MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssintcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lssintcl 20719
Description: The intersection of a nonempty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
lssintcl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssintcl ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)
Proof of Theorem lssintcl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2731 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š))
2 eqidd 2731 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3 eqidd 2731 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š))
4 eqidd 2731 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š))
5 eqidd 2731 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
6 lssintcl.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
76a1i 11 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
8 intssuni2 4976 . . . 4 ((𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
983adant1 1128 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑆)
10 eqid 2730 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1110, 6lssss 20691 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
12 velpw 4606 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↔ 𝑦 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1311, 12sylibr 233 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š))
1413ssriv 3985 . . . 4 𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š)
15 sspwuni 5102 . . . 4 (𝑆 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘Š) ↔ βˆͺ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
1614, 15mpbi 229 . . 3 βˆͺ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)
179, 16sstrdi 3993 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
18 simpl1 1189 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LMod)
19 simp2 1135 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
2019sselda 3981 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
21 eqid 2730 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
2221, 6lss0cl 20701 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
2318, 20, 22syl2anc 582 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
2423ralrimiva 3144 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
25 fvex 6903 . . . . 5 (0gβ€˜π‘Š) ∈ V
2625elint2 4956 . . . 4 ((0gβ€˜π‘Š) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑦)
2724, 26sylibr 233 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ ∩ 𝐴)
2827ne0d 4334 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 β‰  βˆ…)
2920adantlr 711 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
30 simplr1 1213 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
31 simplr2 1214 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴)
32 simpr 483 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
33 elinti 4958 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ π‘Ž ∈ 𝑦))
3431, 32, 33sylc 65 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘Ž ∈ 𝑦)
35 simplr3 1215 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)
36 elinti 4958 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ∩ 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑏 ∈ 𝑦))
3735, 32, 36sylc 65 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑏 ∈ 𝑦)
38 eqid 2730 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
39 eqid 2730 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
40 eqid 2730 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
41 eqid 2730 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4238, 39, 40, 41, 6lsscl 20697 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑦 ∧ 𝑏 ∈ 𝑦)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
4329, 30, 34, 37, 42syl13anc 1370 . . . 4 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
4443ralrimiva 3144 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
45 ovex 7444 . . . 4 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ V
4645elint2 4956 . . 3 (((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ ∩ 𝐴 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ 𝑦)
4744, 46sylibr 233 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)𝑏) ∈ ∩ 𝐴)
481, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 28, 47islssd 20690 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆 ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐴 ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  βˆ© cint 4949  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-lmod 20616  df-lss 20687
This theorem is referenced by:  lssincl  20720  lssmre  20721  lspf  20729  asplss  21647  dihglblem5  40472
  Copyright terms: Public domain W3C validator