Theorem ldepsprlem 45813

Description: Lemma for ldepspr 45814. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
snlindsntor.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
snlindsntor.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
ldepsprlem.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ldepsprlem.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ldepsprlem	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))

Proof of Theorem ldepsprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7283	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ( 1 · 𝑋) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
2	1	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
3		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ LMod)
4		snlindsntor.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5		snlindsntor.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
6		ldepsprlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	4, 5, 6	lmod1cl 20150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 1 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → 1 ∈ 𝑆)
9		simpr3 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
10		simpr2 1194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		snlindsntor.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
12		snlindsntor.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
13		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14	11, 4, 12, 5, 13	lmodvsass 20148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ( 1 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
15	3, 8, 9, 10, 14	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
16	15	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ( 1 · (𝐴 · 𝑌)) = (( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌))
17	16	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = ((( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
18	4	lmodring 20131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
19		simp3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
20	5, 13, 6	ringlidm 19810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ( 1 (.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
21	18, 19, 20	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ( 1 (.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
22	21	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌) = (𝐴 · 𝑌))
23	22	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
24	4	lmodfgrp 20132	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
25		ldepsprlem.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
26	5, 25	grpinvcl 18627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆)
27	24, 19, 26	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆)
28		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
29		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
30	11, 28, 4, 12, 5, 29	lmodvsdir 20147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
31	3, 9, 27, 10, 30	syl13anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
32		snlindsntor.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
33	5, 29, 32, 25	grprinv 18629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = 0 )
34	24, 19, 33	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = 0 )
35	34	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
36		snlindsntor.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
37	11, 4, 12, 32, 36	lmod0vs 20156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
38	37	3ad2antr2 1188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
39	35, 38	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = 𝑍)
40	23, 31, 39	3eqtr2d 2784	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
41	17, 40	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
42	2, 41	sylan9eqr 2800	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
43	42	ex 413	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  LModclmod 20123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125

This theorem is referenced by:  ldepspr  45814