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Theorem baerlem3lem1 37517
Description: Lemma for baerlem3 37523. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p + = (+g𝑊)
baerlem3.t · = ( ·𝑠𝑊)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a = (+g𝑅)
baerlem3.l 𝐿 = (-g𝑅)
baerlem3.q 𝑄 = (0g𝑅)
baerlem3.i 𝐼 = (invg𝑅)
baerlem3.a1 (𝜑𝑎𝐵)
baerlem3.b1 (𝜑𝑏𝐵)
baerlem3.d1 (𝜑𝑑𝐵)
baerlem3.e1 (𝜑𝑒𝐵)
baerlem3.j1 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem3.j2 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
baerlem3lem1 (𝜑𝑗 = (𝑎 · (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem baerlem3lem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19319 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 baerlem3.a1 . . . 4 (𝜑𝑎𝐵)
5 baerlem3.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
65eldifad 3735 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
7 baerlem3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 baerlem3.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9 baerlem3.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
10 baerlem3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
117, 8, 9, 10lmodvscl 19090 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵𝑌𝑉) → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
123, 4, 6, 11syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
13 baerlem3.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3735 . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
157, 8, 9, 10lmodvscl 19090 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵𝑍𝑉) → (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉)
163, 4, 14, 15syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉)
17 baerlem3.p . . . 4 + = (+g𝑊)
18 baerlem3.m . . . 4 = (-g𝑊)
19 baerlem3.i . . . 4 𝐼 = (invg𝑅)
20 eqid 2771 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
217, 17, 18, 8, 9, 19, 20lmodvsubval2 19128 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) (𝑎 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
223, 12, 16, 21syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) (𝑎 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
237, 9, 8, 10, 18, 3, 4, 6, 14lmodsubdi 19130 . 2 (𝜑 → (𝑎 · (𝑌 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) (𝑎 · 𝑍)))
24 baerlem3.j1 . . 3 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
258lmodring 19081 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
263, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
27 ringgrp 18760 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
298, 10, 20lmod1cl 19100 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
303, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
3110, 19grpinvcl 17675 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
3228, 30, 31syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
33 eqid 2771 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
347, 8, 9, 10, 33lmodvsass 19098 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵𝑎𝐵𝑍𝑉)) → (((𝐼‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑎) · 𝑍) = ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)))
353, 32, 4, 14, 34syl13anc 1478 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐼‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑎) · 𝑍) = ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)))
3610, 33, 20, 19, 26, 4ringnegl 18802 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑎) = (𝐼𝑎))
37 ringabl 18788 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Abel)
39 baerlem3.d1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑑𝐵)
40 baerlem3.e1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑒𝐵)
41 baerlem3.a . . . . . . . . . . . 12 = (+g𝑅)
4210, 41, 19ablinvadd 18422 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑑𝐵𝑒𝐵) → (𝐼‘(𝑑 𝑒)) = ((𝐼𝑑) (𝐼𝑒)))
4338, 39, 40, 42syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘(𝑑 𝑒)) = ((𝐼𝑑) (𝐼𝑒)))
44 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
45 baerlem3.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
467, 44, 45, 3, 6, 14lspprcl 19191 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
47 baerlem3.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋𝑉)
48 baerlem3.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
49 baerlem3.b1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑏𝐵)
507, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 4, 49, 6, 14lsppreli 19303 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
517, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 39, 40, 6, 14lsppreli 19303 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
52 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (invg𝑊) = (invg𝑊)
5344, 52lssvnegcl 19169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) → ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
543, 46, 51, 53syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
55 baerlem3.q . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑄 = (0g𝑅)
5610, 55ring0cl 18777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑄𝐵)
5726, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄𝐵)
5810, 41ringacl 18786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑑𝐵𝑒𝐵) → (𝑑 𝑒) ∈ 𝐵)
5926, 39, 40, 58syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑑 𝑒) ∈ 𝐵)
60 baerlem3.o . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0g𝑊)
617, 8, 9, 55, 60lmod0vs 19106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
623, 47, 61syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
6362oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
64 lmodgrp 19080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
653, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
667, 8, 9, 10lmodvscl 19090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏𝐵𝑍𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
673, 49, 14, 66syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
687, 17lmodvacl 19087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
693, 12, 67, 68syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
707, 17, 60grplid 17660 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
7165, 69, 70syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
72 lmodabl 19120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
733, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
747, 8, 9, 10lmodvscl 19090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑋𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
753, 39, 47, 74syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
767, 8, 9, 10lmodvscl 19090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒𝐵𝑋𝑉) → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
773, 40, 47, 76syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
787, 8, 9, 10lmodvscl 19090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑌𝑉) → (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉)
793, 39, 6, 78syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉)
807, 8, 9, 10lmodvscl 19090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒𝐵𝑍𝑉) → (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)
813, 40, 14, 80syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)
827, 17, 18ablsub4 18425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Abel ∧ ((𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉) ∧ ((𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) (𝑒 · 𝑍))))
8373, 75, 77, 79, 81, 82syl122anc 1485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) (𝑒 · 𝑍))))
847, 17, 8, 9, 10, 41lmodvsdir 19097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵𝑋𝑉)) → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
853, 39, 40, 47, 84syl13anc 1478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
8685oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
87 baerlem3.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍))))
887, 9, 8, 10, 18, 3, 39, 47, 6lmodsubdi 19130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 𝑌)) = ((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑌)))
897, 9, 8, 10, 18, 3, 40, 47, 14lmodsubdi 19130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑒 · (𝑋 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑋) (𝑒 · 𝑍)))
9088, 89oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) (𝑒 · 𝑍))))
9187, 90eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑗 = (((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) (𝑒 · 𝑍))))
9283, 86, 913eqtr4rd 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑗 = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
937, 8, 9, 10lmodvscl 19090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 𝑒) ∈ 𝐵𝑋𝑉) → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉)
943, 59, 47, 93syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉)
957, 17lmodvacl 19087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
963, 79, 81, 95syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
977, 17, 52, 18grpsubval 17673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑑 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
9894, 96, 97syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
9992, 24, 983eqtr3d 2813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
10063, 71, 993eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
1017, 17, 8, 10, 9, 44, 1, 46, 47, 48, 50, 54, 57, 59, 100lvecindp 19352 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 = (𝑑 𝑒) ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
102101simpld 482 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 = (𝑑 𝑒))
103102fveq2d 6336 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼𝑄) = (𝐼‘(𝑑 𝑒)))
10410, 19grpinvcl 17675 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑𝐵) → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
10528, 39, 104syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
10610, 19grpinvcl 17675 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑒𝐵) → (𝐼𝑒) ∈ 𝐵)
10728, 40, 106syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼𝑒) ∈ 𝐵)
108 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
109101simprd 483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
1107, 17, 9, 52, 8, 10, 19, 3, 39, 40, 6, 14lmodnegadd 19122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑒) · 𝑍)))
111109, 110eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑒) · 𝑍)))
1127, 17, 8, 10, 9, 60, 45, 1, 5, 13, 4, 49, 105, 107, 108, 111lvecindp2 19353 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑎 = (𝐼𝑑) ∧ 𝑏 = (𝐼𝑒)))
113 oveq12 6802 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝐼𝑑) ∧ 𝑏 = (𝐼𝑒)) → (𝑎 𝑏) = ((𝐼𝑑) (𝐼𝑒)))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑎 𝑏) = ((𝐼𝑑) (𝐼𝑒)))
11543, 103, 1143eqtr4rd 2816 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑎 𝑏) = (𝐼𝑄))
11655, 19grpinvid 17684 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Grp → (𝐼𝑄) = 𝑄)
11728, 116syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼𝑄) = 𝑄)
118115, 117eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑎 𝑏) = 𝑄)
11910, 41, 55, 19grpinvid1 17678 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝐼𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑎 𝑏) = 𝑄))
12028, 4, 49, 119syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑎 𝑏) = 𝑄))
121118, 120mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼𝑎) = 𝑏)
12236, 121eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑎) = 𝑏)
123122oveq1d 6808 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐼‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑎) · 𝑍) = (𝑏 · 𝑍))
12435, 123eqtr3d 2807 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)) = (𝑏 · 𝑍))
125124oveq2d 6809 . . 3 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
12624, 125eqtr4d 2808 . 2 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
12722, 23, 1263eqtr4rd 2816 1 (𝜑𝑗 = (𝑎 · (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  {csn 4316  {cpr 4318  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  -gcsg 17632  LSSumclsm 18256  Abelcabl 18401  1rcur 18709  Ringcrg 18755  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  LVecclvec 19315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316
This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  37520
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