MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsubdir 19628
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr2 28760 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdir.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubdir.t · = ( ·𝑠𝑊)
lmodsubdir.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubdir.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubdir.m = (-g𝑊)
lmodsubdir.s 𝑆 = (-g𝐹)
lmodsubdir.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lmodsubdir.a (𝜑𝐴𝐾)
lmodsubdir.b (𝜑𝐵𝐾)
lmodsubdir.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubdir (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) (𝐵 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodsubdir
StepHypRef Expression
1 lmodsubdir.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lmodsubdir.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
3 lmodsubdir.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
43lmodring 19578 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
6 ringgrp 19238 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
8 lmodsubdir.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
9 lmodsubdir.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
10 eqid 2826 . . . . . 6 (invg𝐹) = (invg𝐹)
119, 10grpinvcl 18096 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐵𝐾) → ((invg𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾)
127, 8, 11syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾)
13 lmodsubdir.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
14 lmodsubdir.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
15 eqid 2826 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝑊)
16 lmodsubdir.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
17 eqid 2826 . . . . 5 (+g𝐹) = (+g𝐹)
1814, 15, 3, 16, 9, 17lmodvsdir 19594 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴𝐾 ∧ ((invg𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾𝑋𝑉)) → ((𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘𝐵) · 𝑋)))
191, 2, 12, 13, 18syl13anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘𝐵) · 𝑋)))
20 eqid 2826 . . . . . . 7 (.r𝐹) = (.r𝐹)
21 eqid 2826 . . . . . . 7 (1r𝐹) = (1r𝐹)
229, 20, 21, 10, 5, 8ringnegl 19280 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐵) = ((invg𝐹)‘𝐵))
2322oveq1d 7165 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg𝐹)‘𝐵) · 𝑋))
249, 21ringidcl 19254 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
255, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
269, 10grpinvcl 18096 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r𝐹) ∈ 𝐾) → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
277, 25, 26syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
2814, 3, 16, 9, 20lmodvsass 19595 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝐵𝐾𝑋𝑉)) → ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
291, 27, 8, 13, 28syl13anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
3023, 29eqtr3d 2863 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝐹)‘𝐵) · 𝑋) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
3130oveq2d 7166 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘𝐵) · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
3219, 31eqtrd 2861 . 2 (𝜑 → ((𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
33 lmodsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝐹)
349, 17, 10, 33grpsubval 18094 . . . 4 ((𝐴𝐾𝐵𝐾) → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)))
352, 8, 34syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)))
3635oveq1d 7165 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)) · 𝑋))
3714, 3, 16, 9lmodvscl 19587 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
381, 2, 13, 37syl3anc 1365 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
3914, 3, 16, 9lmodvscl 19587 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐾𝑋𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
401, 8, 13, 39syl3anc 1365 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
41 lmodsubdir.m . . . 4 = (-g𝑊)
4214, 15, 41, 3, 16, 10, 21lmodvsubval2 19625 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝑋) (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
431, 38, 40, 42syl3anc 1365 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
4432, 36, 433eqtr4d 2871 1 (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) (𝐵 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6354  (class class class)co 7150  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  Grpcgrp 18048  invgcminusg 18049  -gcsg 18050  1rcur 19187  Ringcrg 19233  LModclmod 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-sbg 18053  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-lmod 19572
This theorem is referenced by:  lvecvscan2  19820  scmatsubcl  21061  nlmdsdir  23225  clmsubdir  23640  ttgcontlem1  26604
  Copyright terms: Public domain W3C validator