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Theorem pm2mpghm 21419
Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 16-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpfo.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pm2mpfo.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpfo.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpfo.m = ( ·𝑠𝑄)
pm2mpfo.e = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpfo.x 𝑋 = (var1𝐴)
pm2mpfo.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpfo.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
pm2mpfo.l 𝐿 = (Base‘𝑄)
pm2mpfo.t 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
Assertion
Ref Expression
pm2mpghm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))

Proof of Theorem pm2mpghm
Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑏 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpfo.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 pm2mpfo.l . 2 𝐿 = (Base‘𝑄)
3 eqid 2822 . 2 (+g𝐶) = (+g𝐶)
4 eqid 2822 . 2 (+g𝑄) = (+g𝑄)
5 pm2mpfo.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 pm2mpfo.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
75, 6pmatring 21295 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
8 ringgrp 19293 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
97, 8syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
10 pm2mpfo.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1110matring 21046 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
12 pm2mpfo.q . . . . 5 𝑄 = (Poly1𝐴)
1312ply1ring 20875 . . . 4 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
1411, 13syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
15 ringgrp 19293 . . 3 (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Grp)
1614, 15syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Grp)
17 pm2mpfo.m . . 3 = ( ·𝑠𝑄)
18 pm2mpfo.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
19 pm2mpfo.x . . 3 𝑋 = (var1𝐴)
20 pm2mpfo.t . . 3 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
215, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20, 2pm2mpf 21401 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝐿)
22 ringmnd 19298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Mnd)
237, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Mnd)
2423anim1i 617 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐶 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
25 3anass 1092 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ (𝐶 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
2624, 25sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵))
271, 3mndcl 17910 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
296, 1decpmatval 21368 . . . . . . . . . 10 (((𝑎(+g𝐶)𝑏) ∈ 𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)))
3028, 29sylan 583 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)))
31 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
32 fvexd 6667 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ V)
33 fvexd 6667 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ V)
34 eqidd 2823 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
35 eqidd 2823 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
3631, 31, 32, 33, 34, 35offval22 7770 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘f (+g𝑅)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
37 eqid 2822 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38 eqid 2822 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
39 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
40 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
41 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
421eleq2i 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎𝐵𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
4342biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎𝐵𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
4443ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
45 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
466, 45matecl 21028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝑁𝑗𝑁𝑎 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
4740, 41, 44, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
4847ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
4948adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
5049adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
51503impib 1113 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
52 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
53523ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (coe1‘(𝑖𝑎𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑎𝑗))
5554, 45, 5, 37coe1fvalcl 20839 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
5651, 53, 55syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
5710, 37, 38, 31, 39, 56matbas2d 21026 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴))
58 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
59 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
601eleq2i 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏𝐵𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
6160biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏𝐵𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
6261ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
636, 45matecl 21028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝑁𝑗𝑁𝑏 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
6458, 59, 62, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
6564ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
6665adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
6766adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
68673impib 1113 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
69 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (coe1‘(𝑖𝑏𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑏𝑗))
7069, 45, 5, 37coe1fvalcl 20839 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
7168, 53, 70syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
7210, 37, 38, 31, 39, 71matbas2d 21026 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴))
73 eqid 2822 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐴) = (+g𝐴)
74 eqid 2822 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑅) = (+g𝑅)
7510, 38, 73, 74matplusg2 21030 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘f (+g𝑅)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
7657, 72, 75syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘f (+g𝑅)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
77 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎𝐵𝑏𝐵))
7877anim1i 617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
79783impb 1112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
80 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g𝑃) = (+g𝑃)
816, 1, 3, 80matplusgcell 21036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗) = ((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))
8279, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗) = ((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))
8382fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗)) = (coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗))))
8483fveq1d 6654 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘) = ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘))
85393ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
865, 45, 80, 74coe1addfv 20892 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
8785, 51, 68, 53, 86syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
8884, 87eqtrd 2857 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
8988mpoeq3dva 7215 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
9036, 76, 893eqtr4rd 2868 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
9112ply1sca 20880 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
9211, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
9392ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
9493fveq2d 6656 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (+g𝐴) = (+g‘(Scalar‘𝑄)))
95 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
966, 1decpmatval 21368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
9795, 96sylan 583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
9897eqcomd 2828 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) = (𝑎 decompPMat 𝑘))
99 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
1006, 1decpmatval 21368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
10199, 100sylan 583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
102101eqcomd 2828 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) = (𝑏 decompPMat 𝑘))
10394, 98, 102oveq123d 7161 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)))
10430, 90, 1033eqtrd 2861 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = ((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)))
105104oveq1d 7155 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) (𝑘 𝑋)))
10612ply1lmod 20879 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
10711, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ LMod)
108107ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 ∈ LMod)
109 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → 𝑎𝐵)
110109ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑎𝐵)
1115, 6, 1, 10, 38decpmatcl 21370 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
11239, 110, 52, 111syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
11392eqcomd 2828 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑄) = 𝐴)
114113ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Scalar‘𝑄) = 𝐴)
115114fveq2d 6656 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘𝐴))
116112, 115eleqtrrd 2917 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
117 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
118117ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏𝐵)
1195, 6, 1, 10, 38decpmatcl 21370 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
12039, 118, 52, 119syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
121120, 115eleqtrrd 2917 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
122 eqid 2822 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
123122ringmgp 19294 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
12414, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
125124ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
12619, 12, 2vr1cl 20844 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ring → 𝑋𝐿)
12711, 126syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋𝐿)
128127ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐿)
129122, 2mgpbas 19236 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
130129, 18mulgnn0cl 18235 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑋𝐿) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐿)
131125, 52, 128, 130syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐿)
132 eqid 2822 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
133 eqid 2822 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘(Scalar‘𝑄))
134 eqid 2822 . . . . . . . . 9 (+g‘(Scalar‘𝑄)) = (+g‘(Scalar‘𝑄))
1352, 4, 132, 17, 133, 134lmodvsdir 19649 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ LMod ∧ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ (𝑘 𝑋) ∈ 𝐿)) → (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) (𝑘 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))
136108, 116, 121, 131, 135syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) (𝑘 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))
137105, 136eqtrd 2857 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))
138137mpteq2dva 5137 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
139138oveq2d 7156 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))))
140 eqid 2822 . . . . 5 (0g𝑄) = (0g𝑄)
141 ringcmn 19325 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ CMnd)
14214, 141syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ CMnd)
143142adantr 484 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑄 ∈ CMnd)
144 nn0ex 11891 . . . . . 6 0 ∈ V
145144a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ℕ0 ∈ V)
146109anim2i 619 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵))
147 df-3an 1086 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵))
148146, 147sylibr 237 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵))
1495, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2pm2mpghmlem1 21416 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐿)
150148, 149sylan 583 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐿)
151117anim2i 619 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵))
152 df-3an 1086 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵))
153151, 152sylibr 237 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵))
1545, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2pm2mpghmlem1 21416 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐿)
155153, 154sylan 583 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐿)
156 eqidd 2823 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))
157 eqidd 2823 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))
1585, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12pm2mpghmlem2 21415 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑄))
159148, 158syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑄))
1605, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12pm2mpghmlem2 21415 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑄))
161153, 160syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑄))
1622, 140, 4, 143, 145, 150, 155, 156, 157, 159, 161gsummptfsadd 19035 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))(+g𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))))
163139, 162eqtrd 2857 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))(+g𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))))
164 simpll 766 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
165 simplr 768 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
1665, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20pm2mpfval 21399 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎(+g𝐶)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑎(+g𝐶)𝑏)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
167164, 165, 28, 166syl3anc 1368 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑇‘(𝑎(+g𝐶)𝑏)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
1685, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20pm2mpfval 21399 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑇𝑎) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
169164, 165, 95, 168syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑇𝑎) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
1705, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20pm2mpfval 21399 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵) → (𝑇𝑏) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
171164, 165, 99, 170syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑇𝑏) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
172169, 171oveq12d 7158 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑇𝑎)(+g𝑄)(𝑇𝑏)) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))(+g𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))))
173163, 167, 1723eqtr4d 2867 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑇‘(𝑎(+g𝐶)𝑏)) = ((𝑇𝑎)(+g𝑄)(𝑇𝑏)))
1741, 2, 3, 4, 9, 16, 21, 173isghmd 18358 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  Vcvv 3469   class class class wbr 5042  cmpt 5122  cfv 6334  (class class class)co 7140  cmpo 7142  f cof 7392  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821  0cn0 11885  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  0gc0g 16704   Σg cgsu 16705  Mndcmnd 17902  Grpcgrp 18094  .gcmg 18215   GrpHom cghm 18346  CMndccmn 18897  mulGrpcmgp 19230  Ringcrg 19288  LModclmod 19625  var1cv1 20803  Poly1cpl1 20804  coe1cco1 20805   Mat cmat 21010   decompPMat cdecpmat 21365   pMatToMatPoly cpm2mp 21395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-ot 4548  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-ofr 7395  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-prds 16712  df-pws 16714  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-mulg 18216  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-subrg 19524  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-dsmm 20419  df-frlm 20434  df-psr 20592  df-mvr 20593  df-mpl 20594  df-opsr 20596  df-psr1 20807  df-vr1 20808  df-ply1 20809  df-coe1 20810  df-mamu 20989  df-mat 21011  df-decpmat 21366  df-pm2mp 21396
This theorem is referenced by:  pm2mpgrpiso  21420  pm2mprhm  21424  pm2mp  21428
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