MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclghm 19804
Description: The algebra scalars function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclf.a 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclf.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclf.r (𝜑𝑊 ∈ Ring)
asclf.l (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
asclghm (𝜑𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

Proof of Theorem asclghm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2797 . 2 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2 eqid 2797 . 2 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 eqid 2797 . 2 (+g𝐹) = (+g𝐹)
4 eqid 2797 . 2 (+g𝑊) = (+g𝑊)
5 asclf.l . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 asclf.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
76lmodring 19336 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
85, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
9 ringgrp 18996 . . 3 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . 2 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
11 asclf.r . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
12 ringgrp 18996 . . 3 (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
1311, 12syl 17 . 2 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
14 asclf.a . . 3 𝐴 = (algSc‘𝑊)
1514, 6, 11, 5, 1, 2asclf 19803 . 2 (𝜑𝐴:(Base‘𝐹)⟶(Base‘𝑊))
165adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑊 ∈ LMod)
17 simprl 767 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
18 simprr 769 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))
19 eqid 2797 . . . . . . 7 (1r𝑊) = (1r𝑊)
202, 19ringidcl 19012 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Ring → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2111, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
2221adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
23 eqid 2797 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
242, 4, 6, 23, 1, 3lmodvsdir 19352 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(+g𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(+g𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
2516, 17, 18, 22, 24syl13anc 1365 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥(+g𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(+g𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
261, 3grpcl 17873 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(+g𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
27263expb 1113 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(+g𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
2810, 27sylan 580 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(+g𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
2914, 6, 1, 23, 19asclval 19801 . . . 4 ((𝑥(+g𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(𝑥(+g𝐹)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
3028, 29syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(+g𝐹)𝑦)) = ((𝑥(+g𝐹)𝑦)( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
3114, 6, 1, 23, 19asclval 19801 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴𝑥) = (𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
3214, 6, 1, 23, 19asclval 19801 . . . . 5 (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴𝑦) = (𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊)))
3331, 32oveqan12d 7042 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴𝑥)(+g𝑊)(𝐴𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(+g𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
3433adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝐴𝑥)(+g𝑊)(𝐴𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))(+g𝑊)(𝑦( ·𝑠𝑊)(1r𝑊))))
3525, 30, 343eqtr4d 2843 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(+g𝐹)𝑦)) = ((𝐴𝑥)(+g𝑊)(𝐴𝑦)))
361, 2, 3, 4, 10, 13, 15, 35isghmd 18112 1 (𝜑𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  cfv 6232  (class class class)co 7023  Basecbs 16316  +gcplusg 16398  Scalarcsca 16401   ·𝑠 cvsca 16402  Grpcgrp 17865   GrpHom cghm 18100  1rcur 18945  Ringcrg 18991  LModclmod 19328  algSccascl 19777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-plusg 16411  df-0g 16548  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-grp 17868  df-ghm 18101  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-lmod 19330  df-ascl 19780
This theorem is referenced by:  asclinvg  19810  asclrhm  19811  cpmatacl  21012  cpmatinvcl  21013  mat2pmatghm  21026  mat2pmatmul  21027
  Copyright terms: Public domain W3C validator