Theorem ldepsprlem 49528

Description: Lemma for ldepspr 49529. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
snlindsntor.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
snlindsntor.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
ldepsprlem.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ldepsprlem.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ldepsprlem	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))

Proof of Theorem ldepsprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7420	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ( 1 · 𝑋) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
2	1	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
3		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ LMod)
4		snlindsntor.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5		snlindsntor.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
6		ldepsprlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	4, 5, 6	lmod1cl 21144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 1 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → 1 ∈ 𝑆)
9		simpr3 1215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
10		simpr2 1214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		snlindsntor.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
12		snlindsntor.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
13		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14	11, 4, 12, 5, 13	lmodvsass 21142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ( 1 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
15	3, 8, 9, 10, 14	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
16	15	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ( 1 · (𝐴 · 𝑌)) = (( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌))
17	16	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = ((( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
18	4	lmodring 21123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
19		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
20	5, 13, 6	ringlidm 20478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ( 1 (.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
21	18, 19, 20	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ( 1 (.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
22	21	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌) = (𝐴 · 𝑌))
23	22	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
24	4	lmodfgrp 21124	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
25		ldepsprlem.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
26	5, 25	grpinvcl 19178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆)
27	24, 19, 26	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆)
28		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
29		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
30	11, 28, 4, 12, 5, 29	lmodvsdir 21141	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
31	3, 9, 27, 10, 30	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
32		snlindsntor.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
33	5, 29, 32, 25	grprinv 19181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = 0 )
34	24, 19, 33	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = 0 )
35	34	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
36		snlindsntor.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
37	11, 4, 12, 32, 36	lmod0vs 21150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
38	37	3ad2antr2 1208	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
39	35, 38	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = 𝑍)
40	23, 31, 39	3eqtr2d 2802	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
41	17, 40	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
42	2, 41	sylan9eqr 2818	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
43	42	ex 418	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  ._rcmulr 17409  Scalarcsca 17411   ·_𝑠 cvsca 17412  0_gc0g 17590  Grpcgrp 19124  inv_gcminusg 19125  1_rcur 20387  Ringcrg 20439  LModclmod 21115

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-mgp 20341  df-ur 20388  df-ring 20441  df-lmod 21117

This theorem is used by:  ldepspr  49529