MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodsubdir 20522
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr2 30290 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdir.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodsubdir.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodsubdir.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodsubdir.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodsubdir.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lmodsubdir.s 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
lmodsubdir.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lmodsubdir.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubdir (πœ‘ β†’ ((𝐴𝑆𝐡) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐡 Β· 𝑋)))
Proof of Theorem lmodsubdir
StepHypRef Expression
1 lmodsubdir.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmodsubdir.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
3 lmodsubdir.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
43lmodring 20471 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
6 ringgrp 20054 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
8 lmodsubdir.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
9 lmodsubdir.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 eqid 2732 . . . . . 6 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
119, 10grpinvcl 18868 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) ∈ 𝐾)
127, 8, 11syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) ∈ 𝐾)
13 lmodsubdir.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
14 lmodsubdir.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
15 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
16 lmodsubdir.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
17 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
1814, 15, 3, 16, 9, 17lmodvsdir 20488 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋)))
191, 2, 12, 13, 18syl13anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋)))
20 eqid 2732 . . . . . . 7 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
21 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
229, 20, 21, 10, 5, 8ringnegl 20107 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐡) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅))
2322oveq1d 7420 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋))
249, 21ringidcl 20076 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
255, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
269, 10grpinvcl 18868 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
277, 25, 26syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
2814, 3, 16, 9, 20lmodvsass 20489 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋)))
291, 27, 8, 13, 28syl13anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋)))
3023, 29eqtr3d 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋)))
3130oveq2d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋))))
3219, 31eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋))))
33 lmodsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
349, 17, 10, 33grpsubval 18866 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (𝐴𝑆𝐡) = (𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)))
352, 8, 34syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑆𝐡) = (𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)))
3635oveq1d 7420 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝑆𝐡) Β· 𝑋) = ((𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)) Β· 𝑋))
3714, 3, 16, 9lmodvscl 20481 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
381, 2, 13, 37syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
3914, 3, 16, 9lmodvscl 20481 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
401, 8, 13, 39syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
41 lmodsubdir.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
4214, 15, 41, 3, 16, 10, 21lmodvsubval2 20519 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐡 Β· 𝑋)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋))))
431, 38, 40, 42syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐡 Β· 𝑋)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋))))
4432, 36, 433eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝑆𝐡) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐡 Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  -gcsg 18817  1rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465
This theorem is referenced by:  lvecvscan2  20717  scmatsubcl  22010  nlmdsdir  24190  clmsubdir  24609  ttgcontlem1  28131
  Copyright terms: Public domain W3C validator