Theorem ldepsprlem 49103

Description: Lemma for ldepspr 49104. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
snlindsntor.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
snlindsntor.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
ldepsprlem.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ldepsprlem.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ldepsprlem	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))

Proof of Theorem ldepsprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7408	. . . 4 ⊢ (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ( 1 · 𝑋) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
2	1	oveq1d 7415	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
3		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ LMod)
4		snlindsntor.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5		snlindsntor.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
6		ldepsprlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	4, 5, 6	lmod1cl 20979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 1 ∈ 𝑆)
8	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → 1 ∈ 𝑆)
9		simpr3 1213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
10		simpr2 1212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
11		snlindsntor.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
12		snlindsntor.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
13		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14	11, 4, 12, 5, 13	lmodvsass 20977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ( 1 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
15	3, 8, 9, 10, 14	syl13anc 1395	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
16	15	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ( 1 · (𝐴 · 𝑌)) = (( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌))
17	16	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = ((( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
18	4	lmodring 20958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
19		simp3 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
20	5, 13, 6	ringlidm 20343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ( 1 (.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
21	18, 19, 20	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ( 1 (.r‘𝑅)𝐴) = 𝐴)
22	21	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌) = (𝐴 · 𝑌))
23	22	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
24	4	lmodfgrp 20959	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
25		ldepsprlem.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
26	5, 25	grpinvcl 19044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆)
27	24, 19, 26	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆)
28		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
29		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
30	11, 28, 4, 12, 5, 29	lmodvsdir 20976	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
31	3, 9, 27, 10, 30	syl13anc 1395	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
32		snlindsntor.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
33	5, 29, 32, 25	grprinv 19047	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = 0 )
34	24, 19, 33	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = 0 )
35	34	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
36		snlindsntor.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
37	11, 4, 12, 32, 36	lmod0vs 20985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
38	37	3ad2antr2 1206	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
39	35, 38	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((𝐴(+g‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = 𝑍)
40	23, 31, 39	3eqtr2d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → ((( 1 (.r‘𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
41	17, 40	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
42	2, 41	sylan9eqr 2822	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
43	42	ex 417	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g‘𝑀)((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  ._rcmulr 17301  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304  0_gc0g 17482  Grpcgrp 18990  inv_gcminusg 18991  1_rcur 20254  Ringcrg 20306  LModclmod 20950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-mgp 20208  df-ur 20255  df-ring 20308  df-lmod 20952

This theorem is referenced by:  ldepspr  49104