Theorem lssvsubcl 19980

Description: Closure of vector subtraction in a subspace. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝑊)
lssvsubcl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssvsubcl	⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		lssvsubcl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lssel 19974	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
5	4	ad2ant2lr 748	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
6	2, 3	lssel 19974	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
7	6	ad2ant2l 746	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
9		lssvsubcl.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑊)
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
14	2, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lmodvsubval2 19954	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
15	1, 5, 7, 14	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
16	10	lmodfgrp 19908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
17	1, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
18		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
19	10, 18, 13	lmod1cl 19926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20	1, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
21	18, 12	grpinvcl 18415	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
22	17, 20, 21	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
23	2, 10, 11, 18	lmodvscl 19916	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
24	1, 22, 7, 23	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
25	2, 8	lmodcom 19945	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋))
26	1, 5, 24, 25	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋))
27		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
28		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑈)
29		simprl 771	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑈)
30	10, 18, 8, 11, 3	lsscl 19979	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)) → ((((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
31	27, 22, 28, 29, 30	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)(+g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
32	26, 31	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋(+g‘𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) ∈ 𝑈)
33	15, 32	eqeltrd 2838	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  +_gcplusg 16802  Scalarcsca 16805   ·_𝑠 cvsca 16806  Grpcgrp 18365  inv_gcminusg 18366  -_gcsg 18367  1_rcur 19516  LModclmod 19899  LSubSpclss 19968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-lmod 19901  df-lss 19969

This theorem is referenced by:  lssvancl1  19981  lss0cl  19983  lsmcv  20178  lspsolv  20180  lindsunlem  31419  ldualssvsubcl  36910  lclkrlem2o  39272  mapdpglem6  39429  mapdpglem12  39434  hdmaprnlem7N  39606  hdmaprnlem8N  39607