 7357 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝐶) = ((𝑦 + 1)𝐸𝐶))
1312oveq1d 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
1411, 13eqeq12d 2754 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) ↔ ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋)))
1514imbi2d 341 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋)) ↔ (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))))
16 oveq1 7357 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = (𝑁 (𝐶 · 𝑋)))
17 oveq1 7357 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝐶) = (𝑁𝐸𝐶))
1817oveq1d 7365 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋))
1916, 18eqeq12d 2754 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) ↔ (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))
2019imbi2d 341 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋)) ↔ (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋))))
21 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑊 ∈ LMod)
22 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐾𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
2322adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑋𝑉)
24 lmodvsmmulgdi.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
25 lmodvsmmulgdi.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
26 lmodvsmmulgdi.s . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑊)
27 eqid 2738 . . . . . . . 8 (0g𝐹) = (0g𝐹)
28 eqid 2738 . . . . . . . 8 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2924, 25, 26, 27, 28lmod0vs 20284 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
3021, 23, 29syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
31 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐾𝑋𝑉) → 𝐶𝐾)
3231adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝐶𝐾)
33 lmodvsmmulgdi.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝐹)
34 lmodvsmmulgdi.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (.g𝐹)
3533, 27, 34mulg0 18814 . . . . . . . 8 (𝐶𝐾 → (0𝐸𝐶) = (0g𝐹))
3632, 35syl 17 . . . . . . 7 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0𝐸𝐶) = (0g𝐹))
3736oveq1d 7365 . . . . . 6 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0𝐸𝐶) · 𝑋) = ((0g𝐹) · 𝑋))
3824, 25, 26, 33lmodvscl 20268 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶𝐾𝑋𝑉) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉)
3921, 32, 23, 38syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉)
40 lmodvsmmulgdi.p . . . . . . . 8 = (.g𝑊)
4124, 28, 40mulg0 18814 . . . . . . 7 ((𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉 → (0 (𝐶 · 𝑋)) = (0g𝑊))
4239, 41syl 17 . . . . . 6 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 (𝐶 · 𝑋)) = (0g𝑊))
4330, 37, 423eqtr4rd 2789 . . . . 5 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 (𝐶 · 𝑋)) = ((0𝐸𝐶) · 𝑋))
44 lmodgrp 20258 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
4544grpmndd 18696 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Mnd)
4645ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ Mnd)
47 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
4839adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉)
49 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (+g𝑊) = (+g𝑊)
5024, 40, 49mulgnn0p1 18822 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦 (𝐶 · 𝑋))(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
5146, 47, 48, 50syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦 (𝐶 · 𝑋))(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
5251adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦 (𝐶 · 𝑋))(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
53 oveq1 7357 . . . . . . . . 9 ((𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋) → ((𝑦 (𝐶 · 𝑋))(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
5421adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ LMod)
5525lmodring 20259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
56 ringmnd 19904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Mnd)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Mnd)
5857ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐹 ∈ Mnd)
59 simprll 778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐶𝐾)
6033, 34, 58, 47, 59mulgnn0cld 18832 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦𝐸𝐶) ∈ 𝐾)
6123adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑋𝑉)
62 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐹) = (+g𝐹)
6324, 49, 25, 26, 33, 62lmodvsdir 20275 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝐶) ∈ 𝐾𝐶𝐾𝑋𝑉)) → (((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
6454, 60, 59, 61, 63syl13anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
6533, 34, 62mulgnn0p1 18822 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐶𝐾) → ((𝑦 + 1)𝐸𝐶) = ((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶))
6658, 47, 59, 65syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝐶) = ((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶))
6766eqcomd 2744 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶) = ((𝑦 + 1)𝐸𝐶))
6867oveq1d 7365 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
6964, 68eqtr3d 2780 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
7053, 69sylan9eqr 2800 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)) → ((𝑦 (𝐶 · 𝑋))(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
7152, 70eqtrd 2778 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
7271exp31 421 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))))
7372a2d 29 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)) → (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))))
745, 10, 15, 20, 43, 73nn0ind 12532 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))
7574exp4c 434 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐶𝐾 → (𝑋𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))))
76753imp21 1115 . 2 ((𝐶𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))
7776impcom 409 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉)) → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6492  (class class class)co 7350  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988  0cn0 12347  Basecbs 17019  +gcplusg 17069  Scalarcsca 17072   ·𝑠 cvsca 17073  0gc0g 17257  Mndcmnd 18492  .gcmg 18807  Ringcrg 19894  LModclmod 20251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12698  df-fz 13355  df-seq 13837  df-0g 17259  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-grp 18687  df-mulg 18808  df-ring 19896  df-lmod 20253
This theorem is referenced by:  chpscmatgsummon  22122  asclmulg  32059
  Copyright terms: Public domain W3C validator