Theorem scmatghm 22454

Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
scmatrhmval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
scmatrhmval.t	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
scmatrhmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
scmatrhmval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s	⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
scmatghm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ∗   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem scmatghm

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scmatrhmval.k	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2731	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2731	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2731	. 2 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
5		ringgrp 20162	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
7		scmatrhmval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
10		scmatrhmval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
11	7, 8, 1, 9, 10	scmatsgrp 22440	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝐴))
12		scmatghm.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐴 ↾s 𝐶)
13	12	subggrp 19048	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝐴) → 𝑆 ∈ Grp)
14	11, 13	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ Grp)
15		scmatrhmval.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
16		scmatrhmval.t	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
17		scmatrhmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐾 ↦ (𝑥 ∗ 1 ))
18	1, 7, 15, 16, 17, 10	scmatf 22450	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶𝐶)
19	7, 10, 12	scmatstrbas 22447	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑆) = 𝐶)
20	19	feq3d 6642	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:𝐾⟶𝐶))
21	18, 20	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆))
22	7	matsca2 22341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
23	10	ovexi 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ V
24		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
25	12, 24	resssca 17253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ V → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑆))
26	23, 25	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑆))
27	22, 26	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
28	27	fveq2d 6832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑆)))
29	28	oveqd 7369	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) = (𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧))
30	29	oveq1d 7367	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) ∗ 1 ))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) ∗ 1 ))
32	7	matlmod 22350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
33	7, 10	scmatlss 22446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐴))
34		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (LSubSp‘𝐴) = (LSubSp‘𝐴)
35	12, 34	lsslmod 20899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐴)) → 𝑆 ∈ LMod)
36	32, 33, 35	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ LMod)
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑆 ∈ LMod)
38	27	fveq2d 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
39	1, 38	eqtrid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
40	39	eleq2d 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦 ∈ 𝐾 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
41	40	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦 ∈ 𝐾 → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
42	41	adantrd 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
43	42	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
44	39	eleq2d 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧 ∈ 𝐾 ↔ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
45	44	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧 ∈ 𝐾 → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
46	45	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
47	46	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
48	7, 8, 1, 9, 10	scmatid 22435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) ∈ 𝐶)
49	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 = (1r‘𝐴))
50	48, 49, 19	3eltr4d 2846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
51	50	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
52		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
53	12, 16	ressvsca 17254	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ V → ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑆))
54	23, 53	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑆)
55		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
56		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑆)) = (+g‘(Scalar‘𝑆))
57	2, 4, 52, 54, 55, 56	lmodvsdir 20825	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(+g‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
58	37, 43, 47, 51, 57	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(+g‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
59	31, 58	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ) = ((𝑦 ∗ 1 )(+g‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
60		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
61	60	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
62	60	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
63		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)))
64	62, 63	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾))
65	1, 3	ringacl 20202	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
66	64, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
67	1, 7, 15, 16, 17	scmatrhmval 22448	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
68	61, 66, 67	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g‘𝑅)𝑧) ∗ 1 ))
69	1, 7, 15, 16, 17	scmatrhmval 22448	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
70	69	ad2ant2lr 748	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 ∗ 1 ))
71	1, 7, 15, 16, 17	scmatrhmval 22448	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧 ∈ 𝐾) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
72	71	ad2ant2l 746	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 ∗ 1 ))
73	70, 72	oveq12d 7370	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑆)(𝐹‘𝑧)) = ((𝑦 ∗ 1 )(+g‘𝑆)(𝑧 ∗ 1 )))
74	59, 68, 73	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑆)(𝐹‘𝑧)))
75	1, 2, 3, 4, 6, 14, 21, 74	isghmd 19143	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5174  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  Fincfn 8875  Basecbs 17126   ↾_s cress 17147  +_gcplusg 17167  Scalarcsca 17170   ·_𝑠 cvsca 17171  0_gc0g 17349  Grpcgrp 18852  SubGrpcsubg 19039   GrpHom cghm 19130  1_rcur 20105  Ringcrg 20157  LModclmod 20799  LSubSpclss 20870   Mat cmat 22328   ScMat cscmat 22410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-hash 14244  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-hom 17191  df-cco 17192  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-prds 17357  df-pws 17359  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-acs 17497  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-mhm 18697  df-submnd 18698  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18987  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-dsmm 21675  df-frlm 21690  df-mamu 22312  df-mat 22329  df-dmat 22411  df-scmat 22412

This theorem is referenced by:  scmatrhm  22456