Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsprlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ldepsprlem 47106
Description: Lemma for ldepspr 47107. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
snlindsntor.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
snlindsntor.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
snlindsntor.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
snlindsntor.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
snlindsntor.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
ldepsprlem.1 1 = (1rβ€˜π‘…)
ldepsprlem.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
ldepsprlem ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍))
Proof of Theorem ldepsprlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 7413 . . . 4 (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ ( 1 Β· 𝑋) = ( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
21oveq1d 7420 . . 3 (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = (( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ))(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
3 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
4 snlindsntor.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
5 snlindsntor.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Baseβ€˜π‘…)
6 ldepsprlem.1 . . . . . . . . 9 1 = (1rβ€˜π‘…)
74, 5, 6lmod1cl 20491 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod β†’ 1 ∈ 𝑆)
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ 1 ∈ 𝑆)
9 simpr3 1196 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
10 simpr2 1195 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
11 snlindsntor.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
12 snlindsntor.t . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
13 eqid 2732 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1411, 4, 12, 5, 13lmodvsass 20489 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ( 1 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ) = ( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
153, 8, 9, 10, 14syl13anc 1372 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ) = ( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ)))
1615eqcomd 2738 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ)) = (( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ))
1716oveq1d 7420 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ))(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = ((( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
184lmodring 20471 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
19 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
205, 13, 6ringlidm 20079 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) = 𝐴)
2118, 19, 20syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) = 𝐴)
2221oveq1d 7420 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ) = (𝐴 Β· π‘Œ))
2322oveq1d 7420 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ((( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = ((𝐴 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
244lmodfgrp 20472 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Grp)
25 ldepsprlem.n . . . . . . . 8 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
265, 25grpinvcl 18868 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝑆)
2724, 19, 26syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝑆)
28 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
29 eqid 2732 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
3011, 28, 4, 12, 5, 29lmodvsdir 20488 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· π‘Œ) = ((𝐴 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
313, 9, 27, 10, 30syl13anc 1372 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· π‘Œ) = ((𝐴 Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
32 snlindsntor.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘…)
335, 29, 32, 25grprinv 18871 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) = 0 )
3424, 19, 33syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) = 0 )
3534oveq1d 7420 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· π‘Œ) = ( 0 Β· π‘Œ))
36 snlindsntor.z . . . . . . . 8 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
3711, 4, 12, 32, 36lmod0vs 20497 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ( 0 Β· π‘Œ) = 𝑍)
38373ad2antr2 1189 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ( 0 Β· π‘Œ) = 𝑍)
3935, 38eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· π‘Œ) = 𝑍)
4023, 31, 393eqtr2d 2778 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ ((( 1 (.rβ€˜π‘…)𝐴) Β· π‘Œ)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍)
4117, 40eqtrd 2772 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (( 1 Β· (𝐴 Β· π‘Œ))(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍)
422, 41sylan9eqr 2794 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ)) β†’ (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍)
4342ex 413 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑋 = (𝐴 Β· π‘Œ) β†’ (( 1 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘€)((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  1rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465
This theorem is referenced by:  ldepspr  47107
  Copyright terms: Public domain W3C validator