Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsprlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsprlem 48389
Description: Lemma for ldepspr 48390. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0 0 = (0g𝑅)
snlindsntor.z 𝑍 = (0g𝑀)
snlindsntor.t · = ( ·𝑠𝑀)
ldepsprlem.1 1 = (1r𝑅)
ldepsprlem.n 𝑁 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
ldepsprlem ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))

Proof of Theorem ldepsprlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . 4 (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ( 1 · 𝑋) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
21oveq1d 7446 . . 3 (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
3 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 𝑀 ∈ LMod)
4 snlindsntor.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5 snlindsntor.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝑅)
6 ldepsprlem.1 . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑅)
74, 5, 6lmod1cl 20887 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 1𝑆)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 1𝑆)
9 simpr3 1197 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 𝐴𝑆)
10 simpr2 1196 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 𝑌𝐵)
11 snlindsntor.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
12 snlindsntor.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑀)
13 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1411, 4, 12, 5, 13lmodvsass 20885 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ( 1𝑆𝐴𝑆𝑌𝐵)) → (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
153, 8, 9, 10, 14syl13anc 1374 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
1615eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ( 1 · (𝐴 · 𝑌)) = (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌))
1716oveq1d 7446 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = ((( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
184lmodring 20866 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
19 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
205, 13, 6ringlidm 20266 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑆) → ( 1 (.r𝑅)𝐴) = 𝐴)
2118, 19, 20syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ( 1 (.r𝑅)𝐴) = 𝐴)
2221oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌) = (𝐴 · 𝑌))
2322oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
244lmodfgrp 20867 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
25 ldepsprlem.n . . . . . . . 8 𝑁 = (invg𝑅)
265, 25grpinvcl 19005 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑆) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑆)
2724, 19, 26syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑆)
28 eqid 2737 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑀)
29 eqid 2737 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3011, 28, 4, 12, 5, 29lmodvsdir 20884 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐴𝑆 ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝑆𝑌𝐵)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
313, 9, 27, 10, 30syl13anc 1374 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
32 snlindsntor.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
335, 29, 32, 25grprinv 19008 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑆) → (𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) = 0 )
3424, 19, 33syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) = 0 )
3534oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
36 snlindsntor.z . . . . . . . 8 𝑍 = (0g𝑀)
3711, 4, 12, 32, 36lmod0vs 20893 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
38373ad2antr2 1190 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
3935, 38eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = 𝑍)
4023, 31, 393eqtr2d 2783 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
4117, 40eqtrd 2777 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
422, 41sylan9eqr 2799 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
4342ex 412 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  1rcur 20178  Ringcrg 20230  LModclmod 20858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860
This theorem is referenced by:  ldepspr  48390
  Copyright terms: Public domain W3C validator