MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsscl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsscl 20785
Description: Closure property of a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsscl.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lsscl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
lsscl.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lsscl.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lsscl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsscl ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem lsscl
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsscl.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 lsscl.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
3 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lsscl.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
5 lsscl.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 lsscl.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
71, 2, 3, 4, 5, 6islss 20777 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘ˆ β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
87simp3bi 1144 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ)
9 oveq1 7409 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑍 β†’ (π‘₯ Β· π‘Ž) = (𝑍 Β· π‘Ž))
109oveq1d 7417 . . . 4 (π‘₯ = 𝑍 β†’ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) = ((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏))
1110eleq1d 2810 . . 3 (π‘₯ = 𝑍 β†’ (((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
12 oveq2 7410 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (𝑍 Β· π‘Ž) = (𝑍 Β· 𝑋))
1312oveq1d 7417 . . . 4 (π‘Ž = 𝑋 β†’ ((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏) = ((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏))
1413eleq1d 2810 . . 3 (π‘Ž = 𝑋 β†’ (((𝑍 Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏) ∈ π‘ˆ))
15 oveq2 7410 . . . 4 (𝑏 = π‘Œ β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏) = ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ))
1615eleq1d 2810 . . 3 (𝑏 = π‘Œ β†’ (((𝑍 Β· 𝑋) + 𝑏) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
1711, 14, 16rspc3v 3620 . 2 ((𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘Ž ∈ π‘ˆ βˆ€π‘ ∈ π‘ˆ ((π‘₯ Β· π‘Ž) + 𝑏) ∈ π‘ˆ β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ))
188, 17mpan9 506 1 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  LSubSpclss 20774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fv 6542  df-ov 7405  df-lss 20775
This theorem is referenced by:  lssvacl  20786  lssvsubcl  20787  lssvscl  20798  islss3  20802  lssintcl  20807  lspsolvlem  20989  lbsextlem2  21006  isphld  21536
  Copyright terms: Public domain W3C validator