Theorem lssvscl 20837

Description: Closure of scalar product in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvscl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssvscl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lssvscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
lssvscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssvscl	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		lssvscl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
5	3, 4	lssel 20819	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
6	5	ad2ant2l 746	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
7		lssvscl.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8		lssvscl.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lssvscl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
10	3, 7, 8, 9	lmodvscl 20760	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
11	1, 2, 6, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
12		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
14	3, 12, 13	lmod0vrid 20775	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑋 · 𝑌))
15	1, 11, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) = (𝑋 · 𝑌))
16		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
17		simprr 772	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
18	13, 4	lss0cl 20829	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)
20	7, 9, 12, 8, 4	lsscl 20824	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) ∈ 𝑈)
21	16, 2, 17, 19, 20	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑊)(0g‘𝑊)) ∈ 𝑈)
22	15, 21	eqeltrrd 2829	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17378  LModclmod 20742  LSubSpclss 20813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20744  df-lss 20814

This theorem is referenced by:  lssvnegcl  20838  islss3  20841  islss4  20844  ellspsni  20883  lspsn  20884  lmhmima  20930  lmhmpreima  20931  reslmhm  20935  lsmcl  20966  pj1lmhm  20983  lssvs0or  20996  lspfixed  21014  lspexch  21015  lspsolv  21029  frlmssuvc1  21679  frlmsslsp  21681  mplbas2  21925  lssnlm  24565  minveclem2  25302  pjthlem1  25313  eqgvscpbl  33294  lindsunlem  33593  algextdeglem8  33687  lshpkrlem5  39080  ldualssvscl  39124  dochkr1  41445  dochkr1OLDN  41446  lclkrlem2o  41488  lcfrlem5  41513  lcdlssvscl  41573  hgmapvvlem3  41892  gsumlsscl  48341