MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asclghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asclghm 21823
Description: The algebra scalars function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
asclf.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
asclf.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
asclf.r (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ring)
asclf.l (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
asclghm (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom π‘Š))

Proof of Theorem asclghm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . 2 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
2 eqid 2728 . 2 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
3 eqid 2728 . 2 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜πΉ)
4 eqid 2728 . 2 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
5 asclf.l . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 asclf.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
76lmodring 20758 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Ring)
85, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
9 ringgrp 20185 . . 3 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
11 asclf.r . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ring)
12 ringgrp 20185 . . 3 (π‘Š ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ Grp)
1311, 12syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Grp)
14 asclf.a . . 3 𝐴 = (algScβ€˜π‘Š)
1514, 6, 11, 5, 1, 2asclf 21822 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴:(Baseβ€˜πΉ)⟢(Baseβ€˜π‘Š))
165adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
17 simprl 769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ))
18 simprr 771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ))
19 eqid 2728 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘Š) = (1rβ€˜π‘Š)
202, 19ringidcl 20209 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2111, 20syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
2221adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (1rβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
23 eqid 2728 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
242, 4, 6, 23, 1, 3lmodvsdir 20776 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (1rβ€˜π‘Š) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))(+gβ€˜π‘Š)(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
2516, 17, 18, 22, 24syl13anc 1369 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))(+gβ€˜π‘Š)(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
261, 3grpcl 18905 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
27263expb 1117 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
2810, 27sylan 578 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
2914, 6, 1, 23, 19asclval 21820 . . . 4 ((π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ (π΄β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦)) = ((π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
3028, 29syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (π΄β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦)) = ((π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
3114, 6, 1, 23, 19asclval 21820 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ (π΄β€˜π‘₯) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
3214, 6, 1, 23, 19asclval 21820 . . . . 5 (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ) β†’ (π΄β€˜π‘¦) = (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
3331, 32oveqan12d 7445 . . . 4 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((π΄β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)(π΄β€˜π‘¦)) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))(+gβ€˜π‘Š)(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
3433adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ ((π΄β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)(π΄β€˜π‘¦)) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))(+gβ€˜π‘Š)(𝑦( ·𝑠 β€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
3525, 30, 343eqtr4d 2778 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (π΄β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΉ)𝑦)) = ((π΄β€˜π‘₯)(+gβ€˜π‘Š)(π΄β€˜π‘¦)))
361, 2, 3, 4, 10, 13, 15, 35isghmd 19186 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐹 GrpHom π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  Grpcgrp 18897   GrpHom cghm 19174  1rcur 20128  Ringcrg 20180  LModclmod 20750  algSccascl 21793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-ghm 19175  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-ascl 21796
This theorem is referenced by:  asclinvg  21829  asclrhm  21830  cpmatacl  22638  cpmatinvcl  22639  mat2pmatghm  22652  mat2pmatmul  22653
  Copyright terms: Public domain W3C validator