Theorem baerlem3lem1 41668

Description: Lemma for baerlem3 41674. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
baerlem3.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
baerlem3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
baerlem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
baerlem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a	⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
baerlem3.l	⊢ 𝐿 = (-g‘𝑅)
baerlem3.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
baerlem3.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
baerlem3.a1	⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
baerlem3.b1	⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
baerlem3.d1	⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
baerlem3.e1	⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
baerlem3.j1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
baerlem3.j2	⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))))

Assertion

Ref	Expression
baerlem3lem1	⊢ (𝜑 → 𝑗 = (𝑎 · (𝑌 − 𝑍)))

Proof of Theorem baerlem3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21073	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		baerlem3.a1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝐵)
5		baerlem3.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6	5	eldifad 3943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7		baerlem3.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		baerlem3.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9		baerlem3.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
10		baerlem3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20844	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
12	3, 4, 6, 11	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉)
13		baerlem3.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3943	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
15	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20844	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉)
16	3, 4, 14, 15	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉)
17		baerlem3.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
18		baerlem3.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
19		baerlem3.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
20		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
21	7, 17, 18, 8, 9, 19, 20	lmodvsubval2 20883	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) − (𝑎 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
22	3, 12, 16, 21	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) − (𝑎 · 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
23	7, 9, 8, 10, 18, 3, 4, 6, 14	lmodsubdi 20885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 · (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑎 · 𝑌) − (𝑎 · 𝑍)))
24		baerlem3.j1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
25	8	lmodring 20834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
26	3, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
27		ringgrp 20203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
29	8, 10, 20	lmod1cl 20855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
30	3, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
31	10, 19	grpinvcl 18974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
32	28, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
33		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
34	7, 8, 9, 10, 33	lmodvsass 20853	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐼‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (((𝐼‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑎) · 𝑍) = ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)))
35	3, 32, 4, 14, 34	syl13anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑎) · 𝑍) = ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)))
36	10, 33, 20, 19, 26, 4	ringnegl 20267	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑎) = (𝐼‘𝑎))
37		ringabl 20246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
38	26, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
39		baerlem3.d1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑑 ∈ 𝐵)
40		baerlem3.e1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑒 ∈ 𝐵)
41		baerlem3.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑅)
42	10, 41, 19	ablinvadd 19793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑑 ⨣ 𝑒)) = ((𝐼‘𝑑) ⨣ (𝐼‘𝑒)))
43	38, 39, 40, 42	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑑 ⨣ 𝑒)) = ((𝐼‘𝑑) ⨣ (𝐼‘𝑒)))
44		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
45		baerlem3.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
46	7, 44, 45, 3, 6, 14	lspprcl 20944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
47		baerlem3.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
48		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
49		baerlem3.b1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝐵)
50	7, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 4, 49, 6, 14	lsppreli 21057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
51	7, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 39, 40, 6, 14	lsppreli 21057	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
52		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
53	44, 52	lssvnegcl 20922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) → ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
54	3, 46, 51, 53	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
55		baerlem3.q	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑅)
56	10, 55	ring0cl 20232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑄 ∈ 𝐵)
57	26, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
58	10, 41	ringacl 20243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵)
59	26, 39, 40, 58	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵)
60		baerlem3.o	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
61	7, 8, 9, 55, 60	lmod0vs 20861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
62	3, 47, 61	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑄 · 𝑋) = 0 )
63	62	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))))
64		lmodgrp 20833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
65	3, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
66	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
67	3, 49, 14, 66	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉)
68	7, 17	lmodvacl 20841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
69	3, 12, 67, 68	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
70	7, 17, 60	grplid 18954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
71	65, 69, 70	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ( 0 + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
72		lmodabl 20875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
73	3, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
74	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
75	3, 39, 47, 74	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉)
76	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
77	3, 40, 47, 76	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉)
78	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉)
79	3, 39, 6, 78	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉)
80	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)
81	3, 40, 14, 80	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)
82	7, 17, 18	ablsub4 19796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ ((𝑑 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑋) ∈ 𝑉) ∧ ((𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉)) → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) − (𝑒 · 𝑍))))
83	73, 75, 77, 79, 81, 82	syl122anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) − (𝑒 · 𝑍))))
84	7, 17, 8, 9, 10, 41	lmodvsdir 20852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 ∈ 𝐵 ∧ 𝑒 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
85	3, 39, 40, 47, 84	syl13anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) = ((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)))
86	85	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) + (𝑒 · 𝑋)) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
87		baerlem3.j2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))))
88	7, 9, 8, 10, 18, 3, 39, 47, 6	lmodsubdi 20885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) = ((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑌)))
89	7, 9, 8, 10, 18, 3, 40, 47, 14	lmodsubdi 20885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑒 · (𝑋 − 𝑍)) = ((𝑒 · 𝑋) − (𝑒 · 𝑍)))
90	88, 89	oveq12d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · (𝑋 − 𝑌)) + (𝑒 · (𝑋 − 𝑍))) = (((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) − (𝑒 · 𝑍))))
91	87, 90	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (((𝑑 · 𝑋) − (𝑑 · 𝑌)) + ((𝑒 · 𝑋) − (𝑒 · 𝑍))))
92	83, 86, 91	3eqtr4rd 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
93	7, 8, 9, 10	lmodvscl 20844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉)
94	3, 59, 47, 93	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉)
95	7, 17	lmodvacl 20841	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑑 · 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 · 𝑍) ∈ 𝑉) → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
96	3, 79, 81, 95	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉)
97	7, 17, 52, 18	grpsubval 18972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)) ∈ 𝑉) → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
98	94, 96, 97	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) − ((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
99	92, 24, 98	3eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
100	63, 71, 99	3eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝑋) + ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) · 𝑋) + ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
101	7, 17, 8, 10, 9, 44, 1, 46, 47, 48, 50, 54, 57, 59, 100	lvecindp 21108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒) ∧ ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍)))))
102	101	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒))
103	102	fveq2d 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑄) = (𝐼‘(𝑑 ⨣ 𝑒)))
104	10, 19	grpinvcl 18974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
105	28, 39, 104	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑑) ∈ 𝐵)
106	10, 19	grpinvcl 18974	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑒 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑒) ∈ 𝐵)
107	28, 40, 106	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑒) ∈ 𝐵)
108		baerlem3.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
109	101	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))))
110	7, 17, 9, 52, 8, 10, 19, 3, 39, 40, 6, 14	lmodnegadd 20877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘((𝑑 · 𝑌) + (𝑒 · 𝑍))) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑒) · 𝑍)))
111	109, 110	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)) = (((𝐼‘𝑑) · 𝑌) + ((𝐼‘𝑒) · 𝑍)))
112	7, 17, 8, 10, 9, 60, 45, 1, 5, 13, 4, 49, 105, 107, 108, 111	lvecindp2 21109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑎 = (𝐼‘𝑑) ∧ 𝑏 = (𝐼‘𝑒)))
113		oveq12 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝐼‘𝑑) ∧ 𝑏 = (𝐼‘𝑒)) → (𝑎 ⨣ 𝑏) = ((𝐼‘𝑑) ⨣ (𝐼‘𝑒)))
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ⨣ 𝑏) = ((𝐼‘𝑑) ⨣ (𝐼‘𝑒)))
115	43, 103, 114	3eqtr4rd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ⨣ 𝑏) = (𝐼‘𝑄))
116	55, 19	grpinvid 18986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝐼‘𝑄) = 𝑄)
117	28, 116	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑄) = 𝑄)
118	115, 117	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ⨣ 𝑏) = 𝑄)
119	10, 41, 55, 19	grpinvid1 18978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑎 ⨣ 𝑏) = 𝑄))
120	28, 4, 49, 119	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑎) = 𝑏 ↔ (𝑎 ⨣ 𝑏) = 𝑄))
121	118, 120	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑎) = 𝑏)
122	36, 121	eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑎) = 𝑏)
123	122	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐼‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑅)𝑎) · 𝑍) = (𝑏 · 𝑍))
124	35, 123	eqtr3d 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍)) = (𝑏 · 𝑍))
125	124	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))) = ((𝑎 · 𝑌) + (𝑏 · 𝑍)))
126	24, 125	eqtr4d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = ((𝑎 · 𝑌) + ((𝐼‘(1r‘𝑅)) · (𝑎 · 𝑍))))
127	22, 23, 126	3eqtr4rd 2780	1 ⊢ (𝜑 → 𝑗 = (𝑎 · (𝑌 − 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ∖ cdif 3928  {csn 4606  {cpr 4608  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Basecbs 17229  +_gcplusg 17273  ._rcmulr 17274  Scalarcsca 17276   ·_𝑠 cvsca 17277  0_gc0g 17455  Grpcgrp 18920  inv_gcminusg 18921  -_gcsg 18922  LSSumclsm 19620  Abelcabl 19767  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  LModclmod 20826  LSubSpclss 20897  LSpanclspn 20937  LVecclvec 21069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-0g 17457  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-subg 19110  df-cntz 19304  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-drng 20699  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-lsp 20938  df-lvec 21070

This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  41671