Theorem lsscl 19708

Description: Closure property of a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsscl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
lsscl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lsscl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lsscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsscl	⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lsscl

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsscl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		lsscl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		lsscl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
5		lsscl.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lsscl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 19700	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp3bi 1143	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
9		oveq1 7157	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑍 · 𝑎))
10	9	oveq1d 7165	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏))
11	10	eleq1d 2897	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
12		oveq2 7158	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑍 · 𝑎) = (𝑍 · 𝑋))
13	12	oveq1d 7165	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏))
14	13	eleq1d 2897	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) ∈ 𝑈))
15		oveq2 7158	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌))
16	15	eleq1d 2897	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈))
17	11, 14, 16	rspc3v 3636	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈))
18	8, 17	mpan9 509	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  Scalarcsca 16562   ·_𝑠 cvsca 16563  LSubSpclss 19697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fv 6358  df-ov 7153  df-lss 19698

This theorem is referenced by:  lssvsubcl  19709  lssvacl  19720  lssvscl  19721  islss3  19725  lssintcl  19730  lspsolvlem  19908  lbsextlem2  19925  isphld  20792