Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsprlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ldepsprlem 47652
Description: Lemma for ldepspr 47653. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
snlindsntor.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
snlindsntor.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
snlindsntor.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
snlindsntor.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
snlindsntor.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
ldepsprlem.1 1 = (1rβ€˜π‘…)
ldepsprlem.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ldepsprlem ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍))
Proof of Theorem ldepsprlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 7424 . . . 4 (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ ( 1 Β· 𝑋) = ( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
21oveq1d 7431 . . 3 (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = (( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ))(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
3 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
4 snlindsntor.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
5 snlindsntor.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
6 ldepsprlem.1 . . . . . . . . 9 1 = (1rβ€˜π‘…)
74, 5, 6lmod1cl 20776 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod β†’ 1 ∈ 𝑆)
87adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ 1 ∈ 𝑆)
9 simpr3 1193 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
10 simpr2 1192 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
11 snlindsntor.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
12 snlindsntor.t . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
13 eqid 2725 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1411, 4, 12, 5, 13lmodvsass 20774 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ( 1 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ) = ( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
153, 8, 9, 10, 14syl13anc 1369 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ) = ( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
1615eqcomd 2731 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ)) = (( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ))
1716oveq1d 7431 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ))(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = ((( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
184lmodring 20755 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
19 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
205, 13, 6ringlidm 20209 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) = 𝐴)
2118, 19, 20syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) = 𝐴)
2221oveq1d 7431 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ) = (𝐴 Β· π‘Œ))
2322oveq1d 7431 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ((( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = ((𝐴 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
244lmodfgrp 20756 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Grp)
25 ldepsprlem.n . . . . . . . 8 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
265, 25grpinvcl 18948 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝑆)
2724, 19, 26syl2an 594 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝑆)
28 eqid 2725 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
29 eqid 2725 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
3011, 28, 4, 12, 5, 29lmodvsdir 20773 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· π‘Œ) = ((𝐴 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
313, 9, 27, 10, 30syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· π‘Œ) = ((𝐴 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
32 snlindsntor.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘…)
335, 29, 32, 25grprinv 18951 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) = 0 )
3424, 19, 33syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) = 0 )
3534oveq1d 7431 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· π‘Œ) = ( 0 Β· π‘Œ))
36 snlindsntor.z . . . . . . . 8 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
3711, 4, 12, 32, 36lmod0vs 20782 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( 0 Β· π‘Œ) = 𝑍)
38373ad2antr2 1186 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ( 0 Β· π‘Œ) = 𝑍)
3935, 38eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· π‘Œ) = 𝑍)
4023, 31, 393eqtr2d 2771 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ((( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍)
4117, 40eqtrd 2765 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ))(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍)
422, 41sylan9eqr 2787 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ)) β†’ (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍)
4342ex 411 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  Grpcgrp 18894  invgcminusg 18895  1rcur 20125  Ringcrg 20177  LModclmod 20747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749
This theorem is referenced by:  ldepspr  47653
  Copyright terms: Public domain W3C validator