MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssvsubcl 20542
Description: Closure of vector subtraction in a subspace. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvsubcl.m = (-g𝑊)
lssvsubcl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssvsubcl (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvsubcl
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
2 eqid 2733 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 lssvsubcl.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssel 20536 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
54ad2ant2lr 747 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
62, 3lssel 20536 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑌𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
76ad2ant2l 745 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
8 eqid 2733 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
9 lssvsubcl.m . . . 4 = (-g𝑊)
10 eqid 2733 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
12 eqid 2733 . . . 4 (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
13 eqid 2733 . . . 4 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
142, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 20515 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
151, 5, 7, 14syl3anc 1372 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
1610lmodfgrp 20468 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
171, 16syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
18 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
1910, 18, 13lmod1cl 20487 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
201, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2118, 12grpinvcl 18868 . . . . . 6 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2217, 20, 21syl2anc 585 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
232, 10, 11, 18lmodvscl 20477 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
241, 22, 7, 23syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
252, 8lmodcom 20506 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋(+g𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋))
261, 5, 24, 25syl3anc 1372 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋(+g𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋))
27 simplr 768 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑈𝑆)
28 simprr 772 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑌𝑈)
29 simprl 770 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑋𝑈)
3010, 18, 8, 11, 3lsscl 20541 . . . 4 ((𝑈𝑆 ∧ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌𝑈𝑋𝑈)) → ((((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
3127, 22, 28, 29, 30syl13anc 1373 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → ((((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
3226, 31eqeltrd 2834 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋(+g𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ 𝑈)
3315, 32eqeltrd 2834 1 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  -gcsg 18817  1rcur 19996  LModclmod 20459  LSubSpclss 20530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-lmod 20461  df-lss 20531
This theorem is referenced by:  lssvancl1  20543  lss0cl  20545  lsmcv  20742  lspsolv  20744  lindsunlem  32654  ldualssvsubcl  37967  lclkrlem2o  40330  mapdpglem6  40487  mapdpglem12  40492  hdmaprnlem7N  40664  hdmaprnlem8N  40665
  Copyright terms: Public domain W3C validator