MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsscl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsscl 20552
Description: Closure property of a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsscl.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lsscl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
lsscl.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lsscl.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lsscl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsscl ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem lsscl
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsscl.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 lsscl.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
3 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lsscl.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
5 lsscl.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 lsscl.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
71, 2, 3, 4, 5, 6islss 20544 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
87simp3bi 1147 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ)
9 oveq1 7415 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑍 β†’ (π‘₯ Β· π‘Ž) = (𝑍 Β· π‘Ž))
109oveq1d 7423 . . . 4 (π‘₯ = 𝑍 β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) = ((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏))
1110eleq1d 2818 . . 3 (π‘₯ = 𝑍 β†’ (((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
12 oveq2 7416 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (𝑍 Β· π‘Ž) = (𝑍 Β· 𝑋))
1312oveq1d 7423 . . . 4 (π‘Ž = 𝑋 β†’ ((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏) = ((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏))
1413eleq1d 2818 . . 3 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
15 oveq2 7416 . . . 4 (𝑏 = π‘Œ β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏) = ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ))
1615eleq1d 2818 . . 3 (𝑏 = π‘Œ β†’ (((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
1711, 14, 16rspc3v 3627 . 2 ((𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
188, 17mpan9 507 1 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  LSubSpclss 20541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7411  df-lss 20542
This theorem is referenced by:  lssvsubcl  20553  lssvacl  20564  lssvscl  20565  islss3  20569  lssintcl  20574  lspsolvlem  20754  lbsextlem2  20771  isphld  21206
  Copyright terms: Public domain W3C validator