MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssintcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssintcl 19322
Description: The intersection of a nonempty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lssintcl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssintcl ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑆)

Proof of Theorem lssintcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2825 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2 eqidd 2825 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3 eqidd 2825 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4 eqidd 2825 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → (+g𝑊) = (+g𝑊))
5 eqidd 2825 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
6 lssintcl.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
76a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8 intssuni2 4721 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 𝑆)
983adant1 1166 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 𝑆)
10 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1110, 6lssss 19292 . . . . . 6 (𝑦𝑆𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
12 selpw 4384 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
1311, 12sylibr 226 . . . . 5 (𝑦𝑆𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
1413ssriv 3830 . . . 4 𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
15 sspwuni 4831 . . . 4 (𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
1614, 15mpbi 222 . . 3 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)
179, 16syl6ss 3838 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
18 simpl1 1248 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
19 simp2 1173 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑆)
2019sselda 3826 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝑆)
21 eqid 2824 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2221, 6lss0cl 19302 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑆) → (0g𝑊) ∈ 𝑦)
2318, 20, 22syl2anc 581 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐴) → (0g𝑊) ∈ 𝑦)
2423ralrimiva 3174 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑦𝐴 (0g𝑊) ∈ 𝑦)
25 fvex 6445 . . . . 5 (0g𝑊) ∈ V
2625elint2 4703 . . . 4 ((0g𝑊) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 (0g𝑊) ∈ 𝑦)
2724, 26sylibr 226 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → (0g𝑊) ∈ 𝐴)
2827ne0d 4150 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
2920adantlr 708 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝑆)
30 simplr1 1281 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
31 simplr2 1283 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑎 𝐴)
32 simpr 479 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
33 elinti 4705 . . . . . 6 (𝑎 𝐴 → (𝑦𝐴𝑎𝑦))
3431, 32, 33sylc 65 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑎𝑦)
35 simplr3 1285 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑏 𝐴)
36 elinti 4705 . . . . . 6 (𝑏 𝐴 → (𝑦𝐴𝑏𝑦))
3735, 32, 36sylc 65 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑏𝑦)
38 eqid 2824 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
39 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
40 eqid 2824 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
41 eqid 2824 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
4238, 39, 40, 41, 6lsscl 19298 . . . . 5 ((𝑦𝑆 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑦𝑏𝑦)) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
4329, 30, 34, 37, 42syl13anc 1497 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
4443ralrimiva 3174 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) → ∀𝑦𝐴 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
45 ovex 6936 . . . 4 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ V
4645elint2 4703 . . 3 (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
4744, 46sylibr 226 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝐴)
481, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 28, 47islssd 19291 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2998  wral 3116  wss 3797  c0 4143  𝒫 cpw 4377   cuni 4657   cint 4696  cfv 6122  (class class class)co 6904  Basecbs 16221  +gcplusg 16304  Scalarcsca 16307   ·𝑠 cvsca 16308  0gc0g 16452  LModclmod 19218  LSubSpclss 19287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-plusg 16317  df-0g 16454  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-lmod 19220  df-lss 19288
This theorem is referenced by:  lssincl  19323  lssmre  19324  lspf  19332  asplss  19689  dihglblem5  37372
  Copyright terms: Public domain W3C validator