MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsscl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsscl 20825
Description: Closure property of a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsscl.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lsscl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
lsscl.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lsscl.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lsscl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsscl ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem lsscl
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsscl.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 lsscl.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
3 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lsscl.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
5 lsscl.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 lsscl.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
71, 2, 3, 4, 5, 6islss 20817 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
87simp3bi 1145 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ)
9 oveq1 7427 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑍 β†’ (π‘₯ Β· π‘Ž) = (𝑍 Β· π‘Ž))
109oveq1d 7435 . . . 4 (π‘₯ = 𝑍 β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) = ((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏))
1110eleq1d 2814 . . 3 (π‘₯ = 𝑍 β†’ (((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
12 oveq2 7428 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (𝑍 Β· π‘Ž) = (𝑍 Β· 𝑋))
1312oveq1d 7435 . . . 4 (π‘Ž = 𝑋 β†’ ((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏) = ((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏))
1413eleq1d 2814 . . 3 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
15 oveq2 7428 . . . 4 (𝑏 = π‘Œ β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏) = ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ))
1615eleq1d 2814 . . 3 (𝑏 = π‘Œ β†’ (((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
1711, 14, 16rspc3v 3625 . 2 ((𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
188, 17mpan9 506 1 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  LSubSpclss 20814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-ov 7423  df-lss 20815
This theorem is referenced by:  lssvacl  20826  lssvsubcl  20827  lssvscl  20838  islss3  20842  lssintcl  20847  lspsolvlem  21029  lbsextlem2  21046  isphld  21585
  Copyright terms: Public domain W3C validator