MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatghm 22434
Description: There is a group homomorphism from the additive group of a ring to the additive group of the ring of scalar matrices over this ring. (Contributed by AV, 22-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatrhmval.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatrhmval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatrhmval.o 1 = (1r𝐴)
scmatrhmval.t = ( ·𝑠𝐴)
scmatrhmval.f 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 1 ))
scmatrhmval.c 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
scmatghm.s 𝑆 = (𝐴s 𝐶)
Assertion
Ref Expression
scmatghm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥,   𝑥,𝐶   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem scmatghm
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatrhmval.k . 2 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2728 . 2 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 eqid 2728 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 eqid 2728 . 2 (+g𝑆) = (+g𝑆)
5 ringgrp 20177 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
65adantl 481 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
7 scmatrhmval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8 eqid 2728 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
9 eqid 2728 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
10 scmatrhmval.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 ScMat 𝑅)
117, 8, 1, 9, 10scmatsgrp 22420 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝐴))
12 scmatghm.s . . . 4 𝑆 = (𝐴s 𝐶)
1312subggrp 19083 . . 3 (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝐴) → 𝑆 ∈ Grp)
1411, 13syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ Grp)
15 scmatrhmval.o . . . 4 1 = (1r𝐴)
16 scmatrhmval.t . . . 4 = ( ·𝑠𝐴)
17 scmatrhmval.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐾 ↦ (𝑥 1 ))
181, 7, 15, 16, 17, 10scmatf 22430 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾𝐶)
197, 10, 12scmatstrbas 22427 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑆) = 𝐶)
2019feq3d 6709 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆) ↔ 𝐹:𝐾𝐶))
2118, 20mpbird 257 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹:𝐾⟶(Base‘𝑆))
227matsca2 22321 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
2310ovexi 7454 . . . . . . . . . 10 𝐶 ∈ V
24 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
2512, 24resssca 17323 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ V → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑆))
2623, 25mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝑆))
2722, 26eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
2827fveq2d 6901 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑆)))
2928oveqd 7437 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) = (𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧))
3029oveq1d 7435 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧) 1 ) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) 1 ))
3130adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧) 1 ) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) 1 ))
327matlmod 22330 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
337, 10scmatlss 22426 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐴))
34 eqid 2728 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝐴) = (LSubSp‘𝐴)
3512, 34lsslmod 20843 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐴)) → 𝑆 ∈ LMod)
3632, 33, 35syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑆 ∈ LMod)
3736adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → 𝑆 ∈ LMod)
3827fveq2d 6901 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
391, 38eqtrid 2780 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
4039eleq2d 2815 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦𝐾𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
4140biimpd 228 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑦𝐾𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
4241adantrd 491 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦𝐾𝑧𝐾) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
4342imp 406 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
4439eleq2d 2815 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧𝐾𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
4544biimpd 228 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑧𝐾𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
4645adantld 490 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑦𝐾𝑧𝐾) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))))
4746imp 406 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
487, 8, 1, 9, 10scmatid 22415 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐶)
4915a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 = (1r𝐴))
5048, 49, 193eltr4d 2844 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
5150adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝑆))
52 eqid 2728 . . . . . 6 (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
5312, 16ressvsca 17324 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ V → = ( ·𝑠𝑆))
5423, 53ax-mp 5 . . . . . 6 = ( ·𝑠𝑆)
55 eqid 2728 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
56 eqid 2728 . . . . . 6 (+g‘(Scalar‘𝑆)) = (+g‘(Scalar‘𝑆))
572, 4, 52, 54, 55, 56lmodvsdir 20768 . . . . 5 ((𝑆 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) 1 ) = ((𝑦 1 )(+g𝑆)(𝑧 1 )))
5837, 43, 47, 51, 57syl13anc 1370 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑆))𝑧) 1 ) = ((𝑦 1 )(+g𝑆)(𝑧 1 )))
5931, 58eqtrd 2768 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝑦(+g𝑅)𝑧) 1 ) = ((𝑦 1 )(+g𝑆)(𝑧 1 )))
60 simpr 484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
6160adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → 𝑅 ∈ Ring)
6260anim1i 614 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)))
63 3anass 1093 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)))
6462, 63sylibr 233 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾))
651, 3ringacl 20213 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾𝑧𝐾) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
6664, 65syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐾)
671, 7, 15, 16, 17scmatrhmval 22428 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦(+g𝑅)𝑧) ∈ 𝐾) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧) 1 ))
6861, 66, 67syl2anc 583 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝑦(+g𝑅)𝑧) 1 ))
691, 7, 15, 16, 17scmatrhmval 22428 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐾) → (𝐹𝑦) = (𝑦 1 ))
7069ad2ant2lr 747 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹𝑦) = (𝑦 1 ))
711, 7, 15, 16, 17scmatrhmval 22428 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑧𝐾) → (𝐹𝑧) = (𝑧 1 ))
7271ad2ant2l 745 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹𝑧) = (𝑧 1 ))
7370, 72oveq12d 7438 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → ((𝐹𝑦)(+g𝑆)(𝐹𝑧)) = ((𝑦 1 )(+g𝑆)(𝑧 1 )))
7459, 68, 733eqtr4d 2778 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑦𝐾𝑧𝐾)) → (𝐹‘(𝑦(+g𝑅)𝑧)) = ((𝐹𝑦)(+g𝑆)(𝐹𝑧)))
751, 2, 3, 4, 6, 14, 21, 74isghmd 19178 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3471  cmpt 5231  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8963  Basecbs 17179  s cress 17208  +gcplusg 17232  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  Grpcgrp 18889  SubGrpcsubg 19074   GrpHom cghm 19166  1rcur 20120  Ringcrg 20172  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814   Mat cmat 22306   ScMat cscmat 22390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-mamu 22285  df-mat 22307  df-dmat 22391  df-scmat 22392
This theorem is referenced by:  scmatrhm  22436
  Copyright terms: Public domain W3C validator