Theorem ltsintdifex 28000

Description: If 𝐴 <s 𝐵, then the intersection of all the ordinals that have differing signs in 𝐴 and 𝐵 exists. (Contributed by Scott Fenton, 22-Feb-2012.)

Assertion

Ref	Expression
ltsintdifex	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ V))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐵,𝑎

Proof of Theorem ltsintdifex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsval2 27995	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)})))
2		fvex 6890	. . . 4 ⊢ (𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) ∈ V
3		fvex 6890	. . . 4 ⊢ (𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) ∈ V
4	2, 3	brtp 5497	. . 3 ⊢ ((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) ↔ (((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 1o ∧ (𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = ∅) ∨ ((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 1o ∧ (𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 2o) ∨ ((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = ∅ ∧ (𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 2o)))
5		fvprc 6869	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ V → (𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = ∅)
6		1n0 8479	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ≠ ∅
7	6	neii 2958	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1o = ∅
8		eqeq1 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = ∅ → ((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 1o ↔ ∅ = 1o))
9		eqcom 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ = 1o ↔ 1o = ∅)
10	8, 9	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = ∅ → ((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 1o ↔ 1o = ∅))
11	7, 10	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = ∅ → ¬ (𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 1o)
12	5, 11	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ V → ¬ (𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 1o)
13	12	con4i 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 1o → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ V)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 1o ∧ (𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = ∅) → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ V)
15	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 1o ∧ (𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 2o) → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ V)
16		fvprc 6869	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ V → (𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = ∅)
17		2on0 8475	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ≠ ∅
18	17	neii 2958	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 2o = ∅
19		eqeq1 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = ∅ → ((𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 2o ↔ ∅ = 2o))
20		eqcom 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ = 2o ↔ 2o = ∅)
21	19, 20	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = ∅ → ((𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 2o ↔ 2o = ∅))
22	18, 21	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = ∅ → ¬ (𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 2o)
23	16, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ V → ¬ (𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 2o)
24	23	con4i 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 2o → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ V)
25	24	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = ∅ ∧ (𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 2o) → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ V)
26	14, 15, 25	3jaoi 1454	. . 3 ⊢ ((((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 1o ∧ (𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = ∅) ∨ ((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 1o ∧ (𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 2o) ∨ ((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = ∅ ∧ (𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) = 2o)) → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ V)
27	4, 26	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝐴‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝐵‘∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)}) → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ V)
28	1, 27	biimtrdi 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ∩ {𝑎 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑎) ≠ (𝐵‘𝑎)} ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {crab 3413  Vcvv 3451  ∅c0 4279  {ctp 4588  ⟨cop 4590  ∩ cint 4907   class class class wbr 5103  Oncon0 6355  ‘cfv 6531  1_oc1o 8453  2_oc2o 8454   No csur 27979   <s clts 27980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fv 6539  df-1o 8460  df-2o 8461  df-lts 27983

This theorem is used by:  ltsres  28001