Theorem lssintcl 19322

Description: The intersection of a nonempty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssintcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssintcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lssintcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2825	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2		eqidd 2825	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3		eqidd 2825	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4		eqidd 2825	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
5		eqidd 2825	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
6		lssintcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8		intssuni2 4721	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
9	8	3adant1 1166	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
10		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10, 6	lssss 19292	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
12		selpw 4384	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
13	11, 12	sylibr 226	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
14	13	ssriv 3830	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
15		sspwuni 4831	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
16	14, 15	mpbi 222	. . 3 ⊢ ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)
17	9, 16	syl6ss 3838	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
18		simpl1 1248	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
19		simp2 1173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
20	19	sselda 3826	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑆)
21		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
22	21, 6	lss0cl 19302	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
23	18, 20, 22	syl2anc 581	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
24	23	ralrimiva 3174	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
25		fvex 6445	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) ∈ V
26	25	elint2 4703	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
27	24, 26	sylibr 226	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴)
28	27	ne0d 4150	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ≠ ∅)
29	20	adantlr 708	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑆)
30		simplr1 1281	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
31		simplr2 1283	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ∩ 𝐴)
32		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
33		elinti 4705	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ 𝑦))
34	31, 32, 33	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝑦)
35		simplr3 1285	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)
36		elinti 4705	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑏 ∈ 𝑦))
37	35, 32, 36	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝑦)
38		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
39		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
40		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
41		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
42	38, 39, 40, 41, 6	lsscl 19298	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑦)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
43	29, 30, 34, 37, 42	syl13anc 1497	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
44	43	ralrimiva 3174	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
45		ovex 6936	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V
46	45	elint2 4703	. . 3 ⊢ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
47	44, 46	sylibr 226	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴)
48	1, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 28, 47	islssd 19291	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2998  ∀wral 3116   ⊆ wss 3797  ∅c0 4143  𝒫 cpw 4377  ∪ cuni 4657  ∩ cint 4696  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  Basecbs 16221  +_gcplusg 16304  Scalarcsca 16307   ·_𝑠 cvsca 16308  0_gc0g 16452  LModclmod 19218  LSubSpclss 19287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-plusg 16317  df-0g 16454  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-lmod 19220  df-lss 19288

This theorem is referenced by:  lssincl  19323  lssmre  19324  lspf  19332  asplss  19689  dihglblem5  37372