MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsscl 19152
Description: Closure property of a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsscl.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsscl.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
lsscl.p + = (+g𝑊)
lsscl.t · = ( ·𝑠𝑊)
lsscl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsscl ((𝑈𝑆 ∧ (𝑍𝐵𝑋𝑈𝑌𝑈)) → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lsscl
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsscl.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 lsscl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐹)
3 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4 lsscl.p . . . 4 + = (+g𝑊)
5 lsscl.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
6 lsscl.s . . . 4 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
71, 2, 3, 4, 5, 6islss 19144 . . 3 (𝑈𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
87simp3bi 1141 . 2 (𝑈𝑆 → ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
9 oveq1 6799 . . . . 5 (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑍 · 𝑎))
109oveq1d 6807 . . . 4 (𝑥 = 𝑍 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏))
1110eleq1d 2835 . . 3 (𝑥 = 𝑍 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
12 oveq2 6800 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → (𝑍 · 𝑎) = (𝑍 · 𝑋))
1312oveq1d 6807 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏))
1413eleq1d 2835 . . 3 (𝑎 = 𝑋 → (((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) ∈ 𝑈))
15 oveq2 6800 . . . 4 (𝑏 = 𝑌 → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌))
1615eleq1d 2835 . . 3 (𝑏 = 𝑌 → (((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈))
1711, 14, 16rspc3v 3475 . 2 ((𝑍𝐵𝑋𝑈𝑌𝑈) → (∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈))
188, 17mpan9 490 1 ((𝑈𝑆 ∧ (𝑍𝐵𝑋𝑈𝑌𝑈)) → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wss 3723  c0 4063  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  Scalarcsca 16151   ·𝑠 cvsca 16152  LSubSpclss 19141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-ov 6795  df-lss 19142
This theorem is referenced by:  lssvsubcl  19153  lssvacl  19166  lssvscl  19167  islss3  19171  lssintcl  19176  lspsolvlem  19355  lbsextlem2  19373  isphld  20215
  Copyright terms: Public domain W3C validator