Theorem scmatghm 22475

Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s	⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
scmatghm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ∗   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem scmatghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatrhmval.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2734	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2734	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2734	. 2 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
5		ringgrp 20171	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
7		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10		scmatrhmval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
11	7, 8, 1, 9, 10	scmatsgrp 22461	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝐴))
12		scmatghm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)
13	12	subggrp 19057	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝐴) → 𝑆 ∈ Grp)
14	11, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ Grp)
15		scmatrhmval.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
16		scmatrhmval.t	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
17		scmatrhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
18	1, 7, 15, 16, 17, 10	scmatf 22471	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
19	7, 10, 12	scmatstrbas 22468	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑆) = 𝐶)
20	19	feq3d 6645	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:𝐾⟶𝐶))
21	18, 20	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆))
22	7	matsca2 22362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
23	10	ovexi 7390	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ V
24		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
25	12, 24	resssca 17261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑆))
26	23, 25	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑆))
27	22, 26	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
28	27	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑆)))
29	28	oveqd 7373	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = (𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧))
30	29	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) ∗ 1 ))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) ∗ 1 ))
32	7	matlmod 22371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
33	7, 10	scmatlss 22467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐴))
34		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝐴) = (LSubSp‘𝐴)
35	12, 34	lsslmod 20909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐴)) → 𝑆 ∈ LMod)
36	32, 33, 35	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ LMod)
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑆 ∈ LMod)
38	27	fveq2d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
39	1, 38	eqtrid 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
40	39	eleq2d 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦 ∈ 𝐾 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
41	40	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦 ∈ 𝐾 → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
42	41	adantrd 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
43	42	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
44	39	eleq2d 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧 ∈ 𝐾 ↔ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
45	44	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧 ∈ 𝐾 → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
46	45	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
47	46	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
48	7, 8, 1, 9, 10	scmatid 22456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐶)
49	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 = (1r‘𝐴))
50	48, 49, 19	3eltr4d 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
51	50	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
52		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
53	12, 16	ressvsca 17262	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ V → ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑆))
54	23, 53	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑆)
55		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
56		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑆)) = (+g‘(Scalar‘𝑆))
57	2, 4, 52, 54, 55, 56	lmodvsdir 20835	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(+g‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
58	37, 43, 47, 51, 57	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(+g‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
59	31, 58	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(+g‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
60		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
61	60	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
62	60	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
63		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
64	62, 63	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
65	1, 3	ringacl 20211	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
66	64, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
67	1, 7, 15, 16, 17	scmatrhmval 22469	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
68	61, 66, 67	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
69	1, 7, 15, 16, 17	scmatrhmval 22469	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
70	69	ad2ant2lr 748	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
71	1, 7, 15, 16, 17	scmatrhmval 22469	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
72	71	ad2ant2l 746	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
73	70, 72	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) = ((𝑦 ∗ 1 )(+g‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
74	59, 68, 73	3eqtr4d 2779	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑆)(𝐹‘𝑧)))
75	1, 2, 3, 4, 6, 14, 21, 74	isghmd 19152	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ↦ cmpt 5177  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Fincfn 8881  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155  +_gcplusg 17175  Scalarcsca 17178   ·_𝑠 cvsca 17179  0_gc0g 17357  Grpcgrp 18861  SubGrpcsubg 19048   GrpHom cghm 19139  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  LModclmod 20809  LSubSpclss 20880   Mat cmat 22349   ScMat cscmat 22431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-dsmm 21685  df-frlm 21700  df-mamu 22333  df-mat 22350  df-dmat 22432  df-scmat 22433

This theorem is referenced by:  scmatrhm  22477