Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsprlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsprlem 48318
Description: Lemma for ldepspr 48319. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0 0 = (0g𝑅)
snlindsntor.z 𝑍 = (0g𝑀)
snlindsntor.t · = ( ·𝑠𝑀)
ldepsprlem.1 1 = (1r𝑅)
ldepsprlem.n 𝑁 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
ldepsprlem ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))

Proof of Theorem ldepsprlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . 4 (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ( 1 · 𝑋) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
21oveq1d 7446 . . 3 (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
3 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 𝑀 ∈ LMod)
4 snlindsntor.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5 snlindsntor.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝑅)
6 ldepsprlem.1 . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑅)
74, 5, 6lmod1cl 20904 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 1𝑆)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 1𝑆)
9 simpr3 1195 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 𝐴𝑆)
10 simpr2 1194 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 𝑌𝐵)
11 snlindsntor.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
12 snlindsntor.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑀)
13 eqid 2735 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1411, 4, 12, 5, 13lmodvsass 20902 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ( 1𝑆𝐴𝑆𝑌𝐵)) → (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
153, 8, 9, 10, 14syl13anc 1371 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
1615eqcomd 2741 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ( 1 · (𝐴 · 𝑌)) = (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌))
1716oveq1d 7446 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = ((( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
184lmodring 20883 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
19 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
205, 13, 6ringlidm 20283 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑆) → ( 1 (.r𝑅)𝐴) = 𝐴)
2118, 19, 20syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ( 1 (.r𝑅)𝐴) = 𝐴)
2221oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌) = (𝐴 · 𝑌))
2322oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
244lmodfgrp 20884 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
25 ldepsprlem.n . . . . . . . 8 𝑁 = (invg𝑅)
265, 25grpinvcl 19018 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑆) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑆)
2724, 19, 26syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑆)
28 eqid 2735 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑀)
29 eqid 2735 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3011, 28, 4, 12, 5, 29lmodvsdir 20901 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐴𝑆 ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝑆𝑌𝐵)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
313, 9, 27, 10, 30syl13anc 1371 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
32 snlindsntor.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
335, 29, 32, 25grprinv 19021 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑆) → (𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) = 0 )
3424, 19, 33syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) = 0 )
3534oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
36 snlindsntor.z . . . . . . . 8 𝑍 = (0g𝑀)
3711, 4, 12, 32, 36lmod0vs 20910 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
38373ad2antr2 1188 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
3935, 38eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = 𝑍)
4023, 31, 393eqtr2d 2781 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
4117, 40eqtrd 2775 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
422, 41sylan9eqr 2797 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
4342ex 412 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  1rcur 20199  Ringcrg 20251  LModclmod 20875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877
This theorem is referenced by:  ldepspr  48319
  Copyright terms: Public domain W3C validator