MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsscl 20204
Description: Closure property of a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsscl.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsscl.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
lsscl.p + = (+g𝑊)
lsscl.t · = ( ·𝑠𝑊)
lsscl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsscl ((𝑈𝑆 ∧ (𝑍𝐵𝑋𝑈𝑌𝑈)) → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lsscl
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsscl.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 lsscl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐹)
3 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4 lsscl.p . . . 4 + = (+g𝑊)
5 lsscl.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
6 lsscl.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
71, 2, 3, 4, 5, 6islss 20196 . . 3 (𝑈𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
87simp3bi 1146 . 2 (𝑈𝑆 → ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
9 oveq1 7282 . . . . 5 (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑍 · 𝑎))
109oveq1d 7290 . . . 4 (𝑥 = 𝑍 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏))
1110eleq1d 2823 . . 3 (𝑥 = 𝑍 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
12 oveq2 7283 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → (𝑍 · 𝑎) = (𝑍 · 𝑋))
1312oveq1d 7290 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏))
1413eleq1d 2823 . . 3 (𝑎 = 𝑋 → (((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) ∈ 𝑈))
15 oveq2 7283 . . . 4 (𝑏 = 𝑌 → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌))
1615eleq1d 2823 . . 3 (𝑏 = 𝑌 → (((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈))
1711, 14, 16rspc3v 3573 . 2 ((𝑍𝐵𝑋𝑈𝑌𝑈) → (∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈))
188, 17mpan9 507 1 ((𝑈𝑆 ∧ (𝑍𝐵𝑋𝑈𝑌𝑈)) → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wss 3887  c0 4256  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +gcplusg 16962  Scalarcsca 16965   ·𝑠 cvsca 16966  LSubSpclss 20193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-lss 20194
This theorem is referenced by:  lssvsubcl  20205  lssvacl  20216  lssvscl  20217  islss3  20221  lssintcl  20226  lspsolvlem  20404  lbsextlem2  20421  isphld  20859
  Copyright terms: Public domain W3C validator