MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodsubdir 20766
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr2 30812 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdir.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodsubdir.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodsubdir.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodsubdir.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodsubdir.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lmodsubdir.s 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
lmodsubdir.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lmodsubdir.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubdir (πœ‘ β†’ ((𝐴𝑆𝐡) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐡 Β· 𝑋)))
Proof of Theorem lmodsubdir
StepHypRef Expression
1 lmodsubdir.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmodsubdir.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
3 lmodsubdir.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
43lmodring 20714 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
6 ringgrp 20143 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
8 lmodsubdir.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
9 lmodsubdir.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 eqid 2726 . . . . . 6 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
119, 10grpinvcl 18917 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) ∈ 𝐾)
127, 8, 11syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) ∈ 𝐾)
13 lmodsubdir.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
14 lmodsubdir.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
15 eqid 2726 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
16 lmodsubdir.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
17 eqid 2726 . . . . 5 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
1814, 15, 3, 16, 9, 17lmodvsdir 20732 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋)))
191, 2, 12, 13, 18syl13anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋)))
20 eqid 2726 . . . . . . 7 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
21 eqid 2726 . . . . . . 7 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
229, 20, 21, 10, 5, 8ringnegl 20201 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐡) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅))
2322oveq1d 7420 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋))
249, 21ringidcl 20165 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
255, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
269, 10grpinvcl 18917 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
277, 25, 26syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
2814, 3, 16, 9, 20lmodvsass 20733 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋)))
291, 27, 8, 13, 28syl13anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋)))
3023, 29eqtr3d 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋)))
3130oveq2d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋))))
3219, 31eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋))))
33 lmodsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
349, 17, 10, 33grpsubval 18915 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (𝐴𝑆𝐡) = (𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)))
352, 8, 34syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑆𝐡) = (𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)))
3635oveq1d 7420 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝑆𝐡) Β· 𝑋) = ((𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)) Β· 𝑋))
3714, 3, 16, 9lmodvscl 20724 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
381, 2, 13, 37syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
3914, 3, 16, 9lmodvscl 20724 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
401, 8, 13, 39syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
41 lmodsubdir.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
4214, 15, 41, 3, 16, 10, 21lmodvsubval2 20763 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐡 Β· 𝑋)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋))))
431, 38, 40, 42syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐡 Β· 𝑋)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋))))
4432, 36, 433eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝑆𝐡) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐡 Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  Grpcgrp 18863  invgcminusg 18864  -gcsg 18865  1rcur 20086  Ringcrg 20138  LModclmod 20706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708
This theorem is referenced by:  lvecvscan2  20963  scmatsubcl  22374  nlmdsdir  24554  clmsubdir  24984  ttgcontlem1  28650
  Copyright terms: Public domain W3C validator