Theorem pm2mpghm 22772

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 16-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpfo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpfo.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpfo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpfo.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpfo.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpfo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpfo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpfo.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpfo.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
pm2mpfo.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpghm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))

Proof of Theorem pm2mpghm

Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑏 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpfo.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		pm2mpfo.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
4		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
5		pm2mpfo.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		pm2mpfo.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
7	5, 6	pmatring 22648	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
8		ringgrp 20185	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
10		pm2mpfo.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
11	10	matring 22399	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
12		pm2mpfo.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
13	12	ply1ring 22200	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
15		ringgrp 20185	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Grp)
17		pm2mpfo.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
18		pm2mpfo.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
19		pm2mpfo.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
20		pm2mpfo.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
21	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20, 2	pm2mpf 22754	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐿)
22		ringmnd 20190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Mnd)
23	7, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Mnd)
24	23	anim1i 616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
25		3anass 1095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
26	24, 25	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))
27	1, 3	mndcl 18679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
29	6, 1	decpmatval 22721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)))
30	28, 29	sylan 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)))
31		simplll 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
32		fvexd 6857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ V)
33		fvexd 6857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ V)
34		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
35		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
36	31, 31, 32, 33, 34, 35	offval22 8040	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g‘𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
37		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
39		simpllr 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
40		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
41		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
42	1	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
43	42	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
44	43	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
45		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
46	6, 45	matecl 22381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
47	40, 41, 44, 46	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
48	47	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
49	48	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
51	50	3impib 1117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
52		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
53	52	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑎𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑎𝑗))
55	54, 45, 5, 37	coe1fvalcl 22165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
56	51, 53, 55	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
57	10, 37, 38, 31, 39, 56	matbas2d 22379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴))
58		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
59		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
60	1	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
61	60	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
62	61	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
63	6, 45	matecl 22381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
64	58, 59, 62, 63	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
65	64	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
66	65	adantrl 717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
68	67	3impib 1117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
69		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑏𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑏𝑗))
70	69, 45, 5, 37	coe1fvalcl 22165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
71	68, 53, 70	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
72	10, 37, 38, 31, 39, 71	matbas2d 22379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴))
73		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴)
74		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
75	10, 38, 73, 74	matplusg2 22383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g‘𝐴)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
76	57, 72, 75	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g‘𝐴)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
77		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))
78	77	anim1i 616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
79	78	3impb 1115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
80		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
81	6, 1, 3, 80	matplusgcell 22389	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗) = ((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))
82	79, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗) = ((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))
83	82	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗)) = (coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗))))
84	83	fveq1d 6844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘) = ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘))
85	39	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
86	5, 45, 80, 74	coe1addfv 22219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g‘𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
87	85, 51, 68, 53, 86	syl31anc 1376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g‘𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
88	84, 87	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g‘𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
89	88	mpoeq3dva 7445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g‘𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
90	36, 76, 89	3eqtr4rd 2783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g‘𝐴)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
91	12	ply1sca 22205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
92	11, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
93	92	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
94	93	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (+g‘𝐴) = (+g‘(Scalar‘𝑄)))
95		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
96	6, 1	decpmatval 22721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
97	95, 96	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
98	97	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) = (𝑎 decompPMat 𝑘))
99		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
100	6, 1	decpmatval 22721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
101	99, 100	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
102	101	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) = (𝑏 decompPMat 𝑘))
103	94, 98, 102	oveq123d 7389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g‘𝐴)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)))
104	30, 90, 103	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = ((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)))
105	104	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
106	12	ply1lmod 22204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
107	11, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ LMod)
108	107	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 ∈ LMod)
109		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
110	109	ad2antlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ 𝐵)
111	5, 6, 1, 10, 38	decpmatcl 22723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
112	39, 110, 52, 111	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
113	92	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑄) = 𝐴)
114	113	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Scalar‘𝑄) = 𝐴)
115	114	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘𝐴))
116	112, 115	eleqtrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
117		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
118	117	ad2antlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ 𝐵)
119	5, 6, 1, 10, 38	decpmatcl 22723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
120	39, 118, 52, 119	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
121	120, 115	eleqtrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
122		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
123	122, 2	mgpbas 20092	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
124	122	ringmgp 20186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
125	14, 124	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
126	125	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
127	19, 12, 2	vr1cl 22170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐿)
128	11, 127	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ 𝐿)
129	128	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐿)
130	123, 18, 126, 52, 129	mulgnn0cld 19037	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐿)
131		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
132		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘(Scalar‘𝑄))
133		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑄)) = (+g‘(Scalar‘𝑄))
134	2, 4, 131, 17, 132, 133	lmodvsdir 20849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ LMod ∧ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐿)) → (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
135	108, 116, 121, 130, 134	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
136	105, 135	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
137	136	mpteq2dva 5193	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
138	137	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
139		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
140		ringcmn 20229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ CMnd)
141	14, 140	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ CMnd)
142	141	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑄 ∈ CMnd)
143		nn0ex 12419	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
144	143	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ℕ0 ∈ V)
145	109	anim2i 618	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
146		df-3an 1089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
147	145, 146	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
148	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2	pm2mpghmlem1 22769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)
149	147, 148	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)
150	117	anim2i 618	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))
151		df-3an 1089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))
152	150, 151	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))
153	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2	pm2mpghmlem1 22769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)
154	152, 153	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)
155		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
156		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
157	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12	pm2mpghmlem2 22768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄))
158	147, 157	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄))
159	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12	pm2mpghmlem2 22768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄))
160	152, 159	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄))
161	2, 139, 4, 142, 144, 149, 154, 155, 156, 158, 160	gsummptfsadd 19865	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))(+g‘𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
162	138, 161	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))(+g‘𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
163		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
164		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
165	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20	pm2mpfval 22752	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎(+g‘𝐶)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
166	163, 164, 28, 165	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
167	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20	pm2mpfval 22752	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑎) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
168	163, 164, 95, 167	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑎) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
169	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20	pm2mpfval 22752	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑏) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
170	163, 164, 99, 169	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑏) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
171	168, 170	oveq12d 7386	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑇‘𝑎)(+g‘𝑄)(𝑇‘𝑏)) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))(+g‘𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
172	162, 166, 171	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)) = ((𝑇‘𝑎)(+g‘𝑄)(𝑇‘𝑏)))
173	1, 2, 3, 4, 9, 16, 21, 172	isghmd 19166	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370   ∘_f cof 7630  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9276  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  0_gc0g 17371   Σ_g cgsu 17372  Mndcmnd 18671  Grpcgrp 18875  ._gcmg 19009   GrpHom cghm 19153  CMndccmn 19721  mulGrpcmgp 20087  Ringcrg 20180  LModclmod 20823  var₁cv1 22128  Poly₁cpl1 22129  coe₁cco1 22130   Mat cmat 22363   decompPMat cdecpmat 22718   pMatToMatPoly cpm2mp 22748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-dsmm 21699  df-frlm 21714  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-coe1 22135  df-mamu 22347  df-mat 22364  df-decpmat 22719  df-pm2mp 22749

This theorem is referenced by:  pm2mpgrpiso  22773  pm2mprhm  22777  pm2mp  22781