Theorem lssintcl 21290

Description: The intersection of a nonempty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssintcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssintcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lssintcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
5		eqidd 2764	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
6		lssintcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8		intssuni2 4938	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
9	8	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
10		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10, 6	lssss 21262	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
12		velpw 4565	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
13	11, 12	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
14	13	ssriv 3917	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
15		sspwuni 5065	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
16	14, 15	mpbi 233	. . 3 ⊢ ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)
17	9, 16	sstrdi 3925	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
18		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
19		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
20	19	sselda 3913	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑆)
21		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
22	21, 6	lss0cl 21273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
23	18, 20, 22	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
24	23	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
25		fvex 6929	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) ∈ V
26	25	elint2 4919	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
27	24, 26	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴)
28	27	ne0d 4291	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ≠ ∅)
29	20	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑆)
30		simplr1 1234	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
31		simplr2 1235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ∩ 𝐴)
32		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
33		elinti 4921	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ 𝑦))
34	31, 32, 33	sylc 66	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝑦)
35		simplr3 1236	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)
36		elinti 4921	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑏 ∈ 𝑦))
37	35, 32, 36	sylc 66	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝑦)
38		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
39		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
40		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
41		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
42	38, 39, 40, 41, 6	lsscl 21268	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑦)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
43	29, 30, 34, 37, 42	syl13anc 1400	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
44	43	ralrimiva 3158	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
45		ovex 7484	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V
46	45	elint2 4919	. . 3 ⊢ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
47	44, 46	sylibr 237	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴)
48	1, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 28, 47	islssd 21261	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4872  ∩ cint 4912  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  0_gc0g 17660  LModclmod 21186  LSubSpclss 21257

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-lmod 21188  df-lss 21258

This theorem is used by:  lssincl  21291  lssmre  21292  lspf  21300  asplss  22236  dihglblem5  42621