MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsubdir 19236
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr2 28424 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdir.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubdir.t · = ( ·𝑠𝑊)
lmodsubdir.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubdir.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubdir.m = (-g𝑊)
lmodsubdir.s 𝑆 = (-g𝐹)
lmodsubdir.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lmodsubdir.a (𝜑𝐴𝐾)
lmodsubdir.b (𝜑𝐵𝐾)
lmodsubdir.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubdir (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) (𝐵 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodsubdir
StepHypRef Expression
1 lmodsubdir.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lmodsubdir.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
3 lmodsubdir.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
43lmodring 19186 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
6 ringgrp 18865 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
8 lmodsubdir.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
9 lmodsubdir.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
10 eqid 2797 . . . . . 6 (invg𝐹) = (invg𝐹)
119, 10grpinvcl 17780 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐵𝐾) → ((invg𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾)
127, 8, 11syl2anc 580 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾)
13 lmodsubdir.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
14 lmodsubdir.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
15 eqid 2797 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝑊)
16 lmodsubdir.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
17 eqid 2797 . . . . 5 (+g𝐹) = (+g𝐹)
1814, 15, 3, 16, 9, 17lmodvsdir 19202 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴𝐾 ∧ ((invg𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾𝑋𝑉)) → ((𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘𝐵) · 𝑋)))
191, 2, 12, 13, 18syl13anc 1492 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘𝐵) · 𝑋)))
20 eqid 2797 . . . . . . 7 (.r𝐹) = (.r𝐹)
21 eqid 2797 . . . . . . 7 (1r𝐹) = (1r𝐹)
229, 20, 21, 10, 5, 8ringnegl 18907 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐵) = ((invg𝐹)‘𝐵))
2322oveq1d 6891 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg𝐹)‘𝐵) · 𝑋))
249, 21ringidcl 18881 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
255, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
269, 10grpinvcl 17780 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r𝐹) ∈ 𝐾) → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
277, 25, 26syl2anc 580 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
2814, 3, 16, 9, 20lmodvsass 19203 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝐵𝐾𝑋𝑉)) → ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
291, 27, 8, 13, 28syl13anc 1492 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
3023, 29eqtr3d 2833 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝐹)‘𝐵) · 𝑋) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
3130oveq2d 6892 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘𝐵) · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
3219, 31eqtrd 2831 . 2 (𝜑 → ((𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
33 lmodsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝐹)
349, 17, 10, 33grpsubval 17778 . . . 4 ((𝐴𝐾𝐵𝐾) → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)))
352, 8, 34syl2anc 580 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)))
3635oveq1d 6891 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴(+g𝐹)((invg𝐹)‘𝐵)) · 𝑋))
3714, 3, 16, 9lmodvscl 19195 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
381, 2, 13, 37syl3anc 1491 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
3914, 3, 16, 9lmodvscl 19195 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐾𝑋𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
401, 8, 13, 39syl3anc 1491 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
41 lmodsubdir.m . . . 4 = (-g𝑊)
4214, 15, 41, 3, 16, 10, 21lmodvsubval2 19233 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝑋) (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
431, 38, 40, 42syl3anc 1491 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
4432, 36, 433eqtr4d 2841 1 (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) (𝐵 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6099  (class class class)co 6876  Basecbs 16181  +gcplusg 16264  .rcmulr 16265  Scalarcsca 16267   ·𝑠 cvsca 16268  Grpcgrp 17735  invgcminusg 17736  -gcsg 17737  1rcur 18814  Ringcrg 18860  LModclmod 19178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-plusg 16277  df-0g 16414  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-lmod 19180
This theorem is referenced by:  lvecvscan2  19430  scmatsubcl  20646  nlmdsdir  22811  clmsubdir  23226  ttgcontlem1  26114
  Copyright terms: Public domain W3C validator