Theorem baerlem3lem1 42331

Description: Lemma for baerlem3 42337. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
baerlem3.a1	⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
baerlem3.b1	⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
baerlem3.d1	⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
baerlem3.e1	⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
baerlem3.j1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem3.j2	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
baerlem3lem1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = (𝑎 · (𝑌 − 𝑍)))

Proof of Theorem baerlem3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21173	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		baerlem3.a1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
5		baerlem3.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6	5	eldifad 3916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7		baerlem3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		baerlem3.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9		baerlem3.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		baerlem3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20945	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
12	3, 4, 6, 11	syl3anc 1390	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
13		baerlem3.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
15	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20945	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉)
16	3, 4, 14, 15	syl3anc 1390	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉)
17		baerlem3.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
18		baerlem3.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
19		baerlem3.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
20		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
21	7, 17, 18, 8, 9, 19, 20	lmodvsubval2 20984	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) − (𝑎 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
22	3, 12, 16, 21	syl3anc 1390	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) − (𝑎 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
23	7, 9, 8, 10, 18, 3, 4, 6, 14	lmodsubdi 20986	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) − (𝑎 · 𝑍)))
24		baerlem3.j1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
25	8	lmodring 20935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
26	3, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
27		ringgrp 20288	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
29	8, 10, 20	lmod1cl 20956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
30	3, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
31	10, 19	grpinvcl 19029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
32	28, 30, 31	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
33		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	7, 8, 9, 10, 33	lmodvsass 20954	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (((𝐼‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑎) · 𝑍) = ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)))
35	3, 32, 4, 14, 34	syl13anc 1391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑎) · 𝑍) = ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)))
36	10, 33, 20, 19, 26, 4	ringnegl 20352	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑎) = (𝐼‘𝑎))
37		ringabl 20331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
38	26, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
39		baerlem3.d1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
40		baerlem3.e1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
41		baerlem3.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
42	10, 41, 19	ablinvadd 19847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑑 ⨣ 𝑒)) = ((𝐼‘𝑑) ⨣ (𝐼‘𝑒)))
43	38, 39, 40, 42	syl3anc 1390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑑 ⨣ 𝑒)) = ((𝐼‘𝑑) ⨣ (𝐼‘𝑒)))
44		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
45		baerlem3.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
46	7, 44, 45, 3, 6, 14	lspprcl 21045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
47		baerlem3.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
48		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
49		baerlem3.b1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
50	7, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 4, 49, 6, 14	lsppreli 21157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
51	7, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 39, 40, 6, 14	lsppreli 21157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
52		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
53	44, 52	lssvnegcl 21023	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) → ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
54	3, 46, 51, 53	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
55		baerlem3.q	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
56	10, 55	ring0cl 20317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑄 ∈ 𝐵)
57	26, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
58	10, 41	ringacl 20328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵)
59	26, 39, 40, 58	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵)
60		baerlem3.o	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
61	7, 8, 9, 55, 60	lmod0vs 20962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
62	3, 47, 61	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
63	62	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
64		lmodgrp 20934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
65	3, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
66	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
67	3, 49, 14, 66	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
68	7, 17	lmodvacl 20942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
69	3, 12, 67, 68	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
70	7, 17, 60	grplid 19009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
71	65, 69, 70	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
72		lmodabl 20976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
73	3, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
74	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
75	3, 39, 47, 74	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
76	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
77	3, 40, 47, 76	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
78	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉)
79	3, 39, 6, 78	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉)
80	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)
81	3, 40, 14, 80	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)
82	7, 17, 18	ablsub4 19850	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ ((𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉) ∧ ((𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) − (𝑒 · 𝑍))))
83	73, 75, 77, 79, 81, 82	syl122anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) − (𝑒 · 𝑍))))
84	7, 17, 8, 9, 10, 41	lmodvsdir 20953	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
85	3, 39, 40, 47, 84	syl13anc 1391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
86	85	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
87		baerlem3.j2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))))
88	7, 9, 8, 10, 18, 3, 39, 47, 6	lmodsubdi 20986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑌)))
89	7, 9, 8, 10, 18, 3, 40, 47, 14	lmodsubdi 20986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑋) − (𝑒 · 𝑍)))
90	88, 89	oveq12d 7414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) − (𝑒 · 𝑍))))
91	87, 90	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) − (𝑒 · 𝑍))))
92	83, 86, 91	3eqtr4rd 2808	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
93	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20945	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉)
94	3, 59, 47, 93	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉)
95	7, 17	lmodvacl 20942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
96	3, 79, 81, 95	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
97	7, 17, 52, 18	grpsubval 19027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
98	94, 96, 97	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
99	92, 24, 98	3eqtr3d 2805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
100	63, 71, 99	3eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
101	7, 17, 8, 10, 9, 44, 1, 46, 47, 48, 50, 54, 57, 59, 100	lvecindp 21208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒) ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
102	101	simpld 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒))
103	102	fveq2d 6871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑄) = (𝐼‘(𝑑 ⨣ 𝑒)))
104	10, 19	grpinvcl 19029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
105	28, 39, 104	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
106	10, 19	grpinvcl 19029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑒) ∈ 𝐵)
107	28, 40, 106	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑒) ∈ 𝐵)
108		baerlem3.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
109	101	simprd 499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
110	7, 17, 9, 52, 8, 10, 19, 3, 39, 40, 6, 14	lmodnegadd 20978	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑒) · 𝑍)))
111	109, 110	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑒) · 𝑍)))
112	7, 17, 8, 10, 9, 60, 45, 1, 5, 13, 4, 49, 105, 107, 108, 111	lvecindp2 21209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑎 = (𝐼‘𝑑) ∧ 𝑏 = (𝐼‘𝑒)))
113		oveq12 7405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝐼‘𝑑) ∧ 𝑏 = (𝐼‘𝑒)) → (𝑎 ⨣ 𝑏) = ((𝐼‘𝑑) ⨣ (𝐼‘𝑒)))
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ⨣ 𝑏) = ((𝐼‘𝑑) ⨣ (𝐼‘𝑒)))
115	43, 103, 114	3eqtr4rd 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ⨣ 𝑏) = (𝐼‘𝑄))
116	55, 19	grpinvid 19041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝐼‘𝑄) = 𝑄)
117	28, 116	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑄) = 𝑄)
118	115, 117	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ⨣ 𝑏) = 𝑄)
119	10, 41, 55, 19	grpinvid1 19033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑎 ⨣ 𝑏) = 𝑄))
120	28, 4, 49, 119	syl3anc 1390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑎 ⨣ 𝑏) = 𝑄))
121	118, 120	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑎) = 𝑏)
122	36, 121	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑎) = 𝑏)
123	122	oveq1d 7411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑎) · 𝑍) = (𝑏 · 𝑍))
124	35, 123	eqtr3d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)) = (𝑏 · 𝑍))
125	124	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
126	24, 125	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
127	22, 23, 126	3eqtr4rd 2808	1 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (𝑎 · (𝑌 − 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3901  {csn 4582  {cpr 4584  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  ._rcmulr 17287  Scalarcsca 17289   ·_𝑠 cvsca 17290  0_gc0g 17468  Grpcgrp 18975  inv_gcminusg 18976  -_gcsg 18977  LSSumclsm 19674  Abelcabl 19821  1_rcur 20231  Ringcrg 20283  LModclmod 20927  LSubSpclss 20998  LSpanclspn 21038  LVecclvec 21169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cntz 19357  df-lsm 19676  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-drng 20781  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-lsp 21039  df-lvec 21170

This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  42334