MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lssvsubcl 20546
Description: Closure of vector subtraction in a subspace. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvsubcl.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lssvsubcl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssvsubcl (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem lssvsubcl
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lssvsubcl.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3lssel 20540 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
54ad2ant2lr 746 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
62, 3lssel 20540 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
76ad2ant2l 744 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
8 eqid 2732 . . . 4 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
9 lssvsubcl.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
10 eqid 2732 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
11 eqid 2732 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
12 eqid 2732 . . . 4 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
13 eqid 2732 . . . 4 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
142, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 20519 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
151, 5, 7, 14syl3anc 1371 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
1610lmodfgrp 20472 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
171, 16syl 17 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
18 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
1910, 18, 13lmod1cl 20491 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
201, 19syl 17 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2118, 12grpinvcl 18868 . . . . . 6 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2217, 20, 21syl2anc 584 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
232, 10, 11, 18lmodvscl 20481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
241, 22, 7, 23syl3anc 1371 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
252, 8lmodcom 20510 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
261, 5, 24, 25syl3anc 1371 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
27 simplr 767 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
28 simprr 771 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
29 simprl 769 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
3010, 18, 8, 11, 3lsscl 20545 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ π‘ˆ)
3127, 22, 28, 29, 30syl13anc 1372 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ π‘ˆ)
3226, 31eqeltrd 2833 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ π‘ˆ)
3315, 32eqeltrd 2833 1 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  -gcsg 18817  1rcur 19998  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535
This theorem is referenced by:  lssvancl1  20547  lss0cl  20549  lsmcv  20746  lspsolv  20748  lindsunlem  32697  ldualssvsubcl  38017  lclkrlem2o  40380  mapdpglem6  40537  mapdpglem12  40542  hdmaprnlem7N  40714  hdmaprnlem8N  40715
  Copyright terms: Public domain W3C validator