MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mpghm 22181
Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 16-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpfo.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pm2mpfo.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pm2mpfo.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
pm2mpfo.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
pm2mpfo.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
pm2mpfo.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐ด)
pm2mpfo.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
pm2mpfo.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
pm2mpfo.l ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
pm2mpfo.t ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
Assertion
Ref Expression
pm2mpghm ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (๐ถ GrpHom ๐‘„))

Proof of Theorem pm2mpghm
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘Ž ๐‘ ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpfo.b . 2 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
2 pm2mpfo.l . 2 ๐ฟ = (Baseโ€˜๐‘„)
3 eqid 2733 . 2 (+gโ€˜๐ถ) = (+gโ€˜๐ถ)
4 eqid 2733 . 2 (+gโ€˜๐‘„) = (+gโ€˜๐‘„)
5 pm2mpfo.p . . . 4 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
6 pm2mpfo.c . . . 4 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
75, 6pmatring 22057 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ถ โˆˆ Ring)
8 ringgrp 19974 . . 3 (๐ถ โˆˆ Ring โ†’ ๐ถ โˆˆ Grp)
97, 8syl 17 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ถ โˆˆ Grp)
10 pm2mpfo.a . . . . 5 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
1110matring 21808 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
12 pm2mpfo.q . . . . 5 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
1312ply1ring 21635 . . . 4 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ Ring)
1411, 13syl 17 . . 3 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘„ โˆˆ Ring)
15 ringgrp 19974 . . 3 (๐‘„ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ Grp)
1614, 15syl 17 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘„ โˆˆ Grp)
17 pm2mpfo.m . . 3 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
18 pm2mpfo.e . . 3 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
19 pm2mpfo.x . . 3 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐ด)
20 pm2mpfo.t . . 3 ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
215, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20, 2pm2mpf 22163 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡:๐ตโŸถ๐ฟ)
22 ringmnd 19979 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ถ โˆˆ Ring โ†’ ๐ถ โˆˆ Mnd)
237, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ถ โˆˆ Mnd)
2423anim1i 616 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ถ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)))
25 3anass 1096 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ถ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐ถ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)))
2624, 25sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ถ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต))
271, 3mndcl 18569 . . . . . . . . . . 11 ((๐ถ โˆˆ Mnd โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘) โˆˆ ๐ต)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘) โˆˆ ๐ต)
296, 1decpmatval 22130 . . . . . . . . . 10 (((๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘) decompPMat ๐‘˜) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘)๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
3028, 29sylan 581 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘) decompPMat ๐‘˜) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘)๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
31 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
32 fvexd 6858 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆˆ V)
33 fvexd 6858 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆˆ V)
34 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
35 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
3631, 31, 32, 33, 34, 35offval22 8021 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜)) โˆ˜f (+gโ€˜๐‘…)(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜)(+gโ€˜๐‘…)((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))))
37 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
38 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
39 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
40 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
41 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
421eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
4342biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
4443ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
45 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
466, 45matecl 21790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘–๐‘Ž๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
4740, 41, 44, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–๐‘Ž๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
4847ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘Ž๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
4948adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘Ž๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
5049adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘Ž๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
51503impib 1117 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘Ž๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
52 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
53523ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
54 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—)) = (coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))
5554, 45, 5, 37coe1fvalcl 21599 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘–๐‘Ž๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5651, 53, 55syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5710, 37, 38, 31, 39, 56matbas2d 21788 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
58 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐‘)
59 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
601eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
6160biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
6261ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
636, 45matecl 21790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ)) โ†’ (๐‘–๐‘๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
6458, 59, 62, 63syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–๐‘๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
6564ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
6665adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
6766adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)))
68673impib 1117 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–๐‘๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
69 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—)) = (coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))
7069, 45, 5, 37coe1fvalcl 21599 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘–๐‘๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7168, 53, 70syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
7210, 37, 38, 31, 39, 71matbas2d 21788 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
73 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (+gโ€˜๐ด) = (+gโ€˜๐ด)
74 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
7510, 38, 73, 74matplusg2 21792 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜))(+gโ€˜๐ด)(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))) = ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜)) โˆ˜f (+gโ€˜๐‘…)(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))))
7657, 72, 75syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜))(+gโ€˜๐ด)(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))) = ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜)) โˆ˜f (+gโ€˜๐‘…)(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))))
77 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต))
7877anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)))
79783impb 1116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)))
80 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+gโ€˜๐‘ƒ) = (+gโ€˜๐‘ƒ)
816, 1, 3, 80matplusgcell 21798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘–(๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘)๐‘—) = ((๐‘–๐‘Ž๐‘—)(+gโ€˜๐‘ƒ)(๐‘–๐‘๐‘—)))
8279, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘–(๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘)๐‘—) = ((๐‘–๐‘Ž๐‘—)(+gโ€˜๐‘ƒ)(๐‘–๐‘๐‘—)))
8382fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (coe1โ€˜(๐‘–(๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘)๐‘—)) = (coe1โ€˜((๐‘–๐‘Ž๐‘—)(+gโ€˜๐‘ƒ)(๐‘–๐‘๐‘—))))
8483fveq1d 6845 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘)๐‘—))โ€˜๐‘˜) = ((coe1โ€˜((๐‘–๐‘Ž๐‘—)(+gโ€˜๐‘ƒ)(๐‘–๐‘๐‘—)))โ€˜๐‘˜))
85393ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
865, 45, 80, 74coe1addfv 21652 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘–๐‘Ž๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ) โˆง (๐‘–๐‘๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜((๐‘–๐‘Ž๐‘—)(+gโ€˜๐‘ƒ)(๐‘–๐‘๐‘—)))โ€˜๐‘˜) = (((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜)(+gโ€˜๐‘…)((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
8785, 51, 68, 53, 86syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜((๐‘–๐‘Ž๐‘—)(+gโ€˜๐‘ƒ)(๐‘–๐‘๐‘—)))โ€˜๐‘˜) = (((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜)(+gโ€˜๐‘…)((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
8884, 87eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘)๐‘—))โ€˜๐‘˜) = (((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜)(+gโ€˜๐‘…)((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
8988mpoeq3dva 7435 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘)๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜)(+gโ€˜๐‘…)((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))))
9036, 76, 893eqtr4rd 2784 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–(๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘)๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜))(+gโ€˜๐ด)(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))))
9112ply1sca 21640 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐ด = (Scalarโ€˜๐‘„))
9211, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด = (Scalarโ€˜๐‘„))
9392ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด = (Scalarโ€˜๐‘„))
9493fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (+gโ€˜๐ด) = (+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)))
95 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต)
966, 1decpmatval 22130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
9795, 96sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
9897eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (๐‘Ž decompPMat ๐‘˜))
99 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
1006, 1decpmatval 22130 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
10199, 100sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)))
102101eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜)) = (๐‘ decompPMat ๐‘˜))
10394, 98, 102oveq123d 7379 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘Ž๐‘—))โ€˜๐‘˜))(+gโ€˜๐ด)(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((coe1โ€˜(๐‘–๐‘๐‘—))โ€˜๐‘˜))) = ((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜)(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„))(๐‘ decompPMat ๐‘˜)))
10430, 90, 1033eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘) decompPMat ๐‘˜) = ((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜)(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„))(๐‘ decompPMat ๐‘˜)))
105104oveq1d 7373 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘) decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)) = (((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜)(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„))(๐‘ decompPMat ๐‘˜)) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))
10612ply1lmod 21639 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ LMod)
10711, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘„ โˆˆ LMod)
108107ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘„ โˆˆ LMod)
109 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต)
110109ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต)
1115, 6, 1, 10, 38decpmatcl 22132 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
11239, 110, 52, 111syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
11392eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (Scalarโ€˜๐‘„) = ๐ด)
114113ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (Scalarโ€˜๐‘„) = ๐ด)
115114fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)) = (Baseโ€˜๐ด))
116112, 115eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)))
117 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
118117ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
1195, 6, 1, 10, 38decpmatcl 22132 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
12039, 118, 52, 119syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
121120, 115eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)))
122 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (mulGrpโ€˜๐‘„) = (mulGrpโ€˜๐‘„)
123122, 2mgpbas 19907 . . . . . . . . 9 ๐ฟ = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
124122ringmgp 19975 . . . . . . . . . . 11 (๐‘„ โˆˆ Ring โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘„) โˆˆ Mnd)
12514, 124syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘„) โˆˆ Mnd)
126125ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (mulGrpโ€˜๐‘„) โˆˆ Mnd)
12719, 12, 2vr1cl 21604 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ฟ)
12811, 127syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ฟ)
129128ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ฟ)
130123, 18, 126, 52, 129mulgnn0cld 18902 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ ๐ฟ)
131 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Scalarโ€˜๐‘„) = (Scalarโ€˜๐‘„)
132 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„))
133 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)) = (+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„))
1342, 4, 131, 17, 132, 133lmodvsdir 20361 . . . . . . . 8 ((๐‘„ โˆˆ LMod โˆง ((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)) โˆง (๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)) โˆง (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ ๐ฟ)) โ†’ (((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜)(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„))(๐‘ decompPMat ๐‘˜)) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)) = (((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))(+gโ€˜๐‘„)((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))
135108, 116, 121, 130, 134syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜)(+gโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„))(๐‘ decompPMat ๐‘˜)) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)) = (((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))(+gโ€˜๐‘„)((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))
136105, 135eqtrd 2773 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘) decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)) = (((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))(+gโ€˜๐‘„)((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))
137136mpteq2dva 5206 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘) decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))(+gโ€˜๐‘„)((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
138137oveq2d 7374 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘) decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))(+gโ€˜๐‘„)((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))))
139 eqid 2733 . . . . 5 (0gโ€˜๐‘„) = (0gโ€˜๐‘„)
140 ringcmn 20008 . . . . . . 7 (๐‘„ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
14114, 140syl 17 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
142141adantr 482 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
143 nn0ex 12424 . . . . . 6 โ„•0 โˆˆ V
144143a1i 11 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
145109anim2i 618 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต))
146 df-3an 1090 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†” ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต))
147145, 146sylibr 233 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต))
1485, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2pm2mpghmlem1 22178 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ ๐ฟ)
149147, 148sylan 581 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ ๐ฟ)
150117anim2i 618 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต))
151 df-3an 1090 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†” ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต))
152150, 151sylibr 233 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต))
1535, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2pm2mpghmlem1 22178 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ ๐ฟ)
154152, 153sylan 581 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ ๐ฟ)
155 eqidd 2734 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))
156 eqidd 2734 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))
1575, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12pm2mpghmlem2 22177 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
158147, 157syl 17 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
1595, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12pm2mpghmlem2 22177 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
160152, 159syl 17 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
1612, 139, 4, 142, 144, 149, 154, 155, 156, 158, 160gsummptfsadd 19706 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))(+gโ€˜๐‘„)((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))(+gโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))))
162138, 161eqtrd 2773 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘) decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))(+gโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))))
163 simpll 766 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
164 simplr 768 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1655, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20pm2mpfval 22161 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘)) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘) decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
166163, 164, 28, 165syl3anc 1372 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘)) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘) decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
1675, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20pm2mpfval 22161 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘Ž) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
168163, 164, 95, 167syl3anc 1372 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘Ž) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
1695, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20pm2mpfval 22161 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
170163, 164, 99, 169syl3anc 1372 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹)))))
171168, 170oveq12d 7376 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘„)(๐‘‡โ€˜๐‘)) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘Ž decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))(+gโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ decompPMat ๐‘˜) โˆ— (๐‘˜ โ†‘ ๐‘‹))))))
172162, 166, 1713eqtr4d 2783 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘Ž(+gโ€˜๐ถ)๐‘)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘Ž)(+gโ€˜๐‘„)(๐‘‡โ€˜๐‘)))
1731, 2, 3, 4, 9, 16, 21, 172isghmd 19022 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (๐ถ GrpHom ๐‘„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3444   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โˆˆ cmpo 7360   โˆ˜f cof 7616  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9308  โ„•0cn0 12418  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Scalarcsca 17141   ยท๐‘  cvsca 17142  0gc0g 17326   ฮฃg cgsu 17327  Mndcmnd 18561  Grpcgrp 18753  .gcmg 18877   GrpHom cghm 19010  CMndccmn 19567  mulGrpcmgp 19901  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565   Mat cmat 21770   decompPMat cdecpmat 22127   pMatToMatPoly cpm2mp 22157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570  df-mamu 21749  df-mat 21771  df-decpmat 22128  df-pm2mp 22158
This theorem is referenced by:  pm2mpgrpiso  22182  pm2mprhm  22186  pm2mp  22190
  Copyright terms: Public domain W3C validator