MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatghm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem scmatghm 22035
Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
scmatrhmval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o 1 = (1rβ€˜π΄)
scmatrhmval.t βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π΄)
scmatrhmval.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ βˆ— 1 ))
scmatrhmval.c 𝐢 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s 𝑆 = (𝐴 β†Ύs 𝐢)
Assertion
Ref Expression
scmatghm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑅   π‘₯, 1   π‘₯, βˆ—   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem scmatghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatrhmval.k . 2 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2733 . 2 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
3 eqid 2733 . 2 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4 eqid 2733 . 2 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
5 ringgrp 20061 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
65adantl 483 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
7 scmatrhmval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
9 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
10 scmatrhmval.c . . . 4 𝐢 = (𝑁 ScMat 𝑅)
117, 8, 1, 9, 10scmatsgrp 22021 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ (SubGrpβ€˜π΄))
12 scmatghm.s . . . 4 𝑆 = (𝐴 β†Ύs 𝐢)
1312subggrp 19009 . . 3 (𝐢 ∈ (SubGrpβ€˜π΄) β†’ 𝑆 ∈ Grp)
1411, 13syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 ∈ Grp)
15 scmatrhmval.o . . . 4 1 = (1rβ€˜π΄)
16 scmatrhmval.t . . . 4 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π΄)
17 scmatrhmval.f . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐾 ↦ (π‘₯ βˆ— 1 ))
181, 7, 15, 16, 17, 10scmatf 22031 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐹:𝐾⟢𝐢)
197, 10, 12scmatstrbas 22028 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = 𝐢)
2019feq3d 6705 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝐹:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘†) ↔ 𝐹:𝐾⟢𝐢))
2118, 20mpbird 257 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐹:𝐾⟢(Baseβ€˜π‘†))
227matsca2 21922 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π΄))
2310ovexi 7443 . . . . . . . . . 10 𝐢 ∈ V
24 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π΄)
2512, 24resssca 17288 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ V β†’ (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π‘†))
2623, 25mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π‘†))
2722, 26eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘†))
2827fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
2928oveqd 7426 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) = (𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))𝑧))
3029oveq1d 7424 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ) = ((𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))𝑧) βˆ— 1 ))
3130adantr 482 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ) = ((𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))𝑧) βˆ— 1 ))
327matlmod 21931 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ LMod)
337, 10scmatlss 22027 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐢 ∈ (LSubSpβ€˜π΄))
34 eqid 2733 . . . . . . . 8 (LSubSpβ€˜π΄) = (LSubSpβ€˜π΄)
3512, 34lsslmod 20571 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ (LSubSpβ€˜π΄)) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
3632, 33, 35syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
3736adantr 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑆 ∈ LMod)
3827fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
391, 38eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
4039eleq2d 2820 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑦 ∈ 𝐾 ↔ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))))
4140biimpd 228 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑦 ∈ 𝐾 β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))))
4241adantrd 493 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))))
4342imp 408 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
4439eleq2d 2820 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑧 ∈ 𝐾 ↔ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))))
4544biimpd 228 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑧 ∈ 𝐾 β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))))
4645adantld 492 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))))
4746imp 408 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)))
487, 8, 1, 9, 10scmatid 22016 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (1rβ€˜π΄) ∈ 𝐢)
4915a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 1 = (1rβ€˜π΄))
5048, 49, 193eltr4d 2849 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
5150adantr 482 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
52 eqid 2733 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘†) = (Scalarβ€˜π‘†)
5312, 16ressvsca 17289 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ V β†’ βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘†))
5423, 53ax-mp 5 . . . . . 6 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘†)
55 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))
56 eqid 2733 . . . . . 6 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))
572, 4, 52, 54, 55, 56lmodvsdir 20496 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘†)) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ ((𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))𝑧) βˆ— 1 ) = ((𝑦 βˆ— 1 )(+gβ€˜π‘†)(𝑧 βˆ— 1 )))
5837, 43, 47, 51, 57syl13anc 1373 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘†))𝑧) βˆ— 1 ) = ((𝑦 βˆ— 1 )(+gβ€˜π‘†)(𝑧 βˆ— 1 )))
5931, 58eqtrd 2773 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ) = ((𝑦 βˆ— 1 )(+gβ€˜π‘†)(𝑧 βˆ— 1 )))
60 simpr 486 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6160adantr 482 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6260anim1i 616 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
63 3anass 1096 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
6462, 63sylibr 233 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
651, 3ringacl 20095 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐾)
6664, 65syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐾)
671, 7, 15, 16, 17scmatrhmval 22029 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) ∈ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ))
6861, 66, 67syl2anc 585 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = ((𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧) βˆ— 1 ))
691, 7, 15, 16, 17scmatrhmval 22029 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (𝑦 βˆ— 1 ))
7069ad2ant2lr 747 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (𝑦 βˆ— 1 ))
711, 7, 15, 16, 17scmatrhmval 22029 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧 βˆ— 1 ))
7271ad2ant2l 745 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (𝑧 βˆ— 1 ))
7370, 72oveq12d 7427 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘§)) = ((𝑦 βˆ— 1 )(+gβ€˜π‘†)(𝑧 βˆ— 1 )))
7459, 68, 733eqtr4d 2783 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) β†’ (πΉβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘…)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘¦)(+gβ€˜π‘†)(πΉβ€˜π‘§)))
751, 2, 3, 4, 6, 14, 21, 74isghmd 19101 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  SubGrpcsubg 19000   GrpHom cghm 19089  1rcur 20004  Ringcrg 20056  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542   Mat cmat 21907   ScMat cscmat 21991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-mamu 21886  df-mat 21908  df-dmat 21992  df-scmat 21993
This theorem is referenced by:  scmatrhm  22037
  Copyright terms: Public domain W3C validator