MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssvsubcl 20959
Description: Closure of vector subtraction in a subspace. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvsubcl.m = (-g𝑊)
lssvsubcl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssvsubcl (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvsubcl
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
2 eqid 2734 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 lssvsubcl.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssel 20952 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
54ad2ant2lr 748 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
62, 3lssel 20952 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑌𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
76ad2ant2l 746 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
8 eqid 2734 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
9 lssvsubcl.m . . . 4 = (-g𝑊)
10 eqid 2734 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11 eqid 2734 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
12 eqid 2734 . . . 4 (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
13 eqid 2734 . . . 4 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
142, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 20931 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
151, 5, 7, 14syl3anc 1370 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
1610lmodfgrp 20883 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
171, 16syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
18 eqid 2734 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
1910, 18, 13lmod1cl 20903 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
201, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2118, 12grpinvcl 19017 . . . . . 6 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2217, 20, 21syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
232, 10, 11, 18lmodvscl 20892 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
241, 22, 7, 23syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
252, 8lmodcom 20922 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋(+g𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋))
261, 5, 24, 25syl3anc 1370 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋(+g𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋))
27 simplr 769 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑈𝑆)
28 simprr 773 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑌𝑈)
29 simprl 771 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑋𝑈)
3010, 18, 8, 11, 3lsscl 20957 . . . 4 ((𝑈𝑆 ∧ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌𝑈𝑋𝑈)) → ((((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
3127, 22, 28, 29, 30syl13anc 1371 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → ((((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
3226, 31eqeltrd 2838 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋(+g𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ 𝑈)
3315, 32eqeltrd 2838 1 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  Grpcgrp 18963  invgcminusg 18964  -gcsg 18965  1rcur 20198  LModclmod 20874  LSubSpclss 20946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-lmod 20876  df-lss 20947
This theorem is referenced by:  lssvancl1  20960  lss0cl  20962  lsmcv  21160  lspsolv  21162  lindsunlem  33651  ldualssvsubcl  39140  lclkrlem2o  41503  mapdpglem6  41660  mapdpglem12  41665  hdmaprnlem7N  41837  hdmaprnlem8N  41838
  Copyright terms: Public domain W3C validator