Theorem asclghm 21772

Description: The algebra scalars function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclf.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclf.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclf.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
asclf.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
asclghm	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

Proof of Theorem asclghm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. 2 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		eqid 2726	. 2 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		eqid 2726	. 2 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
4		eqid 2726	. 2 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		asclf.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		asclf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7	6	lmodring 20711	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
9		ringgrp 20140	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
11		asclf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
12		ringgrp 20140	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
14		asclf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
15	14, 6, 11, 5, 1, 2	asclf 21771	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝐹)⟶(Base‘𝑊))
16	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑊 ∈ LMod)
17		simprl 768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
18		simprr 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))
19		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
20	2, 19	ringidcl 20162	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
21	11, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
23		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
24	2, 4, 6, 23, 1, 3	lmodvsdir 20729	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
25	16, 17, 18, 22, 24	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
26	1, 3	grpcl 18868	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
27	26	3expb 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
28	10, 27	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
29	14, 6, 1, 23, 19	asclval 21769	. . . 4 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(𝑥(+g‘𝐹)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
30	28, 29	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(+g‘𝐹)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
31	14, 6, 1, 23, 19	asclval 21769	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘𝑥) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
32	14, 6, 1, 23, 19	asclval 21769	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘𝑦) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
33	31, 32	oveqan12d 7423	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴‘𝑥)(+g‘𝑊)(𝐴‘𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
34	33	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝐴‘𝑥)(+g‘𝑊)(𝐴‘𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
35	25, 30, 34	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(+g‘𝐹)𝑦)) = ((𝐴‘𝑥)(+g‘𝑊)(𝐴‘𝑦)))
36	1, 2, 3, 4, 10, 13, 15, 35	isghmd 19147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  +_gcplusg 17203  Scalarcsca 17206   ·_𝑠 cvsca 17207  Grpcgrp 18860   GrpHom cghm 19135  1_rcur 20083  Ringcrg 20135  LModclmod 20703  algSccascl 21742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-ghm 19136  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-lmod 20705  df-ascl 21745

This theorem is referenced by:  asclinvg  21778  asclrhm  21779  cpmatacl  22568  cpmatinvcl  22569  mat2pmatghm  22582  mat2pmatmul  22583