MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mpghm 20841
Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is an additive group homomorphism. (Contributed by AV, 16-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpfo.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pm2mpfo.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpfo.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpfo.m = ( ·𝑠𝑄)
pm2mpfo.e = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpfo.x 𝑋 = (var1𝐴)
pm2mpfo.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpfo.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
pm2mpfo.l 𝐿 = (Base‘𝑄)
pm2mpfo.t 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
Assertion
Ref Expression
pm2mpghm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))

Proof of Theorem pm2mpghm
Dummy variables 𝑘 𝑎 𝑏 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpfo.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 pm2mpfo.l . 2 𝐿 = (Base‘𝑄)
3 eqid 2771 . 2 (+g𝐶) = (+g𝐶)
4 eqid 2771 . 2 (+g𝑄) = (+g𝑄)
5 pm2mpfo.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
6 pm2mpfo.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
75, 6pmatring 20718 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
8 ringgrp 18760 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Grp)
97, 8syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Grp)
10 pm2mpfo.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
1110matring 20466 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
12 pm2mpfo.q . . . . 5 𝑄 = (Poly1𝐴)
1312ply1ring 19833 . . . 4 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
1411, 13syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
15 ringgrp 18760 . . 3 (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Grp)
1614, 15syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Grp)
17 pm2mpfo.m . . 3 = ( ·𝑠𝑄)
18 pm2mpfo.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
19 pm2mpfo.x . . 3 𝑋 = (var1𝐴)
20 pm2mpfo.t . . 3 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
215, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20, 2pm2mpf 20823 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝐿)
22 ringmnd 18764 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 ∈ Ring → 𝐶 ∈ Mnd)
237, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Mnd)
2423anim1i 602 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐶 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
25 3anass 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) ↔ (𝐶 ∈ Mnd ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)))
2624, 25sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵))
271, 3mndcl 17509 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ Mnd ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
296, 1decpmatval 20790 . . . . . . . . . 10 (((𝑎(+g𝐶)𝑏) ∈ 𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)))
3028, 29sylan 569 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)))
31 simplll 758 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
32 fvexd 6344 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ V)
33 fvexd 6344 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ V)
34 eqidd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
35 eqidd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
3631, 31, 32, 33, 34, 35offval22 7404 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
37 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
39 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
40 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
41 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
421eleq2i 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎𝐵𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
4342biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎𝐵𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
4443ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐶))
45 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
466, 45matecl 20448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝑁𝑗𝑁𝑎 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
4740, 41, 44, 46syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
4847ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
4948adantrr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
5049adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
51503impib 1108 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
52 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
53523ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
54 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (coe1‘(𝑖𝑎𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑎𝑗))
5554, 45, 5, 37coe1fvalcl 19797 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
5651, 53, 55syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
5710, 37, 38, 31, 39, 56matbas2d 20446 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴))
58 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
59 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑗𝑁)
601eleq2i 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏𝐵𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
6160biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏𝐵𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
6261ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐶))
636, 45matecl 20448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖𝑁𝑗𝑁𝑏 ∈ (Base‘𝐶)) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
6458, 59, 62, 63syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
6564ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
6665adantrl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
6766adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)))
68673impib 1108 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃))
69 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (coe1‘(𝑖𝑏𝑗)) = (coe1‘(𝑖𝑏𝑗))
7069, 45, 5, 37coe1fvalcl 19797 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
7168, 53, 70syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
7210, 37, 38, 31, 39, 71matbas2d 20446 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴))
73 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐴) = (+g𝐴)
74 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑅) = (+g𝑅)
7510, 38, 73, 74matplusg2 20450 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴) ∧ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) ∈ (Base‘𝐴)) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
7657, 72, 75syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) ∘𝑓 (+g𝑅)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
77 simplr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎𝐵𝑏𝐵))
7877anim1i 602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
79783impb 1107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
80 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (+g𝑃) = (+g𝑃)
816, 1, 3, 80matplusgcell 20456 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗) = ((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))
8279, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗) = ((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))
8382fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗)) = (coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗))))
8483fveq1d 6334 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘) = ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘))
85393ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
865, 45, 80, 74coe1addfv 19850 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑎𝑗) ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑖𝑏𝑗) ∈ (Base‘𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
8785, 51, 68, 53, 86syl31anc 1479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘((𝑖𝑎𝑗)(+g𝑃)(𝑖𝑏𝑗)))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
8884, 87eqtrd 2805 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘) = (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
8988mpt2eq3dva 6866 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)(+g𝑅)((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
9036, 76, 893eqtr4rd 2816 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖(𝑎(+g𝐶)𝑏)𝑗))‘𝑘)) = ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))))
9112ply1sca 19838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
9211, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
9392ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
9493fveq2d 6336 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (+g𝐴) = (+g‘(Scalar‘𝑄)))
95 simprl 754 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
966, 1decpmatval 20790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
9795, 96sylan 569 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)))
9897eqcomd 2777 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘)) = (𝑎 decompPMat 𝑘))
99 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
1006, 1decpmatval 20790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
10199, 100sylan 569 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)))
102101eqcomd 2777 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘)) = (𝑏 decompPMat 𝑘))
10394, 98, 102oveq123d 6814 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑎𝑗))‘𝑘))(+g𝐴)(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((coe1‘(𝑖𝑏𝑗))‘𝑘))) = ((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)))
10430, 90, 1033eqtrd 2809 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) = ((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)))
105104oveq1d 6808 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) (𝑘 𝑋)))
10612ply1lmod 19837 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
10711, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ LMod)
108107ad2antrr 705 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑄 ∈ LMod)
109 simpl 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → 𝑎𝐵)
110109ad2antlr 706 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑎𝐵)
1115, 6, 1, 10, 38decpmatcl 20792 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
11239, 110, 52, 111syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
11392eqcomd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑄) = 𝐴)
114113ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Scalar‘𝑄) = 𝐴)
115114fveq2d 6336 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘𝐴))
116112, 115eleqtrrd 2853 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
117 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
118117ad2antlr 706 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏𝐵)
1195, 6, 1, 10, 38decpmatcl 20792 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
12039, 118, 52, 119syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
121120, 115eleqtrrd 2853 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)))
122 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
123122ringmgp 18761 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
12414, 123syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
125124ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
12619, 12, 2vr1cl 19802 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Ring → 𝑋𝐿)
12711, 126syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑋𝐿)
128127ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐿)
129122, 2mgpbas 18703 . . . . . . . . . 10 𝐿 = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
130129, 18mulgnn0cl 17766 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑋𝐿) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐿)
131125, 52, 128, 130syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐿)
132 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
133 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑄)) = (Base‘(Scalar‘𝑄))
134 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (+g‘(Scalar‘𝑄)) = (+g‘(Scalar‘𝑄))
1352, 4, 132, 17, 133, 134lmodvsdir 19097 . . . . . . . 8 ((𝑄 ∈ LMod ∧ ((𝑎 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ (𝑏 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑄)) ∧ (𝑘 𝑋) ∈ 𝐿)) → (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) (𝑘 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))
136108, 116, 121, 131, 135syl13anc 1478 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 decompPMat 𝑘)(+g‘(Scalar‘𝑄))(𝑏 decompPMat 𝑘)) (𝑘 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))
137105, 136eqtrd 2805 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) = (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))
138137mpteq2dva 4878 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
139138oveq2d 6809 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))))
140 eqid 2771 . . . . 5 (0g𝑄) = (0g𝑄)
141 ringcmn 18789 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ Ring → 𝑄 ∈ CMnd)
14214, 141syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ CMnd)
143142adantr 466 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑄 ∈ CMnd)
144 nn0ex 11500 . . . . . 6 0 ∈ V
145144a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ℕ0 ∈ V)
146109anim2i 603 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵))
147 df-3an 1073 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑎𝐵))
148146, 147sylibr 224 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵))
1495, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2pm2mpghmlem1 20838 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐿)
150148, 149sylan 569 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐿)
151117anim2i 603 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵))
152 df-3an 1073 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑏𝐵))
153151, 152sylibr 224 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵))
1545, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 2pm2mpghmlem1 20838 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐿)
155153, 154sylan 569 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐿)
156 eqidd 2772 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))
157 eqidd 2772 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))
1585, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12pm2mpghmlem2 20837 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑄))
159148, 158syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑄))
1605, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12pm2mpghmlem2 20837 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑄))
161153, 160syl 17 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑄))
1622, 140, 4, 143, 145, 150, 155, 156, 157, 159, 161gsummptfsadd 18531 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))(+g𝑄)((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))(+g𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))))
163139, 162eqtrd 2805 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))(+g𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))))
164 simpll 750 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑁 ∈ Fin)
165 simplr 752 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
1665, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20pm2mpfval 20821 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑎(+g𝐶)𝑏) ∈ 𝐵) → (𝑇‘(𝑎(+g𝐶)𝑏)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
167164, 165, 28, 166syl3anc 1476 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑇‘(𝑎(+g𝐶)𝑏)) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑎(+g𝐶)𝑏) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
1685, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20pm2mpfval 20821 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐵) → (𝑇𝑎) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
169164, 165, 95, 168syl3anc 1476 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑇𝑎) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
1705, 6, 1, 17, 18, 19, 10, 12, 20pm2mpfval 20821 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏𝐵) → (𝑇𝑏) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
171164, 165, 99, 170syl3anc 1476 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑇𝑏) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋)))))
172169, 171oveq12d 6811 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ((𝑇𝑎)(+g𝑄)(𝑇𝑏)) = ((𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑎 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))(+g𝑄)(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑏 decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))))))
173163, 167, 1723eqtr4d 2815 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑇‘(𝑎(+g𝐶)𝑏)) = ((𝑇𝑎)(+g𝑄)(𝑇𝑏)))
1741, 2, 3, 4, 9, 16, 21, 173isghmd 17877 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ (𝐶 GrpHom 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  𝑓 cof 7042  Fincfn 8109   finSupp cfsupp 8431  0cn0 11494  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502  Grpcgrp 17630  .gcmg 17748   GrpHom cghm 17865  CMndccmn 18400  mulGrpcmgp 18697  Ringcrg 18755  LModclmod 19073  var1cv1 19761  Poly1cpl1 19762  coe1cco1 19763   Mat cmat 20430   decompPMat cdecpmat 20787   pMatToMatPoly cpm2mp 20817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767  df-coe1 19768  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-mamu 20407  df-mat 20431  df-decpmat 20788  df-pm2mp 20818
This theorem is referenced by:  pm2mpgrpiso  20842  pm2mprhm  20846  pm2mp  20850
  Copyright terms: Public domain W3C validator