Theorem baerlem3lem1 43030

Description: Lemma for baerlem3 43036. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
baerlem3.a1	⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
baerlem3.b1	⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
baerlem3.d1	⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
baerlem3.e1	⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
baerlem3.j1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem3.j2	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
baerlem3lem1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = (𝑎 · (𝑌 − 𝑍)))

Proof of Theorem baerlem3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21432	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		baerlem3.a1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
5		baerlem3.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6	5	eldifad 4054	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7		baerlem3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		baerlem3.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9		baerlem3.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		baerlem3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	7, 8, 9, 10	lmodvscl 21204	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
12	3, 4, 6, 11	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
13		baerlem3.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 4054	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
15	7, 8, 9, 10	lmodvscl 21204	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉)
16	3, 4, 14, 15	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉)
17		baerlem3.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
18		baerlem3.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
19		baerlem3.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
20		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
21	7, 17, 18, 8, 9, 19, 20	lmodvsubval2 21243	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) − (𝑎 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
22	3, 12, 16, 21	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) − (𝑎 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
23	7, 9, 8, 10, 18, 3, 4, 6, 14	lmodsubdi 21245	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) − (𝑎 · 𝑍)))
24		baerlem3.j1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
25	8	lmodring 21194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
26	3, 25	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
27		ringgrp 20515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
29	8, 10, 20	lmod1cl 21215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
30	3, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
31	10, 19	grpinvcl 19248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
32	28, 30, 31	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
33		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	7, 8, 9, 10, 33	lmodvsass 21213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (((𝐼‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑎) · 𝑍) = ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)))
35	3, 32, 4, 14, 34	syl13anc 1400	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑎) · 𝑍) = ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)))
36	10, 33, 20, 19, 26, 4	ringnegl 20584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑎) = (𝐼‘𝑎))
37		ringabl 20561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
38	26, 37	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
39		baerlem3.d1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
40		baerlem3.e1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
41		baerlem3.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
42	10, 41, 19	ablinvadd 20072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑑 ⨣ 𝑒)) = ((𝐼‘𝑑) ⨣ (𝐼‘𝑒)))
43	38, 39, 40, 42	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑑 ⨣ 𝑒)) = ((𝐼‘𝑑) ⨣ (𝐼‘𝑒)))
44		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
45		baerlem3.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
46	7, 44, 45, 3, 6, 14	lspprcl 21304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
47		baerlem3.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
48		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
49		baerlem3.b1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
50	7, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 4, 49, 6, 14	lsppreli 21416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
51	7, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 39, 40, 6, 14	lsppreli 21416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
52		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
53	44, 52	lssvnegcl 21282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) → ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
54	3, 46, 51, 53	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
55		baerlem3.q	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
56	10, 55	ring0cl 20547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑄 ∈ 𝐵)
57	26, 56	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
58	10, 41	ringacl 20558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵)
59	26, 39, 40, 58	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵)
60		baerlem3.o	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
61	7, 8, 9, 55, 60	lmod0vs 21221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
62	3, 47, 61	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
63	62	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
64		lmodgrp 21193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
65	3, 64	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
66	7, 8, 9, 10	lmodvscl 21204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
67	3, 49, 14, 66	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
68	7, 17	lmodvacl 21201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
69	3, 12, 67, 68	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
70	7, 17, 60	grplid 19228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
71	65, 69, 70	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
72		lmodabl 21235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
73	3, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
74	7, 8, 9, 10	lmodvscl 21204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
75	3, 39, 47, 74	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
76	7, 8, 9, 10	lmodvscl 21204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
77	3, 40, 47, 76	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
78	7, 8, 9, 10	lmodvscl 21204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉)
79	3, 39, 6, 78	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉)
80	7, 8, 9, 10	lmodvscl 21204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)
81	3, 40, 14, 80	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)
82	7, 17, 18	ablsub4 20075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ ((𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉) ∧ ((𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) − (𝑒 · 𝑍))))
83	73, 75, 77, 79, 81, 82	syl122anc 1407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) − (𝑒 · 𝑍))))
84	7, 17, 8, 9, 10, 41	lmodvsdir 21212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
85	3, 39, 40, 47, 84	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
86	85	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
87		baerlem3.j2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))))
88	7, 9, 8, 10, 18, 3, 39, 47, 6	lmodsubdi 21245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑌)))
89	7, 9, 8, 10, 18, 3, 40, 47, 14	lmodsubdi 21245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑋) − (𝑒 · 𝑍)))
90	88, 89	oveq12d 7469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) − (𝑒 · 𝑍))))
91	87, 90	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) − (𝑒 · 𝑍))))
92	83, 86, 91	3eqtr4rd 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
93	7, 8, 9, 10	lmodvscl 21204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉)
94	3, 59, 47, 93	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉)
95	7, 17	lmodvacl 21201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
96	3, 79, 81, 95	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
97	7, 17, 52, 18	grpsubval 19246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
98	94, 96, 97	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
99	92, 24, 98	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
100	63, 71, 99	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
101	7, 17, 8, 10, 9, 44, 1, 46, 47, 48, 50, 54, 57, 59, 100	lvecindp 21467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒) ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
102	101	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒))
103	102	fveq2d 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑄) = (𝐼‘(𝑑 ⨣ 𝑒)))
104	10, 19	grpinvcl 19248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
105	28, 39, 104	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
106	10, 19	grpinvcl 19248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑒) ∈ 𝐵)
107	28, 40, 106	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑒) ∈ 𝐵)
108		baerlem3.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
109	101	simprd 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
110	7, 17, 9, 52, 8, 10, 19, 3, 39, 40, 6, 14	lmodnegadd 21237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑒) · 𝑍)))
111	109, 110	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑒) · 𝑍)))
112	7, 17, 8, 10, 9, 60, 45, 1, 5, 13, 4, 49, 105, 107, 108, 111	lvecindp2 21468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑎 = (𝐼‘𝑑) ∧ 𝑏 = (𝐼‘𝑒)))
113		oveq12 7460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝐼‘𝑑) ∧ 𝑏 = (𝐼‘𝑒)) → (𝑎 ⨣ 𝑏) = ((𝐼‘𝑑) ⨣ (𝐼‘𝑒)))
114	112, 113	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ⨣ 𝑏) = ((𝐼‘𝑑) ⨣ (𝐼‘𝑒)))
115	43, 103, 114	3eqtr4rd 2809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ⨣ 𝑏) = (𝐼‘𝑄))
116	55, 19	grpinvid 19260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝐼‘𝑄) = 𝑄)
117	28, 116	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑄) = 𝑄)
118	115, 117	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ⨣ 𝑏) = 𝑄)
119	10, 41, 55, 19	grpinvid1 19252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑎 ⨣ 𝑏) = 𝑄))
120	28, 4, 49, 119	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑎 ⨣ 𝑏) = 𝑄))
121	118, 120	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑎) = 𝑏)
122	36, 121	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑎) = 𝑏)
123	122	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑎) · 𝑍) = (𝑏 · 𝑍))
124	35, 123	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)) = (𝑏 · 𝑍))
125	124	oveq2d 7467	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
126	24, 125	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
127	22, 23, 126	3eqtr4rd 2809	1 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (𝑎 · (𝑌 − 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048  {csn 4588  {cpr 4590  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  0_gc0g 17660  Grpcgrp 19194  inv_gcminusg 19195  -_gcsg 19196  LSSumclsm 19899  Abelcabl 20046  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  LModclmod 21186  LSubSpclss 21257  LSpanclspn 21297  LVecclvec 21428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-lsm 19901  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429

This theorem is used by:  baerlem3lem2  43033