MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsscl 20418
Description: Closure property of a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsscl.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lsscl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
lsscl.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lsscl.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lsscl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsscl ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)

Proof of Theorem lsscl
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsscl.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 lsscl.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
3 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lsscl.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
5 lsscl.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 lsscl.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
71, 2, 3, 4, 5, 6islss 20410 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
87simp3bi 1148 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ)
9 oveq1 7365 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑍 β†’ (π‘₯ Β· π‘Ž) = (𝑍 Β· π‘Ž))
109oveq1d 7373 . . . 4 (π‘₯ = 𝑍 β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) = ((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏))
1110eleq1d 2819 . . 3 (π‘₯ = 𝑍 β†’ (((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
12 oveq2 7366 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (𝑍 Β· π‘Ž) = (𝑍 Β· 𝑋))
1312oveq1d 7373 . . . 4 (π‘Ž = 𝑋 β†’ ((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏) = ((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏))
1413eleq1d 2819 . . 3 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
15 oveq2 7366 . . . 4 (𝑏 = π‘Œ β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏) = ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ))
1615eleq1d 2819 . . 3 (𝑏 = π‘Œ β†’ (((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
1711, 14, 16rspc3v 3592 . 2 ((𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
188, 17mpan9 508 1 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  LSubSpclss 20407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-lss 20408
This theorem is referenced by:  lssvsubcl  20419  lssvacl  20430  lssvscl  20431  islss3  20435  lssintcl  20440  lspsolvlem  20619  lbsextlem2  20636  isphld  21074
  Copyright terms: Public domain W3C validator