Theorem lssintcl 20141

Description: The intersection of a nonempty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lssintcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssintcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lssintcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2739	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
2		eqidd 2739	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3		eqidd 2739	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
4		eqidd 2739	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
5		eqidd 2739	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
6		lssintcl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
8		intssuni2 4901	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
9	8	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑆)
10		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11	10, 6	lssss 20113	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
12		velpw 4535	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑊))
13	11, 12	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊))
14	13	ssriv 3921	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊)
15		sspwuni 5025	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑊) ↔ ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
16	14, 15	mpbi 229	. . 3 ⊢ ∪ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)
17	9, 16	sstrdi 3929	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑊))
18		simpl1 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
19		simp2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
20	19	sselda 3917	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑆)
21		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
22	21, 6	lss0cl 20123	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
23	18, 20, 22	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
24	23	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
25		fvex 6769	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) ∈ V
26	25	elint2 4883	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (0g‘𝑊) ∈ 𝑦)
27	24, 26	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (0g‘𝑊) ∈ ∩ 𝐴)
28	27	ne0d 4266	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ≠ ∅)
29	20	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝑆)
30		simplr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
31		simplr2 1214	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ ∩ 𝐴)
32		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
33		elinti 4885	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑎 ∈ 𝑦))
34	31, 32, 33	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝑦)
35		simplr3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)
36		elinti 4885	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 ∈ ∩ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑏 ∈ 𝑦))
37	35, 32, 36	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ 𝑦)
38		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
39		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
40		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
41		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
42	38, 39, 40, 41, 6	lsscl 20119	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑦)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
43	29, 30, 34, 37, 42	syl13anc 1370	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
44	43	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
45		ovex 7288	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ V
46	45	elint2 4883	. . 3 ⊢ (((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ 𝑦)
47	44, 46	sylibr 233	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)𝑏) ∈ ∩ 𝐴)
48	1, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 28, 47	islssd 20112	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  ∪ cuni 4836  ∩ cint 4876  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-lmod 20040  df-lss 20109

This theorem is referenced by:  lssincl  20142  lssmre  20143  lspf  20151  asplss  20988  dihglblem5  39239