Theorem lmodsubdir 20883

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr2 31137 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubdir.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodsubdir.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubdir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodsubdir.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
lmodsubdir.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodsubdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdir	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdir.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodsubdir.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
3		lmodsubdir.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	3	lmodring 20831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
6		ringgrp 20185	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
8		lmodsubdir.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		lmodsubdir.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
11	9, 10	grpinvcl 18929	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾)
12	7, 8, 11	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾)
13		lmodsubdir.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		lmodsubdir.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
16		lmodsubdir.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
18	14, 15, 3, 16, 9, 17	lmodvsdir 20849	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invg‘𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋)))
19	1, 2, 12, 13, 18	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋)))
20		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
21		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
22	9, 20, 21, 10, 5, 8	ringnegl 20249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) = ((invg‘𝐹)‘𝐵))
23	22	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋))
24	9, 21	ringidcl 20212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
25	5, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
26	9, 10	grpinvcl 18929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
27	7, 25, 26	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
28	14, 3, 16, 9, 20	lmodvsass 20850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
29	1, 27, 8, 13, 28	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
30	23, 29	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
31	30	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
32	19, 31	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
33		lmodsubdir.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
34	9, 17, 10, 33	grpsubval 18927	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)))
35	2, 8, 34	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)))
36	35	oveq1d 7383	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋))
37	14, 3, 16, 9	lmodvscl 20841	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
38	1, 2, 13, 37	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
39	14, 3, 16, 9	lmodvscl 20841	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
40	1, 8, 13, 39	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
41		lmodsubdir.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
42	14, 15, 41, 3, 16, 10, 21	lmodvsubval2 20880	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
43	1, 38, 40, 42	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
44	32, 36, 43	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  Grpcgrp 18875  inv_gcminusg 18876  -_gcsg 18877  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  LModclmod 20823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20825

This theorem is referenced by:  lvecvscan2  21079  scmatsubcl  22473  nlmdsdir  24638  clmsubdir  25070  ttgcontlem1  28969  vietalem  33755