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Theorem pm2mpghm 22165
Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 16-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpfo.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pm2mpfo.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpfo.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpfo.m = ( ·𝑠𝑄)
pm2mpfo.e = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpfo.x 𝑋 = (var1𝐴)
pm2mpfo.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpfo.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
pm2mpfo.l 𝐿 = (Base‘𝑄)
pm2mpfo.t 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
Assertion
Ref Expression
pm2mpghm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))

Proof of Theorem pm2mpghm
Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑏 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpfo.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 pm2mpfo.l . 2 𝐿 = (Base‘𝑄)
3 eqid 2736 . 2 (+g𝐶) = (+g𝐶)
4 eqid 2736 . 2 (+g𝑄) = (+g𝑄)
5 pm2mpfo.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 pm2mpfo.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
75, 6pmatring 22041 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
8 ringgrp 19969 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
97, 8syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
10 pm2mpfo.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1110matring 21792 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
12 pm2mpfo.q . . . . 5 𝑄 = (Poly1𝐴)
1312ply1ring 21619 . . . 4 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
1411, 13syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
15 ringgrp 19969 . . 3 (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Grp)
1614, 15syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Grp)
17 pm2mpfo.m . . 3 = ( ·𝑠𝑄)
18 pm2mpfo.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
19 pm2mpfo.x . . 3 𝑋 = (var1𝐴)
20 pm2mpfo.t . . 3 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
215, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20, 2pm2mpf 22147 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝐿)
22 ringmnd 19974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Mnd)
237, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Mnd)
2423anim1i 615 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐶 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
25 3anass 1095 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ (𝐶 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
2624, 25sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵))
271, 3mndcl 18564 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
296, 1decpmatval 22114 . . . . . . . . . 10 (((𝑎(+g𝐶)𝑏) ∈ 𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)))
3028, 29sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)))
31 simplll 773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
32 fvexd 6857 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ V)
33 fvexd 6857 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ V)
34 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
35 eqidd 2737 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
3631, 31, 32, 33, 34, 35offval22 8020 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘f (+g𝑅)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
37 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
39 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
40 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
41 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
421eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎𝐵𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
4342biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎𝐵𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
4443ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
45 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
466, 45matecl 21774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝑁𝑗𝑁𝑎 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
4740, 41, 44, 46syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
4847ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
4948adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
51503impib 1116 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
52 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
53523ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (coe1‘(𝑖𝑎𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑎𝑗))
5554, 45, 5, 37coe1fvalcl 21583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
5651, 53, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
5710, 37, 38, 31, 39, 56matbas2d 21772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴))
58 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
59 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
601eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏𝐵𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
6160biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏𝐵𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
6261ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
636, 45matecl 21774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝑁𝑗𝑁𝑏 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
6458, 59, 62, 63syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
6564ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
6665adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
68673impib 1116 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
69 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (coe1‘(𝑖𝑏𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑏𝑗))
7069, 45, 5, 37coe1fvalcl 21583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
7168, 53, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
7210, 37, 38, 31, 39, 71matbas2d 21772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴))
73 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐴) = (+g𝐴)
74 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑅) = (+g𝑅)
7510, 38, 73, 74matplusg2 21776 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘f (+g𝑅)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
7657, 72, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘f (+g𝑅)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
77 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎𝐵𝑏𝐵))
7877anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
79783impb 1115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
80 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g𝑃) = (+g𝑃)
816, 1, 3, 80matplusgcell 21782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗) = ((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))
8279, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗) = ((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))
8382fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗)) = (coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗))))
8483fveq1d 6844 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘) = ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘))
85393ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
865, 45, 80, 74coe1addfv 21636 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
8785, 51, 68, 53, 86syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
8884, 87eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
8988mpoeq3dva 7434 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
9036, 76, 893eqtr4rd 2787 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
9112ply1sca 21624 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
9211, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
9392ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
9493fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (+g𝐴) = (+g‘(Scalar‘𝑄)))
95 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
966, 1decpmatval 22114 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
9795, 96sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
9897eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) = (𝑎 decompPMat 𝑘))
99 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
1006, 1decpmatval 22114 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
10199, 100sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
102101eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) = (𝑏 decompPMat 𝑘))
10394, 98, 102oveq123d 7378 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)))
10430, 90, 1033eqtrd 2780 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = ((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)))
105104oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) (𝑘 𝑋)))
10612ply1lmod 21623 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
10711, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ LMod)
108107ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 ∈ LMod)
109 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → 𝑎𝐵)
110109ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑎𝐵)
1115, 6, 1, 10, 38decpmatcl 22116 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
11239, 110, 52, 111syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
11392eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑄) = 𝐴)
114113ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Scalar‘𝑄) = 𝐴)
115114fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘𝐴))
116112, 115eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
117 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
118117ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏𝐵)
1195, 6, 1, 10, 38decpmatcl 22116 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
12039, 118, 52, 119syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
121120, 115eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
122 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
123122, 2mgpbas 19902 . . . . . . . . 9 𝐿 = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
124122ringmgp 19970 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
12514, 124syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
126125ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
12719, 12, 2vr1cl 21588 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ring → 𝑋𝐿)
12811, 127syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋𝐿)
129128ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐿)
130123, 18, 126, 52, 129mulgnn0cld 18897 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐿)
131 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
132 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘(Scalar‘𝑄))
133 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (+g‘(Scalar‘𝑄)) = (+g‘(Scalar‘𝑄))
1342, 4, 131, 17, 132, 133lmodvsdir 20346 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ LMod ∧ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ (𝑘 𝑋) ∈ 𝐿)) → (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) (𝑘 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))
135108, 116, 121, 130, 134syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) (𝑘 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))
136105, 135eqtrd 2776 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))
137136mpteq2dva 5205 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
138137oveq2d 7373 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))))
139 eqid 2736 . . . . 5 (0g𝑄) = (0g𝑄)
140 ringcmn 20003 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ CMnd)
14114, 140syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ CMnd)
142141adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑄 ∈ CMnd)
143 nn0ex 12419 . . . . . 6 0 ∈ V
144143a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ℕ0 ∈ V)
145109anim2i 617 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵))
146 df-3an 1089 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵))
147145, 146sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵))
1485, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2pm2mpghmlem1 22162 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐿)
149147, 148sylan 580 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐿)
150117anim2i 617 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵))
151 df-3an 1089 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵))
152150, 151sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵))
1535, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2pm2mpghmlem1 22162 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐿)
154152, 153sylan 580 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐿)
155 eqidd 2737 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))
156 eqidd 2737 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))
1575, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12pm2mpghmlem2 22161 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑄))
158147, 157syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑄))
1595, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12pm2mpghmlem2 22161 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑄))
160152, 159syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑄))
1612, 139, 4, 142, 144, 149, 154, 155, 156, 158, 160gsummptfsadd 19701 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))(+g𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))))
162138, 161eqtrd 2776 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))(+g𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))))
163 simpll 765 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
164 simplr 767 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
1655, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20pm2mpfval 22145 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎(+g𝐶)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑎(+g𝐶)𝑏)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
166163, 164, 28, 165syl3anc 1371 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑇‘(𝑎(+g𝐶)𝑏)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
1675, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20pm2mpfval 22145 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑇𝑎) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
168163, 164, 95, 167syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑇𝑎) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
1695, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20pm2mpfval 22145 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵) → (𝑇𝑏) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
170163, 164, 99, 169syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑇𝑏) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
171168, 170oveq12d 7375 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑇𝑎)(+g𝑄)(𝑇𝑏)) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))(+g𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))))
172162, 166, 1713eqtr4d 2786 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑇‘(𝑎(+g𝐶)𝑏)) = ((𝑇𝑎)(+g𝑄)(𝑇𝑏)))
1731, 2, 3, 4, 9, 16, 21, 172isghmd 19017 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  f cof 7615  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  0cn0 12413  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  Grpcgrp 18748  .gcmg 18872   GrpHom cghm 19005  CMndccmn 19562  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  LModclmod 20322  var1cv1 21547  Poly1cpl1 21548  coe1cco1 21549   Mat cmat 21754   decompPMat cdecpmat 22111   pMatToMatPoly cpm2mp 22141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-coe1 21554  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-decpmat 22112  df-pm2mp 22142
This theorem is referenced by:  pm2mpgrpiso  22166  pm2mprhm  22170  pm2mp  22174
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