MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvacl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lssvacl 20565
Description: Closure of vector addition in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvacl.p + = (+gβ€˜π‘Š)
lssvacl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssvacl (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem lssvacl
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lssvacl.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3lssel 20548 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
54ad2ant2lr 747 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
6 eqid 2733 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
7 eqid 2733 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
8 eqid 2733 . . . . 5 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
92, 6, 7, 8lmodvs1 20500 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 𝑋)
101, 5, 9syl2anc 585 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = 𝑋)
1110oveq1d 7424 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) + π‘Œ) = (𝑋 + π‘Œ))
12 simplr 768 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
13 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
146, 13, 8lmod1cl 20499 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1514ad2antrr 725 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
16 simprl 770 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
17 simprr 772 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
18 lssvacl.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
196, 13, 18, 7, 3lsscl 20553 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
2012, 15, 16, 17, 19syl13anc 1373 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
2111, 20eqeltrrd 2835 1 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  1rcur 20004  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-lss 20543
This theorem is referenced by:  lsssubg  20568  lspprvacl  20610  lspvadd  20707  lidlacl  20836  minveclem2  24943  pjthlem2  24955  lshpkrlem5  37984  lcfrlem6  40418  lcfrlem19  40432  mapdpglem9  40551  mapdpglem14  40556
  Copyright terms: Public domain W3C validator