Theorem asclghm 21825

Description: The algebra scalar lifting function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclf.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclf.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclf.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
asclf.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
asclghm	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

Proof of Theorem asclghm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		eqid 2729	. 2 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
4		eqid 2729	. 2 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		asclf.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		asclf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7	6	lmodring 20806	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
9		ringgrp 20158	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
11		asclf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
12		ringgrp 20158	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
14		asclf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
15	14, 6, 11, 5, 1, 2	asclf 21824	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝐹)⟶(Base‘𝑊))
16	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑊 ∈ LMod)
17		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
18		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))
19		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
20	2, 19	ringidcl 20185	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
21	11, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
23		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
24	2, 4, 6, 23, 1, 3	lmodvsdir 20824	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
25	16, 17, 18, 22, 24	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
26	1, 3	grpcl 18855	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
27	26	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
28	10, 27	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
29	14, 6, 1, 23, 19	asclval 21822	. . . 4 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(𝑥(+g‘𝐹)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
30	28, 29	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(+g‘𝐹)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
31	14, 6, 1, 23, 19	asclval 21822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘𝑥) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
32	14, 6, 1, 23, 19	asclval 21822	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘𝑦) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
33	31, 32	oveqan12d 7388	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴‘𝑥)(+g‘𝑊)(𝐴‘𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
34	33	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝐴‘𝑥)(+g‘𝑊)(𝐴‘𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
35	25, 30, 34	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(+g‘𝐹)𝑦)) = ((𝐴‘𝑥)(+g‘𝑊)(𝐴‘𝑦)))
36	1, 2, 3, 4, 10, 13, 15, 35	isghmd 19139	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  Grpcgrp 18847   GrpHom cghm 19126  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  LModclmod 20798  algSccascl 21794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-ghm 19127  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155  df-lmod 20800  df-ascl 21797

This theorem is referenced by:  asclinvg  21831  asclrhm  21832  cpmatacl  22636  cpmatinvcl  22637  mat2pmatghm  22650  mat2pmatmul  22651  asclf1  42512