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Theorem baerlem3lem1 38723
Description: Lemma for baerlem3 38729. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p + = (+g𝑊)
baerlem3.t · = ( ·𝑠𝑊)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a = (+g𝑅)
baerlem3.l 𝐿 = (-g𝑅)
baerlem3.q 𝑄 = (0g𝑅)
baerlem3.i 𝐼 = (invg𝑅)
baerlem3.a1 (𝜑𝑎𝐵)
baerlem3.b1 (𝜑𝑏𝐵)
baerlem3.d1 (𝜑𝑑𝐵)
baerlem3.e1 (𝜑𝑒𝐵)
baerlem3.j1 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem3.j2 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
baerlem3lem1 (𝜑𝑗 = (𝑎 · (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem baerlem3lem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 19807 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 baerlem3.a1 . . . 4 (𝜑𝑎𝐵)
5 baerlem3.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
65eldifad 3945 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
7 baerlem3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 baerlem3.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9 baerlem3.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
10 baerlem3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
117, 8, 9, 10lmodvscl 19580 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵𝑌𝑉) → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
123, 4, 6, 11syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
13 baerlem3.z . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3945 . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
157, 8, 9, 10lmodvscl 19580 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵𝑍𝑉) → (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉)
163, 4, 14, 15syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉)
17 baerlem3.p . . . 4 + = (+g𝑊)
18 baerlem3.m . . . 4 = (-g𝑊)
19 baerlem3.i . . . 4 𝐼 = (invg𝑅)
20 eqid 2818 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
217, 17, 18, 8, 9, 19, 20lmodvsubval2 19618 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) (𝑎 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
223, 12, 16, 21syl3anc 1363 . 2 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) (𝑎 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
237, 9, 8, 10, 18, 3, 4, 6, 14lmodsubdi 19620 . 2 (𝜑 → (𝑎 · (𝑌 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) (𝑎 · 𝑍)))
24 baerlem3.j1 . . 3 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
258lmodring 19571 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
263, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
27 ringgrp 19231 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
298, 10, 20lmod1cl 19590 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
303, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
3110, 19grpinvcl 18089 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
3228, 30, 31syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵)
33 eqid 2818 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
347, 8, 9, 10, 33lmodvsass 19588 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘(1r𝑅)) ∈ 𝐵𝑎𝐵𝑍𝑉)) → (((𝐼‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑎) · 𝑍) = ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)))
353, 32, 4, 14, 34syl13anc 1364 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐼‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑎) · 𝑍) = ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)))
3610, 33, 20, 19, 26, 4ringnegl 19273 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑎) = (𝐼𝑎))
37 ringabl 19259 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Abel)
39 baerlem3.d1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑑𝐵)
40 baerlem3.e1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑒𝐵)
41 baerlem3.a . . . . . . . . . . . 12 = (+g𝑅)
4210, 41, 19ablinvadd 18859 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑑𝐵𝑒𝐵) → (𝐼‘(𝑑 𝑒)) = ((𝐼𝑑) (𝐼𝑒)))
4338, 39, 40, 42syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘(𝑑 𝑒)) = ((𝐼𝑑) (𝐼𝑒)))
44 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
45 baerlem3.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
467, 44, 45, 3, 6, 14lspprcl 19679 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
47 baerlem3.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋𝑉)
48 baerlem3.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
49 baerlem3.b1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑏𝐵)
507, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 4, 49, 6, 14lsppreli 19791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
517, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 39, 40, 6, 14lsppreli 19791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
52 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (invg𝑊) = (invg𝑊)
5344, 52lssvnegcl 19657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) → ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
543, 46, 51, 53syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
55 baerlem3.q . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑄 = (0g𝑅)
5610, 55ring0cl 19248 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑄𝐵)
5726, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄𝐵)
5810, 41ringacl 19257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑑𝐵𝑒𝐵) → (𝑑 𝑒) ∈ 𝐵)
5926, 39, 40, 58syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑑 𝑒) ∈ 𝐵)
60 baerlem3.o . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0g𝑊)
617, 8, 9, 55, 60lmod0vs 19596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
623, 47, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
6362oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
64 lmodgrp 19570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
653, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
667, 8, 9, 10lmodvscl 19580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏𝐵𝑍𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
673, 49, 14, 66syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
687, 17lmodvacl 19577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
693, 12, 67, 68syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
707, 17, 60grplid 18071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
7165, 69, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
72 lmodabl 19610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
733, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
747, 8, 9, 10lmodvscl 19580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑋𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
753, 39, 47, 74syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
767, 8, 9, 10lmodvscl 19580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒𝐵𝑋𝑉) → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
773, 40, 47, 76syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
787, 8, 9, 10lmodvscl 19580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑𝐵𝑌𝑉) → (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉)
793, 39, 6, 78syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉)
807, 8, 9, 10lmodvscl 19580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒𝐵𝑍𝑉) → (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)
813, 40, 14, 80syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)
827, 17, 18ablsub4 18862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Abel ∧ ((𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉) ∧ ((𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) (𝑒 · 𝑍))))
8373, 75, 77, 79, 81, 82syl122anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) (𝑒 · 𝑍))))
847, 17, 8, 9, 10, 41lmodvsdir 19587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵𝑋𝑉)) → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
853, 39, 40, 47, 84syl13anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
8685oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
87 baerlem3.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍))))
887, 9, 8, 10, 18, 3, 39, 47, 6lmodsubdi 19620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 𝑌)) = ((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑌)))
897, 9, 8, 10, 18, 3, 40, 47, 14lmodsubdi 19620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑒 · (𝑋 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑋) (𝑒 · 𝑍)))
9088, 89oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) (𝑒 · 𝑍))))
9187, 90eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑗 = (((𝑑 · 𝑋) (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) (𝑒 · 𝑍))))
9283, 86, 913eqtr4rd 2864 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑗 = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
937, 8, 9, 10lmodvscl 19580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 𝑒) ∈ 𝐵𝑋𝑉) → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉)
943, 59, 47, 93syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑑 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉)
957, 17lmodvacl 19577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
963, 79, 81, 95syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
977, 17, 52, 18grpsubval 18087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑑 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
9894, 96, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑑 𝑒) · 𝑋) ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
9992, 24, 983eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
10063, 71, 993eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (((𝑑 𝑒) · 𝑋) + ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
1017, 17, 8, 10, 9, 44, 1, 46, 47, 48, 50, 54, 57, 59, 100lvecindp 19839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 = (𝑑 𝑒) ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
102101simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 = (𝑑 𝑒))
103102fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼𝑄) = (𝐼‘(𝑑 𝑒)))
10410, 19grpinvcl 18089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑𝐵) → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
10528, 39, 104syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼𝑑) ∈ 𝐵)
10610, 19grpinvcl 18089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑒𝐵) → (𝐼𝑒) ∈ 𝐵)
10728, 40, 106syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼𝑒) ∈ 𝐵)
108 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
109101simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
1107, 17, 9, 52, 8, 10, 19, 3, 39, 40, 6, 14lmodnegadd 19612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((invg𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑒) · 𝑍)))
111109, 110eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼𝑑) · 𝑌) + ((𝐼𝑒) · 𝑍)))
1127, 17, 8, 10, 9, 60, 45, 1, 5, 13, 4, 49, 105, 107, 108, 111lvecindp2 19840 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑎 = (𝐼𝑑) ∧ 𝑏 = (𝐼𝑒)))
113 oveq12 7154 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝐼𝑑) ∧ 𝑏 = (𝐼𝑒)) → (𝑎 𝑏) = ((𝐼𝑑) (𝐼𝑒)))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑎 𝑏) = ((𝐼𝑑) (𝐼𝑒)))
11543, 103, 1143eqtr4rd 2864 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑎 𝑏) = (𝐼𝑄))
11655, 19grpinvid 18098 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Grp → (𝐼𝑄) = 𝑄)
11728, 116syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼𝑄) = 𝑄)
118115, 117eqtrd 2853 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑎 𝑏) = 𝑄)
11910, 41, 55, 19grpinvid1 18092 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝐼𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑎 𝑏) = 𝑄))
12028, 4, 49, 119syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑎 𝑏) = 𝑄))
121118, 120mpbird 258 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼𝑎) = 𝑏)
12236, 121eqtrd 2853 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐼‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑎) = 𝑏)
123122oveq1d 7160 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐼‘(1r𝑅))(.r𝑅)𝑎) · 𝑍) = (𝑏 · 𝑍))
12435, 123eqtr3d 2855 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)) = (𝑏 · 𝑍))
125124oveq2d 7161 . . 3 (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
12624, 125eqtr4d 2856 . 2 (𝜑𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
12722, 23, 1263eqtr4rd 2864 1 (𝜑𝑗 = (𝑎 · (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cdif 3930  {csn 4557  {cpr 4559  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  invgcminusg 18042  -gcsg 18043  LSSumclsm 18688  Abelcabl 18836  1rcur 19180  Ringcrg 19226  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632  LSpanclspn 19672  LVecclvec 19803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804
This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  38726
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