Theorem ldepsprlem 48461

Description: Lemma for ldepspr 48462. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
snlindsntor.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
snlindsntor.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
ldepsprlem.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ldepsprlem.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ldepsprlem	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))

Proof of Theorem ldepsprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7395	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ( 1 · 𝑋) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
2	1	oveq1d 7402	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
3		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ LMod)
4		snlindsntor.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5		snlindsntor.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
6		ldepsprlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	4, 5, 6	lmod1cl 20795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 1 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → 1 ∈ 𝑆)
9		simpr3 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
10		simpr2 1196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		snlindsntor.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
12		snlindsntor.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
13		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14	11, 4, 12, 5, 13	lmodvsass 20793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ( 1 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
15	3, 8, 9, 10, 14	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
16	15	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ( 1 · (𝐴 · 𝑌)) = (( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌))
17	16	oveq1d 7402	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = ((( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
18	4	lmodring 20774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
19		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
20	5, 13, 6	ringlidm 20178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ( 1 (.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
21	18, 19, 20	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ( 1 (.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
22	21	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌) = (𝐴 · 𝑌))
23	22	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
24	4	lmodfgrp 20775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
25		ldepsprlem.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
26	5, 25	grpinvcl 18919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆)
27	24, 19, 26	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆)
28		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
29		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
30	11, 28, 4, 12, 5, 29	lmodvsdir 20792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
31	3, 9, 27, 10, 30	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
32		snlindsntor.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
33	5, 29, 32, 25	grprinv 18922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = 0 )
34	24, 19, 33	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = 0 )
35	34	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
36		snlindsntor.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
37	11, 4, 12, 32, 36	lmod0vs 20801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
38	37	3ad2antr2 1190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
39	35, 38	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = 𝑍)
40	23, 31, 39	3eqtr2d 2770	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
41	17, 40	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
42	2, 41	sylan9eqr 2786	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
43	42	ex 412	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  LModclmod 20766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-lmod 20768

This theorem is referenced by:  ldepspr  48462