Theorem asclghm 21921

Description: The algebra scalar lifting function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclf.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclf.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclf.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
asclf.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
asclghm	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

Proof of Theorem asclghm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		eqid 2735	. 2 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
4		eqid 2735	. 2 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		asclf.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		asclf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7	6	lmodring 20883	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
9		ringgrp 20256	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
11		asclf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
12		ringgrp 20256	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
14		asclf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
15	14, 6, 11, 5, 1, 2	asclf 21920	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝐹)⟶(Base‘𝑊))
16	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑊 ∈ LMod)
17		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
18		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))
19		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
20	2, 19	ringidcl 20280	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
21	11, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
23		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
24	2, 4, 6, 23, 1, 3	lmodvsdir 20901	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
25	16, 17, 18, 22, 24	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
26	1, 3	grpcl 18972	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
27	26	3expb 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
28	10, 27	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
29	14, 6, 1, 23, 19	asclval 21918	. . . 4 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(𝑥(+g‘𝐹)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
30	28, 29	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(+g‘𝐹)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
31	14, 6, 1, 23, 19	asclval 21918	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘𝑥) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
32	14, 6, 1, 23, 19	asclval 21918	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘𝑦) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
33	31, 32	oveqan12d 7450	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴‘𝑥)(+g‘𝑊)(𝐴‘𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
34	33	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝐴‘𝑥)(+g‘𝑊)(𝐴‘𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
35	25, 30, 34	3eqtr4d 2785	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(+g‘𝐹)𝑦)) = ((𝐴‘𝑥)(+g‘𝑊)(𝐴‘𝑦)))
36	1, 2, 3, 4, 10, 13, 15, 35	isghmd 19256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  Grpcgrp 18964   GrpHom cghm 19243  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  LModclmod 20875  algSccascl 21890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-ghm 19244  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-ascl 21893

This theorem is referenced by:  asclinvg  21927  asclrhm  21928  cpmatacl  22738  cpmatinvcl  22739  mat2pmatghm  22752  mat2pmatmul  22753  asclf1  42518