MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdir Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lmodsubdir 20805
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr2 30902 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdir.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodsubdir.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lmodsubdir.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodsubdir.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lmodsubdir.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lmodsubdir.s 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
lmodsubdir.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lmodsubdir.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
lmodsubdir.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubdir (πœ‘ β†’ ((𝐴𝑆𝐡) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐡 Β· 𝑋)))
Proof of Theorem lmodsubdir
StepHypRef Expression
1 lmodsubdir.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lmodsubdir.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
3 lmodsubdir.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
43lmodring 20753 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
51, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
6 ringgrp 20180 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
8 lmodsubdir.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
9 lmodsubdir.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
10 eqid 2725 . . . . . 6 (invgβ€˜πΉ) = (invgβ€˜πΉ)
119, 10grpinvcl 18946 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) ∈ 𝐾)
127, 8, 11syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) ∈ 𝐾)
13 lmodsubdir.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
14 lmodsubdir.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
15 eqid 2725 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
16 lmodsubdir.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
17 eqid 2725 . . . . 5 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
1814, 15, 3, 16, 9, 17lmodvsdir 20771 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 ∈ 𝐾 ∧ ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋)))
191, 2, 12, 13, 18syl13anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋)))
20 eqid 2725 . . . . . . 7 (.rβ€˜πΉ) = (.rβ€˜πΉ)
21 eqid 2725 . . . . . . 7 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
229, 20, 21, 10, 5, 8ringnegl 20240 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐡) = ((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅))
2322oveq1d 7430 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋))
249, 21ringidcl 20204 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
255, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
269, 10grpinvcl 18946 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾) β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
277, 25, 26syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾)
2814, 3, 16, 9, 20lmodvsass 20772 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋)))
291, 27, 8, 13, 28syl13anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ))(.rβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋)))
3023, 29eqtr3d 2767 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋) = (((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋)))
3130oveq2d 7431 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅) Β· 𝑋)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋))))
3219, 31eqtrd 2765 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋))))
33 lmodsubdir.s . . . . 5 𝑆 = (-gβ€˜πΉ)
349, 17, 10, 33grpsubval 18944 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (𝐴𝑆𝐡) = (𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)))
352, 8, 34syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴𝑆𝐡) = (𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)))
3635oveq1d 7430 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝑆𝐡) Β· 𝑋) = ((𝐴(+gβ€˜πΉ)((invgβ€˜πΉ)β€˜π΅)) Β· 𝑋))
3714, 3, 16, 9lmodvscl 20763 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
381, 2, 13, 37syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
3914, 3, 16, 9lmodvscl 20763 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
401, 8, 13, 39syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
41 lmodsubdir.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
4214, 15, 41, 3, 16, 10, 21lmodvsubval2 20802 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐡 Β· 𝑋)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋))))
431, 38, 40, 42syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐡 Β· 𝑋)) = ((𝐴 Β· 𝑋)(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜πΉ)β€˜(1rβ€˜πΉ)) Β· (𝐡 Β· 𝑋))))
4432, 36, 433eqtr4d 2775 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴𝑆𝐡) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋) βˆ’ (𝐡 Β· 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  .rcmulr 17231  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  Grpcgrp 18892  invgcminusg 18893  -gcsg 18894  1rcur 20123  Ringcrg 20175  LModclmod 20745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-lmod 20747
This theorem is referenced by:  lvecvscan2  21002  scmatsubcl  22435  nlmdsdir  24615  clmsubdir  25045  ttgcontlem1  28737
  Copyright terms: Public domain W3C validator