Theorem asclghm 21087

Description: The algebra scalars function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclf.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclf.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclf.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
asclf.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
asclghm	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

Proof of Theorem asclghm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. 2 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		eqid 2738	. 2 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
4		eqid 2738	. 2 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
5		asclf.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		asclf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7	6	lmodring 20131	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
9		ringgrp 19788	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
11		asclf.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
12		ringgrp 19788	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
13	11, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
14		asclf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
15	14, 6, 11, 5, 1, 2	asclf 21086	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(Base‘𝐹)⟶(Base‘𝑊))
16	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑊 ∈ LMod)
17		simprl 768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐹))
18		simprr 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))
19		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
20	2, 19	ringidcl 19807	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
21	11, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
22	21	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
23		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
24	2, 4, 6, 23, 1, 3	lmodvsdir 20147	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹) ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
25	16, 17, 18, 22, 24	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
26	1, 3	grpcl 18585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
27	26	3expb 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
28	10, 27	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹))
29	14, 6, 1, 23, 19	asclval 21084	. . . 4 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(𝑥(+g‘𝐹)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
30	28, 29	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(+g‘𝐹)𝑦)) = ((𝑥(+g‘𝐹)𝑦)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
31	14, 6, 1, 23, 19	asclval 21084	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘𝑥) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
32	14, 6, 1, 23, 19	asclval 21084	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘𝑦) = (𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
33	31, 32	oveqan12d 7294	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐴‘𝑥)(+g‘𝑊)(𝐴‘𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
34	33	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → ((𝐴‘𝑥)(+g‘𝑊)(𝐴‘𝑦)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))(+g‘𝑊)(𝑦( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊))))
35	25, 30, 34	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐹) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐹))) → (𝐴‘(𝑥(+g‘𝐹)𝑦)) = ((𝐴‘𝑥)(+g‘𝑊)(𝐴‘𝑦)))
36	1, 2, 3, 4, 10, 13, 15, 35	isghmd 18843	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  Grpcgrp 18577   GrpHom cghm 18831  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  LModclmod 20123  algSccascl 21059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-ghm 18832  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-ascl 21062

This theorem is referenced by:  asclinvg  21093  asclrhm  21094  cpmatacl  21865  cpmatinvcl  21866  mat2pmatghm  21879  mat2pmatmul  21880