Theorem lssvacl 21251

Description: Closure of vector addition in a subspace. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvacl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lssvacl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssvacl	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		lssvacl.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssel 21245	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
5	4	ad2ant2lr 761	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
9	2, 6, 7, 8	lmodvs1 21198	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
10	1, 5, 9	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
11	10	oveq1d 7461	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + 𝑌))
12		simplr 781	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
14	6, 13, 8	lmod1cl 21197	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
15	14	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
17		simprr 785	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
18		lssvacl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
19	6, 13, 18, 7, 3	lsscl 21250	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)
20	12, 15, 16, 17, 19	syl13anc 1400	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)
21	11, 20	eqeltrrd 2865	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  Scalarcsca 17463   ·_𝑠 cvsca 17464  1_rcur 20440  LModclmod 21168  LSubSpclss 21239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mgp 20394  df-ur 20441  df-ring 20494  df-lmod 21170  df-lss 21240

This theorem is used by:  lsssubg  21265  lspprvacl  21307  lspvadd  21404  lidlacl  21533  minveclem2  25780  pjthlem2  25792  lshpkrlem5  40374  lcfrlem6  42807  lcfrlem19  42821  mapdpglem9  42940  mapdpglem14  42945