MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssintcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssintcl 20962
Description: The intersection of a nonempty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lssintcl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssintcl ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑆)

Proof of Theorem lssintcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2738 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2 eqidd 2738 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3 eqidd 2738 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4 eqidd 2738 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → (+g𝑊) = (+g𝑊))
5 eqidd 2738 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
6 lssintcl.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
76a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8 intssuni2 4973 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 𝑆)
983adant1 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 𝑆)
10 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1110, 6lssss 20934 . . . . . 6 (𝑦𝑆𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
12 velpw 4605 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
1311, 12sylibr 234 . . . . 5 (𝑦𝑆𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
1413ssriv 3987 . . . 4 𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
15 sspwuni 5100 . . . 4 (𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
1614, 15mpbi 230 . . 3 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)
179, 16sstrdi 3996 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
18 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
19 simp2 1138 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑆)
2019sselda 3983 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝑆)
21 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2221, 6lss0cl 20945 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑆) → (0g𝑊) ∈ 𝑦)
2318, 20, 22syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐴) → (0g𝑊) ∈ 𝑦)
2423ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑦𝐴 (0g𝑊) ∈ 𝑦)
25 fvex 6919 . . . . 5 (0g𝑊) ∈ V
2625elint2 4953 . . . 4 ((0g𝑊) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 (0g𝑊) ∈ 𝑦)
2724, 26sylibr 234 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → (0g𝑊) ∈ 𝐴)
2827ne0d 4342 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
2920adantlr 715 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝑆)
30 simplr1 1216 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
31 simplr2 1217 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑎 𝐴)
32 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
33 elinti 4955 . . . . . 6 (𝑎 𝐴 → (𝑦𝐴𝑎𝑦))
3431, 32, 33sylc 65 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑎𝑦)
35 simplr3 1218 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑏 𝐴)
36 elinti 4955 . . . . . 6 (𝑏 𝐴 → (𝑦𝐴𝑏𝑦))
3735, 32, 36sylc 65 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑏𝑦)
38 eqid 2737 . . . . . 6 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
39 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
40 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
41 eqid 2737 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
4238, 39, 40, 41, 6lsscl 20940 . . . . 5 ((𝑦𝑆 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎𝑦𝑏𝑦)) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
4329, 30, 34, 37, 42syl13anc 1374 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
4443ralrimiva 3146 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) → ∀𝑦𝐴 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
45 ovex 7464 . . . 4 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ V
4645elint2 4953 . . 3 (((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
4744, 46sylibr 234 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 𝐴𝑏 𝐴)) → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑎)(+g𝑊)𝑏) ∈ 𝐴)
481, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 28, 47islssd 20933 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑆𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   cint 4946  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lss 20930
This theorem is referenced by:  lssincl  20963  lssmre  20964  lspf  20972  asplss  21894  dihglblem5  41300
  Copyright terms: Public domain W3C validator