Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem3lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem baerlem3lem1 40216
Description: Lemma for baerlem3 40222. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
baerlem3.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
baerlem3.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
baerlem3.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
baerlem3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
baerlem3.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
baerlem3.c (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
baerlem3.d (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
baerlem3.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
baerlem3.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
baerlem3.p + = (+gβ€˜π‘Š)
baerlem3.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
baerlem3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
baerlem3.a ⨣ = (+gβ€˜π‘…)
baerlem3.l 𝐿 = (-gβ€˜π‘…)
baerlem3.q 𝑄 = (0gβ€˜π‘…)
baerlem3.i 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
baerlem3.a1 (πœ‘ β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
baerlem3.b1 (πœ‘ β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
baerlem3.d1 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
baerlem3.e1 (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
baerlem3.j1 (πœ‘ β†’ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)))
baerlem3.j2 (πœ‘ β†’ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) + (𝑒 Β· (𝑋 βˆ’ 𝑍))))
Assertion
Ref Expression
baerlem3lem1 (πœ‘ β†’ 𝑗 = (π‘Ž Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑍)))

Proof of Theorem baerlem3lem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20582 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 baerlem3.a1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Ž ∈ 𝐡)
5 baerlem3.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
65eldifad 3923 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
7 baerlem3.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 baerlem3.r . . . . 5 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
9 baerlem3.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 baerlem3.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
117, 8, 9, 10lmodvscl 20354 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
123, 4, 6, 11syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Ž Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
13 baerlem3.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1413eldifad 3923 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
157, 8, 9, 10lmodvscl 20354 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
163, 4, 14, 15syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Ž Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
17 baerlem3.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
18 baerlem3.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
19 baerlem3.i . . . 4 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
20 eqid 2733 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
217, 17, 18, 8, 9, 19, 20lmodvsubval2 20392 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ž Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Ž Β· 𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž Β· π‘Œ) βˆ’ (π‘Ž Β· 𝑍)) = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜(1rβ€˜π‘…)) Β· (π‘Ž Β· 𝑍))))
223, 12, 16, 21syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž Β· π‘Œ) βˆ’ (π‘Ž Β· 𝑍)) = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜(1rβ€˜π‘…)) Β· (π‘Ž Β· 𝑍))))
237, 9, 8, 10, 18, 3, 4, 6, 14lmodsubdi 20394 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Ž Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑍)) = ((π‘Ž Β· π‘Œ) βˆ’ (π‘Ž Β· 𝑍)))
24 baerlem3.j1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)))
258lmodring 20344 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
263, 25syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
27 ringgrp 19974 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
298, 10, 20lmod1cl 20364 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
303, 29syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
3110, 19grpinvcl 18803 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡)
3228, 30, 31syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡)
33 eqid 2733 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
347, 8, 9, 10, 33lmodvsass 20362 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((πΌβ€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ 𝐡 ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) β†’ (((πΌβ€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) Β· 𝑍) = ((πΌβ€˜(1rβ€˜π‘…)) Β· (π‘Ž Β· 𝑍)))
353, 32, 4, 14, 34syl13anc 1373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) Β· 𝑍) = ((πΌβ€˜(1rβ€˜π‘…)) Β· (π‘Ž Β· 𝑍)))
3610, 33, 20, 19, 26, 4ringnegl 20023 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) = (πΌβ€˜π‘Ž))
37 ringabl 20007 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Abel)
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Abel)
39 baerlem3.d1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ 𝐡)
40 baerlem3.e1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝐡)
41 baerlem3.a . . . . . . . . . . . 12 ⨣ = (+gβ€˜π‘…)
4210, 41, 19ablinvadd 19593 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜(𝑑 ⨣ 𝑒)) = ((πΌβ€˜π‘‘) ⨣ (πΌβ€˜π‘’)))
4338, 39, 40, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(𝑑 ⨣ 𝑒)) = ((πΌβ€˜π‘‘) ⨣ (πΌβ€˜π‘’)))
44 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
45 baerlem3.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
467, 44, 45, 3, 6, 14lspprcl 20454 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
47 baerlem3.x . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
48 baerlem3.c . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
49 baerlem3.b1 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑏 ∈ 𝐡)
507, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 4, 49, 6, 14lsppreli 20566 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
517, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 39, 40, 6, 14lsppreli 20566 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍)) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
52 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
5344, 52lssvnegcl 20432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ ((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍)) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍))) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
543, 46, 51, 53syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍))) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
55 baerlem3.q . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑄 = (0gβ€˜π‘…)
5610, 55ring0cl 19995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
5726, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
5810, 41ringacl 20004 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐡)
5926, 39, 40, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐡)
60 baerlem3.o . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0gβ€˜π‘Š)
617, 8, 9, 55, 60lmod0vs 20370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑄 Β· 𝑋) = 0 )
623, 47, 61syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑄 Β· 𝑋) = 0 )
6362oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑄 Β· 𝑋) + ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) = ( 0 + ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))))
64 lmodgrp 20343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
653, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
667, 8, 9, 10lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑏 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (𝑏 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
673, 49, 14, 66syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑏 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
687, 17lmodvacl 20351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ž Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 Β· 𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) ∈ 𝑉)
693, 12, 67, 68syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) ∈ 𝑉)
707, 17, 60grplid 18785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Grp ∧ ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) ∈ 𝑉) β†’ ( 0 + ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)))
7165, 69, 70syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ( 0 + ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)))
72 lmodabl 20384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
733, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
747, 8, 9, 10lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑑 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
753, 39, 47, 74syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑑 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
767, 8, 9, 10lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑒 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
773, 40, 47, 76syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑒 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
787, 8, 9, 10lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑑 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
793, 39, 6, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑑 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉)
807, 8, 9, 10lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (𝑒 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
813, 40, 14, 80syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑒 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)
827, 17, 18ablsub4 19596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ Abel ∧ ((𝑑 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 Β· 𝑋) ∈ 𝑉) ∧ ((𝑑 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 Β· 𝑍) ∈ 𝑉)) β†’ (((𝑑 Β· 𝑋) + (𝑒 Β· 𝑋)) βˆ’ ((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍))) = (((𝑑 Β· 𝑋) βˆ’ (𝑑 Β· π‘Œ)) + ((𝑒 Β· 𝑋) βˆ’ (𝑒 Β· 𝑍))))
8373, 75, 77, 79, 81, 82syl122anc 1380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (((𝑑 Β· 𝑋) + (𝑒 Β· 𝑋)) βˆ’ ((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍))) = (((𝑑 Β· 𝑋) βˆ’ (𝑑 Β· π‘Œ)) + ((𝑒 Β· 𝑋) βˆ’ (𝑒 Β· 𝑍))))
847, 17, 8, 9, 10, 41lmodvsdir 20361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑑 ∈ 𝐡 ∧ 𝑒 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) = ((𝑑 Β· 𝑋) + (𝑒 Β· 𝑋)))
853, 39, 40, 47, 84syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) = ((𝑑 Β· 𝑋) + (𝑒 Β· 𝑋)))
8685oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) βˆ’ ((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍))) = (((𝑑 Β· 𝑋) + (𝑒 Β· 𝑋)) βˆ’ ((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍))))
87 baerlem3.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑗 = ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) + (𝑒 Β· (𝑋 βˆ’ 𝑍))))
887, 9, 8, 10, 18, 3, 39, 47, 6lmodsubdi 20394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) = ((𝑑 Β· 𝑋) βˆ’ (𝑑 Β· π‘Œ)))
897, 9, 8, 10, 18, 3, 40, 47, 14lmodsubdi 20394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑒 Β· (𝑋 βˆ’ 𝑍)) = ((𝑒 Β· 𝑋) βˆ’ (𝑒 Β· 𝑍)))
9088, 89oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((𝑑 Β· (𝑋 βˆ’ π‘Œ)) + (𝑒 Β· (𝑋 βˆ’ 𝑍))) = (((𝑑 Β· 𝑋) βˆ’ (𝑑 Β· π‘Œ)) + ((𝑒 Β· 𝑋) βˆ’ (𝑒 Β· 𝑍))))
9187, 90eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑗 = (((𝑑 Β· 𝑋) βˆ’ (𝑑 Β· π‘Œ)) + ((𝑒 Β· 𝑋) βˆ’ (𝑒 Β· 𝑍))))
9283, 86, 913eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑗 = (((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) βˆ’ ((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍))))
937, 8, 9, 10lmodvscl 20354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑑 ⨣ 𝑒) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
943, 59, 47, 93syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
957, 17lmodvacl 20351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑑 Β· π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ (𝑒 Β· 𝑍) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍)) ∈ 𝑉)
963, 79, 81, 95syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍)) ∈ 𝑉)
977, 17, 52, 18grpsubval 18801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍)) ∈ 𝑉) β†’ (((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) βˆ’ ((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍)))))
9894, 96, 97syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) βˆ’ ((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍)))))
9992, 24, 983eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍)))))
10063, 71, 993eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑄 Β· 𝑋) + ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍))) = (((𝑑 ⨣ 𝑒) Β· 𝑋) + ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍)))))
1017, 17, 8, 10, 9, 44, 1, 46, 47, 48, 50, 54, 57, 59, 100lvecindp 20615 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒) ∧ ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍)))))
102101simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄 = (𝑑 ⨣ 𝑒))
103102fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘„) = (πΌβ€˜(𝑑 ⨣ 𝑒)))
10410, 19grpinvcl 18803 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑑 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) ∈ 𝐡)
10528, 39, 104syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‘) ∈ 𝐡)
10610, 19grpinvcl 18803 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑒 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘’) ∈ 𝐡)
10728, 40, 106syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘’) ∈ 𝐡)
108 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
109101simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) = ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍))))
1107, 17, 9, 52, 8, 10, 19, 3, 39, 40, 6, 14lmodnegadd 20386 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜((𝑑 Β· π‘Œ) + (𝑒 Β· 𝑍))) = (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
111109, 110eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)) = (((πΌβ€˜π‘‘) Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜π‘’) Β· 𝑍)))
1127, 17, 8, 10, 9, 60, 45, 1, 5, 13, 4, 49, 105, 107, 108, 111lvecindp2 20616 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Ž = (πΌβ€˜π‘‘) ∧ 𝑏 = (πΌβ€˜π‘’)))
113 oveq12 7367 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž = (πΌβ€˜π‘‘) ∧ 𝑏 = (πΌβ€˜π‘’)) β†’ (π‘Ž ⨣ 𝑏) = ((πΌβ€˜π‘‘) ⨣ (πΌβ€˜π‘’)))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ⨣ 𝑏) = ((πΌβ€˜π‘‘) ⨣ (πΌβ€˜π‘’)))
11543, 103, 1143eqtr4rd 2784 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ⨣ 𝑏) = (πΌβ€˜π‘„))
11655, 19grpinvid 18813 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Grp β†’ (πΌβ€˜π‘„) = 𝑄)
11728, 116syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘„) = 𝑄)
118115, 117eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ⨣ 𝑏) = 𝑄)
11910, 41, 55, 19grpinvid1 18807 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Grp ∧ π‘Ž ∈ 𝐡 ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜π‘Ž) = 𝑏 ↔ (π‘Ž ⨣ 𝑏) = 𝑄))
12028, 4, 49, 119syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘Ž) = 𝑏 ↔ (π‘Ž ⨣ 𝑏) = 𝑄))
121118, 120mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘Ž) = 𝑏)
12236, 121eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) = 𝑏)
123122oveq1d 7373 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜(1rβ€˜π‘…))(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) Β· 𝑍) = (𝑏 Β· 𝑍))
12435, 123eqtr3d 2775 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜(1rβ€˜π‘…)) Β· (π‘Ž Β· 𝑍)) = (𝑏 Β· 𝑍))
125124oveq2d 7374 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜(1rβ€˜π‘…)) Β· (π‘Ž Β· 𝑍))) = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + (𝑏 Β· 𝑍)))
12624, 125eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑗 = ((π‘Ž Β· π‘Œ) + ((πΌβ€˜(1rβ€˜π‘…)) Β· (π‘Ž Β· 𝑍))))
12722, 23, 1263eqtr4rd 2784 1 (πœ‘ β†’ 𝑗 = (π‘Ž Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3908  {csn 4587  {cpr 4589  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326  Grpcgrp 18753  invgcminusg 18754  -gcsg 18755  LSSumclsm 19421  Abelcabl 19568  1rcur 19918  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447  LVecclvec 20578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-lsm 19423  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lvec 20579
This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  40219
  Copyright terms: Public domain W3C validator