Theorem pm2mpghm 22799

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 16-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpfo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpfo.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpfo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpfo.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpfo.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpfo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpfo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpfo.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpfo.l	⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
pm2mpfo.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpghm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))

Proof of Theorem pm2mpghm

Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑏 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpfo.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		pm2mpfo.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (Base‘𝑄)
3		eqid 2739	. 2 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
4		eqid 2739	. 2 ⊢ (+g‘𝑄) = (+g‘𝑄)
5		pm2mpfo.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		pm2mpfo.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
7	5, 6	pmatring 22675	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
8		ringgrp 20210	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
10		pm2mpfo.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
11	10	matring 22426	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
12		pm2mpfo.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
13	12	ply1ring 22232	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
14	11, 13	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
15		ringgrp 20210	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Grp)
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Grp)
17		pm2mpfo.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
18		pm2mpfo.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
19		pm2mpfo.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
20		pm2mpfo.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
21	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20, 2	pm2mpf 22781	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐿)
22		ringmnd 20215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Mnd)
23	7, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Mnd)
24	23	anim1i 621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
25		3anass 1100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)))
26	24, 25	sylibr 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))
27	1, 3	mndcl 18701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
29	6, 1	decpmatval 22748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)))
30	28, 29	sylan 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)))
31		simplll 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
32		fvexd 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ V)
33		fvexd 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ V)
34		eqidd 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
35		eqidd 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
36	31, 31, 32, 33, 34, 35	offval22 8027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g‘𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
37		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
39		simpllr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
40		simprl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
41		simprr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
42	1	eleq2i 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 ↔ 𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
43	42	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐵 → 𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
44	43	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
45		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
46	6, 45	matecl 22408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
47	40, 41, 44, 46	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
48	47	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
49	48	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
51	50	3impib 1122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
52		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
53	52	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑎𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑎𝑗))
55	54, 45, 5, 37	coe1fvalcl 22197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
56	51, 53, 55	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
57	10, 37, 38, 31, 39, 56	matbas2d 22406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴))
58		simprl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑖 ∈ 𝑁)
59		simprr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑗 ∈ 𝑁)
60	1	eleq2i 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
61	60	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
62	61	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
63	6, 45	matecl 22408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
64	58, 59, 62, 63	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
65	64	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
66	65	adantrl 722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
68	67	3impib 1122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
69		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (coe1‘(𝑖𝑏𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑏𝑗))
70	69, 45, 5, 37	coe1fvalcl 22197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
71	68, 53, 70	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
72	10, 37, 38, 31, 39, 71	matbas2d 22406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴))
73		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐴) = (+g‘𝐴)
74		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
75	10, 38, 73, 74	matplusg2 22410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g‘𝐴)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
76	57, 72, 75	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g‘𝐴)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘f (+g‘𝑅)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
77		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))
78	77	anim1i 621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
79	78	3impb 1120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
80		eqid 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
81	6, 1, 3, 80	matplusgcell 22416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗) = ((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))
82	79, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗) = ((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))
83	82	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗)) = (coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗))))
84	83	fveq1d 6829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘) = ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘))
85	39	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
86	5, 45, 80, 74	coe1addfv 22251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g‘𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
87	85, 51, 68, 53, 86	syl31anc 1381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g‘𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g‘𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
88	84, 87	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g‘𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
89	88	mpoeq3dva 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g‘𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
90	36, 76, 89	3eqtr4rd 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)) = ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g‘𝐴)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
91	12	ply1sca 22237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
92	11, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
93	92	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
94	93	fveq2d 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (+g‘𝐴) = (+g‘(Scalar‘𝑄)))
95		simprl 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
96	6, 1	decpmatval 22748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
97	95, 96	sylan 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
98	97	eqcomd 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) = (𝑎 decompPMat 𝑘))
99		simprr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑏 ∈ 𝐵)
100	6, 1	decpmatval 22748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
101	99, 100	sylan 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
102	101	eqcomd 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) = (𝑏 decompPMat 𝑘))
103	94, 98, 102	oveq123d 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g‘𝐴)(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)))
104	30, 90, 103	3eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = ((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)))
105	104	oveq1d 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))
106	12	ply1lmod 22236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
107	11, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ LMod)
108	107	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 ∈ LMod)
109		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑎 ∈ 𝐵)
110	109	ad2antlr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ 𝐵)
111	5, 6, 1, 10, 38	decpmatcl 22750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
112	39, 110, 52, 111	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
113	92	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑄) = 𝐴)
114	113	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Scalar‘𝑄) = 𝐴)
115	114	fveq2d 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘𝐴))
116	112, 115	eleqtrrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
117		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ 𝐵)
118	117	ad2antlr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ 𝐵)
119	5, 6, 1, 10, 38	decpmatcl 22750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
120	39, 118, 52, 119	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
121	120, 115	eleqtrrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
122		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
123	122, 2	mgpbas 20117	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
124	122	ringmgp 20211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
125	14, 124	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
126	125	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
127	19, 12, 2	vr1cl 22202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐿)
128	11, 127	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋 ∈ 𝐿)
129	128	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐿)
130	123, 18, 126, 52, 129	mulgnn0cld 19062	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐿)
131		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
132		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘(Scalar‘𝑄))
133		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑄)) = (+g‘(Scalar‘𝑄))
134	2, 4, 131, 17, 132, 133	lmodvsdir 20876	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ LMod ∧ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐿)) → (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
135	108, 116, 121, 130, 134	syl13anc 1380	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
136	105, 135	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
137	136	mpteq2dva 5165	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
138	137	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
139		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
140		ringcmn 20254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ CMnd)
141	14, 140	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ CMnd)
142	141	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑄 ∈ CMnd)
143		nn0ex 12434	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
144	143	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ℕ0 ∈ V)
145	109	anim2i 623	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
146		df-3an 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
147	145, 146	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵))
148	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2	pm2mpghmlem1 22796	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)
149	147, 148	sylan 586	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)
150	117	anim2i 623	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))
151		df-3an 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))
152	150, 151	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵))
153	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2	pm2mpghmlem1 22796	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)
154	152, 153	sylan 586	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐿)
155		eqidd 2740	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
156		eqidd 2740	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))
157	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12	pm2mpghmlem2 22795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄))
158	147, 157	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄))
159	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12	pm2mpghmlem2 22795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄))
160	152, 159	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄))
161	2, 139, 4, 142, 144, 149, 154, 155, 156, 158, 160	gsummptfsadd 19890	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))(+g‘𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))(+g‘𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
162	138, 161	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))(+g‘𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
163		simpll 772	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
164		simplr 774	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
165	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20	pm2mpfval 22779	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎(+g‘𝐶)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
166	163, 164, 28, 165	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g‘𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
167	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20	pm2mpfval 22779	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑎) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
168	163, 164, 95, 167	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑎) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
169	5, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20	pm2mpfval 22779	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑏) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
170	163, 164, 99, 169	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘𝑏) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
171	168, 170	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑇‘𝑎)(+g‘𝑄)(𝑇‘𝑏)) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))(+g‘𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
172	162, 166, 171	3eqtr4d 2784	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑇‘(𝑎(+g‘𝐶)𝑏)) = ((𝑇‘𝑎)(+g‘𝑄)(𝑇‘𝑏)))
173	1, 2, 3, 4, 9, 16, 21, 172	isghmd 19191	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358   ∘_f cof 7618  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693  Grpcgrp 18900  ._gcmg 19034   GrpHom cghm 19178  CMndccmn 19746  mulGrpcmgp 20112  Ringcrg 20205  LModclmod 20850  var₁cv1 22161  Poly₁cpl1 22162  coe₁cco1 22163   Mat cmat 22390   decompPMat cdecpmat 22745   pMatToMatPoly cpm2mp 22775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-dsmm 21707  df-frlm 21722  df-psr 21884  df-mvr 21885  df-mpl 21886  df-opsr 21888  df-psr1 22165  df-vr1 22166  df-ply1 22167  df-coe1 22168  df-mamu 22374  df-mat 22391  df-decpmat 22746  df-pm2mp 22776

This theorem is referenced by:  pm2mpgrpiso  22800  pm2mprhm  22804  pm2mp  22808