Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsprlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ldepsprlem 47428
Description: Lemma for ldepspr 47429. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
snlindsntor.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
snlindsntor.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
snlindsntor.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
snlindsntor.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
snlindsntor.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
ldepsprlem.1 1 = (1rβ€˜π‘…)
ldepsprlem.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ldepsprlem ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍))
Proof of Theorem ldepsprlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 7413 . . . 4 (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ ( 1 Β· 𝑋) = ( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
21oveq1d 7420 . . 3 (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = (( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ))(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
3 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
4 snlindsntor.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
5 snlindsntor.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
6 ldepsprlem.1 . . . . . . . . 9 1 = (1rβ€˜π‘…)
74, 5, 6lmod1cl 20735 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod β†’ 1 ∈ 𝑆)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ 1 ∈ 𝑆)
9 simpr3 1193 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
10 simpr2 1192 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
11 snlindsntor.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
12 snlindsntor.t . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
13 eqid 2726 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1411, 4, 12, 5, 13lmodvsass 20733 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ( 1 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ) = ( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
153, 8, 9, 10, 14syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ) = ( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
1615eqcomd 2732 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ)) = (( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ))
1716oveq1d 7420 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ))(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = ((( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
184lmodring 20714 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
19 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
205, 13, 6ringlidm 20168 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) = 𝐴)
2118, 19, 20syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) = 𝐴)
2221oveq1d 7420 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ) = (𝐴 Β· π‘Œ))
2322oveq1d 7420 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ((( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = ((𝐴 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
244lmodfgrp 20715 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Grp)
25 ldepsprlem.n . . . . . . . 8 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
265, 25grpinvcl 18917 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝑆)
2724, 19, 26syl2an 595 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝑆)
28 eqid 2726 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
29 eqid 2726 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
3011, 28, 4, 12, 5, 29lmodvsdir 20732 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· π‘Œ) = ((𝐴 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
313, 9, 27, 10, 30syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· π‘Œ) = ((𝐴 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
32 snlindsntor.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘…)
335, 29, 32, 25grprinv 18920 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) = 0 )
3424, 19, 33syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) = 0 )
3534oveq1d 7420 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· π‘Œ) = ( 0 Β· π‘Œ))
36 snlindsntor.z . . . . . . . 8 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
3711, 4, 12, 32, 36lmod0vs 20741 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( 0 Β· π‘Œ) = 𝑍)
38373ad2antr2 1186 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ( 0 Β· π‘Œ) = 𝑍)
3935, 38eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· π‘Œ) = 𝑍)
4023, 31, 393eqtr2d 2772 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ((( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍)
4117, 40eqtrd 2766 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ))(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍)
422, 41sylan9eqr 2788 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ)) β†’ (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍)
4342ex 412 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864  1rcur 20086  Ringcrg 20138  LModclmod 20706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708
This theorem is referenced by:  ldepspr  47429
  Copyright terms: Public domain W3C validator