Theorem scmatghm 22539

Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s	⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
scmatghm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ∗   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem scmatghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatrhmval.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2737	. 2 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
5		ringgrp 20235	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
7		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10		scmatrhmval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
11	7, 8, 1, 9, 10	scmatsgrp 22525	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝐴))
12		scmatghm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)
13	12	subggrp 19147	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝐴) → 𝑆 ∈ Grp)
14	11, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ Grp)
15		scmatrhmval.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
16		scmatrhmval.t	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
17		scmatrhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
18	1, 7, 15, 16, 17, 10	scmatf 22535	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
19	7, 10, 12	scmatstrbas 22532	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑆) = 𝐶)
20	19	feq3d 6723	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:𝐾⟶𝐶))
21	18, 20	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆))
22	7	matsca2 22426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
23	10	ovexi 7465	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ V
24		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
25	12, 24	resssca 17387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑆))
26	23, 25	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑆))
27	22, 26	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
28	27	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑆)))
29	28	oveqd 7448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = (𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧))
30	29	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) ∗ 1 ))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) ∗ 1 ))
32	7	matlmod 22435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
33	7, 10	scmatlss 22531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐴))
34		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝐴) = (LSubSp‘𝐴)
35	12, 34	lsslmod 20958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐴)) → 𝑆 ∈ LMod)
36	32, 33, 35	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ LMod)
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑆 ∈ LMod)
38	27	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
39	1, 38	eqtrid 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
40	39	eleq2d 2827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦 ∈ 𝐾 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
41	40	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦 ∈ 𝐾 → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
42	41	adantrd 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
43	42	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
44	39	eleq2d 2827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧 ∈ 𝐾 ↔ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
45	44	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧 ∈ 𝐾 → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
46	45	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
47	46	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
48	7, 8, 1, 9, 10	scmatid 22520	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐶)
49	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 = (1r‘𝐴))
50	48, 49, 19	3eltr4d 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
51	50	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
52		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
53	12, 16	ressvsca 17388	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ V → ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑆))
54	23, 53	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑆)
55		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
56		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑆)) = (+g‘(Scalar‘𝑆))
57	2, 4, 52, 54, 55, 56	lmodvsdir 20884	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(+g‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
58	37, 43, 47, 51, 57	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(+g‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
59	31, 58	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(+g‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
60		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
61	60	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
62	60	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
63		3anass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
64	62, 63	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
65	1, 3	ringacl 20275	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
66	64, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
67	1, 7, 15, 16, 17	scmatrhmval 22533	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
68	61, 66, 67	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
69	1, 7, 15, 16, 17	scmatrhmval 22533	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
70	69	ad2ant2lr 748	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
71	1, 7, 15, 16, 17	scmatrhmval 22533	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
72	71	ad2ant2l 746	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
73	70, 72	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) = ((𝑦 ∗ 1 )(+g‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
74	59, 68, 73	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑆)(𝐹‘𝑧)))
75	1, 2, 3, 4, 6, 14, 21, 74	isghmd 19243	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  SubGrpcsubg 19138   GrpHom cghm 19230  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929   Mat cmat 22411   ScMat cscmat 22495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mamu 22395  df-mat 22412  df-dmat 22496  df-scmat 22497

This theorem is referenced by:  scmatrhm  22541