Theorem scmatghm 22690

Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s	⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
scmatghm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ∗   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem scmatghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatrhmval.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2763	. 2 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
5		ringgrp 20315	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	5	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
7		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10		scmatrhmval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
11	7, 8, 1, 9, 10	scmatsgrp 22676	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝐴))
12		scmatghm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)
13	12	subggrp 19190	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝐴) → 𝑆 ∈ Grp)
14	11, 13	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ Grp)
15		scmatrhmval.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
16		scmatrhmval.t	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
17		scmatrhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
18	1, 7, 15, 16, 17, 10	scmatf 22686	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
19	7, 10, 12	scmatstrbas 22683	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑆) = 𝐶)
20	19	feq3d 6690	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:𝐾⟶𝐶))
21	18, 20	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆))
22	7	matsca2 22577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
23	10	ovexi 7444	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ V
24		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
25	12, 24	resssca 17391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑆))
26	23, 25	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑆))
27	22, 26	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
28	27	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑆)))
29	28	oveqd 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = (𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧))
30	29	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) ∗ 1 ))
31	30	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) ∗ 1 ))
32	7	matlmod 22586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
33	7, 10	scmatlss 22682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐴))
34		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝐴) = (LSubSp‘𝐴)
35	12, 34	lsslmod 21081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐴)) → 𝑆 ∈ LMod)
36	32, 33, 35	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ LMod)
37	36	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑆 ∈ LMod)
38	27	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
39	1, 38	eqtrid 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
40	39	eleq2d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦 ∈ 𝐾 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
41	40	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦 ∈ 𝐾 → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
42	41	adantrd 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
43	42	imp 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
44	39	eleq2d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧 ∈ 𝐾 ↔ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
45	44	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧 ∈ 𝐾 → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
46	45	adantld 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
47	46	imp 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
48	7, 8, 1, 9, 10	scmatid 22671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐶)
49	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 = (1r‘𝐴))
50	48, 49, 19	3eltr4d 2878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
51	50	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
52		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
53	12, 16	ressvsca 17392	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ V → ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑆))
54	23, 53	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑆)
55		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
56		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑆)) = (+g‘(Scalar‘𝑆))
57	2, 4, 52, 54, 55, 56	lmodvsdir 21007	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(+g‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
58	37, 43, 47, 51, 57	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(+g‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
59	31, 58	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(+g‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
60		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
61	60	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
62	60	anim1i 626	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
63		3anass 1111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
64	62, 63	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
65	1, 3	ringacl 20357	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
66	64, 65	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
67	1, 7, 15, 16, 17	scmatrhmval 22684	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
68	61, 66, 67	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
69	1, 7, 15, 16, 17	scmatrhmval 22684	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
70	69	ad2ant2lr 760	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
71	1, 7, 15, 16, 17	scmatrhmval 22684	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
72	71	ad2ant2l 758	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
73	70, 72	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) = ((𝑦 ∗ 1 )(+g‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
74	59, 68, 73	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑆)(𝐹‘𝑧)))
75	1, 2, 3, 4, 6, 14, 21, 74	isghmd 19290	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  +_gcplusg 17305  Scalarcsca 17308   ·_𝑠 cvsca 17309  0_gc0g 17487  Grpcgrp 18995  SubGrpcsubg 19181   GrpHom cghm 19278  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  LModclmod 20981  LSubSpclss 21052   Mat cmat 22564   ScMat cscmat 22646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-mulg 19129  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-subrng 20645  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-dsmm 21882  df-frlm 21897  df-mamu 22548  df-mat 22565  df-dmat 22647  df-scmat 22648

This theorem is referenced by:  scmatrhm  22692