Theorem lmodsubdir 20380

Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr2 29992 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodsubdir.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubdir.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodsubdir.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubdir.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubdir.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lmodsubdir.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
lmodsubdir.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lmodsubdir.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lmodsubdir	⊢ (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodsubdir.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodsubdir.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
3		lmodsubdir.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4	3	lmodring 20330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
5	1, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
6		ringgrp 19969	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
8		lmodsubdir.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
9		lmodsubdir.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
10		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐹) = (invg‘𝐹)
11	9, 10	grpinvcl 18798	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾)
12	7, 8, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾)
13		lmodsubdir.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14		lmodsubdir.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
15		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
16		lmodsubdir.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
18	14, 15, 3, 16, 9, 17	lmodvsdir 20346	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invg‘𝐹)‘𝐵) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋)))
19	1, 2, 12, 13, 18	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋)))
20		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
21		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
22	9, 20, 21, 10, 5, 8	ringnegl 20018	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) = ((invg‘𝐹)‘𝐵))
23	22	oveq1d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋))
24	9, 21	ringidcl 19989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
25	5, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
26	9, 10	grpinvcl 18798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r‘𝐹) ∈ 𝐾) → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
27	7, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾)
28	14, 3, 16, 9, 20	lmodvsass 20347	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
29	1, 27, 8, 13, 28	syl13anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹))(.r‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
30	23, 29	eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋)))
31	30	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘𝐵) · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
32	19, 31	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
33		lmodsubdir.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝐹)
34	9, 17, 10, 33	grpsubval 18796	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)))
35	2, 8, 34	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)))
36	35	oveq1d 7372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴(+g‘𝐹)((invg‘𝐹)‘𝐵)) · 𝑋))
37	14, 3, 16, 9	lmodvscl 20339	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
38	1, 2, 13, 37	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
39	14, 3, 16, 9	lmodvscl 20339	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
40	1, 8, 13, 39	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
41		lmodsubdir.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
42	14, 15, 41, 3, 16, 10, 21	lmodvsubval2 20377	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
43	1, 38, 40, 42	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g‘𝑊)(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · (𝐵 · 𝑋))))
44	32, 36, 43	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝑆𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·_𝑠 cvsca 17137  Grpcgrp 18748  inv_gcminusg 18749  -_gcsg 18750  1_rcur 19913  Ringcrg 19964  LModclmod 20322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324

This theorem is referenced by:  lvecvscan2  20573  scmatsubcl  21866  nlmdsdir  24046  clmsubdir  24465  ttgcontlem1  27833