MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lssvsubcl 20698
Description: Closure of vector subtraction in a subspace. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvsubcl.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lssvsubcl.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssvsubcl (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem lssvsubcl
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 eqid 2730 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
3 lssvsubcl.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3lssel 20692 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
54ad2ant2lr 744 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
62, 3lssel 20692 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
76ad2ant2l 742 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
8 eqid 2730 . . . 4 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
9 lssvsubcl.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
10 eqid 2730 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
11 eqid 2730 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
12 eqid 2730 . . . 4 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
13 eqid 2730 . . . 4 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
142, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 20671 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
151, 5, 7, 14syl3anc 1369 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
1610lmodfgrp 20623 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
171, 16syl 17 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
18 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
1910, 18, 13lmod1cl 20643 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
201, 19syl 17 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2118, 12grpinvcl 18908 . . . . . 6 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2217, 20, 21syl2anc 582 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
232, 10, 11, 18lmodvscl 20632 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
241, 22, 7, 23syl3anc 1369 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
252, 8lmodcom 20662 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
261, 5, 24, 25syl3anc 1369 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋))
27 simplr 765 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
28 simprr 769 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
29 simprl 767 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
3010, 18, 8, 11, 3lsscl 20697 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ π‘ˆ)
3127, 22, 28, 29, 30syl13anc 1370 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ π‘ˆ)
3226, 31eqeltrd 2831 . 2 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ π‘ˆ)
3315, 32eqeltrd 2831 1 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856  -gcsg 18857  1rcur 20075  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-lmod 20616  df-lss 20687
This theorem is referenced by:  lssvancl1  20699  lss0cl  20701  lsmcv  20899  lspsolv  20901  lindsunlem  32997  ldualssvsubcl  38332  lclkrlem2o  40695  mapdpglem6  40852  mapdpglem12  40857  hdmaprnlem7N  41029  hdmaprnlem8N  41030
  Copyright terms: Public domain W3C validator