Theorem lsscl 20855

Description: Closure property of a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsscl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
lsscl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lsscl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lsscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsscl	⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lsscl

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsscl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		lsscl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		lsscl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
5		lsscl.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lsscl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 20847	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp3bi 1147	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
9		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑍 · 𝑎))
10	9	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏))
11	10	eleq1d 2814	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
12		oveq2 7398	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑍 · 𝑎) = (𝑍 · 𝑋))
13	12	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏))
14	13	eleq1d 2814	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) ∈ 𝑈))
15		oveq2 7398	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌))
16	15	eleq1d 2814	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈))
17	11, 14, 16	rspc3v 3607	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈))
18	8, 17	mpan9 506	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  LSubSpclss 20844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-ov 7393  df-lss 20845

This theorem is referenced by:  lssvacl  20856  lssvsubcl  20857  lssvscl  20868  islss3  20872  lssintcl  20877  lspsolvlem  21059  lbsextlem2  21076  isphld  21570