Theorem pm2mpghm 22941

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 16-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpfo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpfo.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpfo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpfo.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpfo.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpfo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpfo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpfo.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpfo.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
pm2mpfo.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpghm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))

Proof of Theorem pm2mpghm

Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑏 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpfo.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		pm2mpfo.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
3		eqid 2769	. 2 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
4		eqid 2769	. 2 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
5		pm2mpfo.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		pm2mpfo.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
7	5, 6	pmatring 22817	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
8		ringgrp 20319	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
10		pm2mpfo.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
11	10	matring 22568	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
12		pm2mpfo.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
13	12	ply1ring 22375	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
14	11, 13	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
15		ringgrp 20319	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Grp)
17		pm2mpfo.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
18		pm2mpfo.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
19		pm2mpfo.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
20		pm2mpfo.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
21	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20, 2	pm2mpf 22923	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐿)
22		ringmnd 20324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Mnd)
23	7, 22	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Mnd)
24	23	anim1i 626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
25		3anass 1109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
26	24, 25	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))
27	1, 3	mndcl 18799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
29	6, 1	decpmatval 22890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)))
30	28, 29	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)))
31		simplll 786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
32		fvexd 6897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ V)
33		fvexd 6897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ V)
34		eqidd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
35		eqidd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
36	31, 31, 32, 33, 34, 35	offval22 8082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g‘𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
37		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
39		simpllr 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
40		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
41		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
42	1	eleq2i 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
43	42	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
44	43	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
45		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
46	6, 45	matecl 22550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
47	40, 41, 44, 46	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
48	47	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
49	48	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
50	49	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
51	50	3impib 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
52		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
53	52	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑎𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑎𝑗))
55	54, 45, 5, 37	coe1fvalcl 22340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
56	51, 53, 55	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
57	10, 37, 38, 31, 39, 56	matbas2d 22548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴))
58		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
59		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
60	1	eleq2i 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
61	60	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
62	61	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
63	6, 45	matecl 22550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
64	58, 59, 62, 63	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
65	64	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
66	65	adantrl 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
67	66	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
68	67	3impib 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
69		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑏𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑏𝑗))
70	69, 45, 5, 37	coe1fvalcl 22340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
71	68, 53, 70	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
72	10, 37, 38, 31, 39, 71	matbas2d 22548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴))
73		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴)
74		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
75	10, 38, 73, 74	matplusg2 22552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g‘𝐴)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
76	57, 72, 75	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g‘𝐴)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
77		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))
78	77	anim1i 626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
79	78	3impb 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
80		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
81	6, 1, 3, 80	matplusgcell 22558	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗) = ((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))
82	79, 81	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗) = ((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))
83	82	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗)) = (coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗))))
84	83	fveq1d 6884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘) = ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘))
85	39	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
86	5, 45, 80, 74	coe1addfv 22394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g‘𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
87	85, 51, 68, 53, 86	syl31anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g‘𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
88	84, 87	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g‘𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
89	88	mpoeq3dva 7488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g‘𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
90	36, 76, 89	3eqtr4rd 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g‘𝐴)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
91	12	ply1sca 22380	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
92	11, 91	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
93	92	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
94	93	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (+g‘𝐴) = (+g‘(Scalar‘𝑄)))
95		simprl 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
96	6, 1	decpmatval 22890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
97	95, 96	sylan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
98	97	eqcomd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) = (𝑎 decompPMat 𝑘))
99		simprr 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
100	6, 1	decpmatval 22890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
101	99, 100	sylan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
102	101	eqcomd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) = (𝑏 decompPMat 𝑘))
103	94, 98, 102	oveq123d 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g‘𝐴)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)))
104	30, 90, 103	3eqtrd 2808	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = ((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)))
105	104	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
106	12	ply1lmod 22379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
107	11, 106	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ LMod)
108	107	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 ∈ LMod)
109		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
110	109	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ 𝐵)
111	5, 6, 1, 10, 38	decpmatcl 22892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
112	39, 110, 52, 111	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
113	92	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑄) = 𝐴)
114	113	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Scalar‘𝑄) = 𝐴)
115	114	fveq2d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘𝐴))
116	112, 115	eleqtrrd 2872	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
117		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
118	117	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ 𝐵)
119	5, 6, 1, 10, 38	decpmatcl 22892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
120	39, 118, 52, 119	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
121	120, 115	eleqtrrd 2872	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
122		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
123	122, 2	mgpbas 20220	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
124	122	ringmgp 20320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
125	14, 124	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
126	125	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
127	19, 12, 2	vr1cl 22345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐿)
128	11, 127	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ 𝐿)
129	128	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐿)
130	123, 18, 126, 52, 129	mulgnn0cld 19160	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐿)
131		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
132		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘(Scalar‘𝑄))
133		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑄)) = (+g‘(Scalar‘𝑄))
134	2, 4, 131, 17, 132, 133	lmodvsdir 20984	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ LMod ∧ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐿)) → (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
135	108, 116, 121, 130, 134	syl13anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
136	105, 135	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
137	136	mpteq2dva 5208	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
138	137	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
139		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
140		ringcmn 20364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ CMnd)
141	14, 140	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ CMnd)
142	141	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑄 ∈ CMnd)
143		nn0ex 12509	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
144	143	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ℕ0 ∈ V)
145	109	anim2i 628	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
146		df-3an 1103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
147	145, 146	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
148	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2	pm2mpghmlem1 22938	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)
149	147, 148	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)
150	117	anim2i 628	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))
151		df-3an 1103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))
152	150, 151	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))
153	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2	pm2mpghmlem1 22938	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)
154	152, 153	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)
155		eqidd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
156		eqidd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
157	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12	pm2mpghmlem2 22937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄))
158	147, 157	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄))
159	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12	pm2mpghmlem2 22937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄))
160	152, 159	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄))
161	2, 139, 4, 142, 144, 149, 154, 155, 156, 158, 160	gsummptfsadd 19993	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))(+g‘𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
162	138, 161	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))(+g‘𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
163		simpll 778	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
164		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
165	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20	pm2mpfval 22921	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎(+g‘𝐶)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
166	163, 164, 28, 165	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
167	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20	pm2mpfval 22921	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑎) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
168	163, 164, 95, 167	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑎) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
169	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20	pm2mpfval 22921	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑏) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
170	163, 164, 99, 169	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑏) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
171	168, 170	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑇‘𝑎)(+g‘𝑄)(𝑇‘𝑏)) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))(+g‘𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
172	162, 166, 171	3eqtr4d 2814	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)) = ((𝑇‘𝑎)(+g‘𝑄)(𝑇‘𝑏)))
173	1, 2, 3, 4, 9, 16, 21, 172	isghmd 19294	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ∘_f cof 7673  Fincfn 8942   finSupp cfsupp 9320  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313  0_gc0g 17491   Σ_g cgsu 17492  Mndcmnd 18791  Grpcgrp 18999  ._gcmg 19132   GrpHom cghm 19282  CMndccmn 19849  mulGrpcmgp 20215  Ringcrg 20314  LModclmod 20958  var₁cv1 22304  Poly₁cpl1 22305  coe₁cco1 22306   Mat cmat 22532   decompPMat cdecpmat 22887   pMatToMatPoly cpm2mp 22917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-sra 21271  df-rgmod 21272  df-dsmm 21850  df-frlm 21865  df-psr 22027  df-mvr 22028  df-mpl 22029  df-opsr 22031  df-psr1 22308  df-vr1 22309  df-ply1 22310  df-coe1 22311  df-mamu 22516  df-mat 22533  df-decpmat 22888  df-pm2mp 22918

This theorem is referenced by:  pm2mpgrpiso  22942  pm2mprhm  22946  pm2mp  22950