MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssintcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lssintcl 20575
Description: The intersection of a nonempty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lssintcl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssintcl ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)
Proof of Theorem lssintcl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2734 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š))
2 eqidd 2734 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3 eqidd 2734 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š))
4 eqidd 2734 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š))
5 eqidd 2734 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
6 lssintcl.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
76a1i 11 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
8 intssuni2 4978 . . . 4 ((𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
983adant1 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
10 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1110, 6lssss 20547 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12 velpw 4608 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝑦 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1311, 12sylibr 233 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š))
1413ssriv 3987 . . . 4 𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š)
15 sspwuni 5104 . . . 4 (𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↔ βˆͺ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1614, 15mpbi 229 . . 3 βˆͺ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)
179, 16sstrdi 3995 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
18 simpl1 1192 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LMod)
19 simp2 1138 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
2019sselda 3983 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
21 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
2221, 6lss0cl 20557 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
2318, 20, 22syl2anc 585 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
2423ralrimiva 3147 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
25 fvex 6905 . . . . 5 (0gβ€˜π‘Š) ∈ V
2625elint2 4958 . . . 4 ((0gβ€˜π‘Š) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
2724, 26sylibr 233 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ ∩ 𝐴)
2827ne0d 4336 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 β‰  βˆ…)
2920adantlr 714 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
30 simplr1 1216 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
31 simplr2 1217 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴)
32 simpr 486 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
33 elinti 4960 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ π‘Ž ∈ 𝑦))
3431, 32, 33sylc 65 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ 𝑦)
35 simplr3 1218 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)
36 elinti 4960 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ∩ 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑏 ∈ 𝑦))
3735, 32, 36sylc 65 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ 𝑦)
38 eqid 2733 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
39 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
40 eqid 2733 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
41 eqid 2733 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4238, 39, 40, 41, 6lsscl 20553 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑦)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
4329, 30, 34, 37, 42syl13anc 1373 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
4443ralrimiva 3147 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
45 ovex 7442 . . . 4 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ V
4645elint2 4958 . . 3 (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
4744, 46sylibr 233 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ ∩ 𝐴)
481, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 28, 47islssd 20546 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  βˆ© cint 4951  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-lss 20543
This theorem is referenced by:  lssincl  20576  lssmre  20577  lspf  20585  asplss  21428  dihglblem5  40169
  Copyright terms: Public domain W3C validator