Theorem lssvscl 21059

Description: Closure of scalar product in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvscl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssvscl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lssvscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
lssvscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssvscl	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simprl 782	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		eqid 2770	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		lssvscl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5	3, 4	lssel 21041	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
6	5	ad2ant2l 758	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
7		lssvscl.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		lssvscl.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lssvscl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
10	3, 7, 8, 9	lmodvscl 20982	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
11	1, 2, 6, 10	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
12		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
13		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
14	3, 12, 13	lmod0vrid 20997	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑋 · 𝑌))
15	1, 11, 14	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑋 · 𝑌))
16		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
17		simprr 784	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
18	13, 4	lss0cl 21051	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
19	18	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
20	7, 9, 12, 8, 4	lsscl 21046	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) ∈ 𝑈)
21	16, 2, 17, 19, 20	syl13anc 1397	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) ∈ 𝑈)
22	15, 21	eqeltrrd 2871	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  +_gcplusg 17313  Scalarcsca 17316   ·_𝑠 cvsca 17317  0_gc0g 17495  LModclmod 20964  LSubSpclss 21035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-plusg 17326  df-0g 17497  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-sbg 19008  df-mgp 20220  df-ur 20267  df-ring 20320  df-lmod 20966  df-lss 21036

This theorem is referenced by:  lssvnegcl  21060  islss3  21063  islss4  21066  ellspsni  21105  lspsn  21106  lmhmima  21151  lmhmpreima  21152  reslmhm  21156  lsmcl  21187  pj1lmhm  21204  lssvs0or  21217  lspfixed  21235  lspexch  21236  lspsolv  21250  frlmssuvc1  21927  frlmsslsp  21929  mplbas2  22176  lssnlm  24841  minveclem2  25568  pjthlem1  25579  eqgvscpbl  33640  lindsunlem  33984  algextdeglem8  34084  lshpkrlem5  39838  ldualssvscl  39882  dochkr1  42202  dochkr1OLDN  42203  lclkrlem2o  42245  lcfrlem5  42270  lcdlssvscl  42330  hgmapvvlem3  42649  gsumlsscl  49109