MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssintcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lssintcl 20567
Description: The intersection of a nonempty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lssintcl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssintcl ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)
Proof of Theorem lssintcl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2733 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š))
2 eqidd 2733 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3 eqidd 2733 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š))
4 eqidd 2733 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š))
5 eqidd 2733 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
6 lssintcl.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
76a1i 11 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
8 intssuni2 4976 . . . 4 ((𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
983adant1 1130 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
10 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1110, 6lssss 20539 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12 velpw 4606 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝑦 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1311, 12sylibr 233 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š))
1413ssriv 3985 . . . 4 𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š)
15 sspwuni 5102 . . . 4 (𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↔ βˆͺ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1614, 15mpbi 229 . . 3 βˆͺ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)
179, 16sstrdi 3993 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
18 simpl1 1191 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LMod)
19 simp2 1137 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
2019sselda 3981 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
21 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
2221, 6lss0cl 20549 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
2318, 20, 22syl2anc 584 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
2423ralrimiva 3146 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
25 fvex 6901 . . . . 5 (0gβ€˜π‘Š) ∈ V
2625elint2 4956 . . . 4 ((0gβ€˜π‘Š) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
2724, 26sylibr 233 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ ∩ 𝐴)
2827ne0d 4334 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 β‰  βˆ…)
2920adantlr 713 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
30 simplr1 1215 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
31 simplr2 1216 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴)
32 simpr 485 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
33 elinti 4958 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ π‘Ž ∈ 𝑦))
3431, 32, 33sylc 65 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ 𝑦)
35 simplr3 1217 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)
36 elinti 4958 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ∩ 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑏 ∈ 𝑦))
3735, 32, 36sylc 65 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ 𝑦)
38 eqid 2732 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
39 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
40 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
41 eqid 2732 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4238, 39, 40, 41, 6lsscl 20545 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑦)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
4329, 30, 34, 37, 42syl13anc 1372 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
4443ralrimiva 3146 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
45 ovex 7438 . . . 4 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ V
4645elint2 4956 . . 3 (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
4744, 46sylibr 233 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ ∩ 𝐴)
481, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 28, 47islssd 20538 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  βˆ© cint 4949  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535
This theorem is referenced by:  lssincl  20568  lssmre  20569  lspf  20577  asplss  21419  dihglblem5  40157
  Copyright terms: Public domain W3C validator