MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatghm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem scmatghm 22042
Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
scmatrhmval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o 1 = (1rβ€˜π΄)
scmatrhmval.t βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π΄)
scmatrhmval.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ βˆ— 1 ))
scmatrhmval.c 𝐢 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s 𝑆 = (𝐴 β†Ύs 𝐢)
Assertion
Ref Expression
scmatghm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑅   π‘₯, 1   π‘₯, βˆ—   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem scmatghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatrhmval.k . 2 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2732 . 2 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
3 eqid 2732 . 2 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4 eqid 2732 . 2 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
5 ringgrp 20063 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
65adantl 482 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
7 scmatrhmval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
9 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
10 scmatrhmval.c . . . 4 𝐢 = (𝑁 ScMat 𝑅)
117, 8, 1, 9, 10scmatsgrp 22028 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ (SubGrpβ€˜π΄))
12 scmatghm.s . . . 4 𝑆 = (𝐴 β†Ύs 𝐢)
1312subggrp 19011 . . 3 (𝐢 ∈ (SubGrpβ€˜π΄) β†’ 𝑆 ∈ Grp)
1411, 13syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 ∈ Grp)
15 scmatrhmval.o . . . 4 1 = (1rβ€˜π΄)
16 scmatrhmval.t . . . 4 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π΄)
17 scmatrhmval.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ βˆ— 1 ))
181, 7, 15, 16, 17, 10scmatf 22038 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐹:𝐾⟢𝐢)
197, 10, 12scmatstrbas 22035 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = 𝐢)
2019feq3d 6704 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝐹:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘†) ↔ 𝐹:𝐾⟢𝐢))
2118, 20mpbird 256 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐹:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘†))
227matsca2 21929 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π΄))
2310ovexi 7445 . . . . . . . . . 10 𝐢 ∈ V
24 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π΄)
2512, 24resssca 17290 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ V β†’ (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π‘†))
2623, 25mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π‘†))
2722, 26eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘†))
2827fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
2928oveqd 7428 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))𝑧))
3029oveq1d 7426 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ) = ((𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))𝑧) βˆ— 1 ))
3130adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ) = ((𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))𝑧) βˆ— 1 ))
327matlmod 21938 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ LMod)
337, 10scmatlss 22034 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ (LSubSpβ€˜π΄))
34 eqid 2732 . . . . . . . 8 (LSubSpβ€˜π΄) = (LSubSpβ€˜π΄)
3512, 34lsslmod 20576 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ (LSubSpβ€˜π΄)) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
3632, 33, 35syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
3736adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
3827fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
391, 38eqtrid 2784 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
4039eleq2d 2819 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑦 ∈ 𝐾 ↔ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))))
4140biimpd 228 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑦 ∈ 𝐾 β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))))
4241adantrd 492 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))))
4342imp 407 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
4439eleq2d 2819 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑧 ∈ 𝐾 ↔ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))))
4544biimpd 228 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑧 ∈ 𝐾 β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))))
4645adantld 491 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))))
4746imp 407 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
487, 8, 1, 9, 10scmatid 22023 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝐢)
4915a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 1 = (1rβ€˜π΄))
5048, 49, 193eltr4d 2848 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
5150adantr 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
52 eqid 2732 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘†) = (Scalarβ€˜π‘†)
5312, 16ressvsca 17291 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ V β†’ βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘†))
5423, 53ax-mp 5 . . . . . 6 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
55 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))
56 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))
572, 4, 52, 54, 55, 56lmodvsdir 20501 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ ((𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))𝑧) βˆ— 1 ) = ((𝑦 βˆ— 1 )(+gβ€˜π‘†)(𝑧 βˆ— 1 )))
5837, 43, 47, 51, 57syl13anc 1372 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))𝑧) βˆ— 1 ) = ((𝑦 βˆ— 1 )(+gβ€˜π‘†)(𝑧 βˆ— 1 )))
5931, 58eqtrd 2772 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ) = ((𝑦 βˆ— 1 )(+gβ€˜π‘†)(𝑧 βˆ— 1 )))
60 simpr 485 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6160adantr 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6260anim1i 615 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
63 3anass 1095 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
6462, 63sylibr 233 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
651, 3ringacl 20097 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐾)
6664, 65syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐾)
671, 7, 15, 16, 17scmatrhmval 22036 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ))
6861, 66, 67syl2anc 584 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ))
691, 7, 15, 16, 17scmatrhmval 22036 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (𝑦 βˆ— 1 ))
7069ad2ant2lr 746 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (𝑦 βˆ— 1 ))
711, 7, 15, 16, 17scmatrhmval 22036 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧 βˆ— 1 ))
7271ad2ant2l 744 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧 βˆ— 1 ))
7370, 72oveq12d 7429 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘§)) = ((𝑦 βˆ— 1 )(+gβ€˜π‘†)(𝑧 βˆ— 1 )))
7459, 68, 733eqtr4d 2782 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦)(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘§)))
751, 2, 3, 4, 6, 14, 21, 74isghmd 19103 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  Basecbs 17146   β†Ύs cress 17175  +gcplusg 17199  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203  0gc0g 17387  Grpcgrp 18821  SubGrpcsubg 19002   GrpHom cghm 19091  1rcur 20006  Ringcrg 20058  LModclmod 20475  LSubSpclss 20547   Mat cmat 21914   ScMat cscmat 21998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-subrg 20321  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-dsmm 21293  df-frlm 21308  df-mamu 21893  df-mat 21915  df-dmat 21999  df-scmat 22000
This theorem is referenced by:  scmatrhm  22044
  Copyright terms: Public domain W3C validator