Theorem lmodsubdir 21110

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr2 31539 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubdir.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodsubdir.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubdir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodsubdir.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
lmodsubdir.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodsubdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdir	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdir.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodsubdir.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
3		lmodsubdir.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	3	lmodring 21058	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
5	1, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
6		ringgrp 20383	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
8		lmodsubdir.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		lmodsubdir.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
11	9, 10	grpinvcl 19117	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾)
12	7, 8, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾)
13		lmodsubdir.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		lmodsubdir.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
16		lmodsubdir.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
18	14, 15, 3, 16, 9, 17	lmodvsdir 21076	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invg‘𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋)))
19	1, 2, 12, 13, 18	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋)))
20		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
21		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
22	9, 20, 21, 10, 5, 8	ringnegl 20450	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) = ((invg‘𝐹)‘𝐵))
23	22	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋))
24	9, 21	ringidcl 20412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
25	5, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
26	9, 10	grpinvcl 19117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
27	7, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
28	14, 3, 16, 9, 20	lmodvsass 21077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
29	1, 27, 8, 13, 28	syl13anc 1399	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
30	23, 29	eqtr3d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
31	30	oveq2d 7433	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
32	19, 31	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
33		lmodsubdir.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
34	9, 17, 10, 33	grpsubval 19115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)))
35	2, 8, 34	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)))
36	35	oveq1d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋))
37	14, 3, 16, 9	lmodvscl 21068	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
38	1, 2, 13, 37	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
39	14, 3, 16, 9	lmodvscl 21068	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
40	1, 8, 13, 39	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
41		lmodsubdir.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
42	14, 15, 41, 3, 16, 10, 21	lmodvsubval2 21107	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
43	1, 38, 40, 42	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
44	32, 36, 43	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  Grpcgrp 19063  inv_gcminusg 19064  -_gcsg 19065  1_rcur 20326  Ringcrg 20378  LModclmod 21050

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-lmod 21052

This theorem is used by:  lvecvscan2  21305  scmatsubcl  22745  nlmdsdir  24914  clmsubdir  25336  ttgcontlem1  29349  vietalem  34097