MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noreson Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noreson 27163
Description: The restriction of a surreal to an ordinal is still a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 4-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
noreson ((𝐴 No 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem noreson
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elno 27149 . . 3 (𝐴 No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o})
2 onin 6396 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑥𝐵) ∈ On)
3 fresin 6761 . . . . . . . 8 (𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (𝐴𝐵):(𝑥𝐵)⟶{1o, 2o})
4 feq2 6700 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐵) → ((𝐴𝐵):𝑦⟶{1o, 2o} ↔ (𝐴𝐵):(𝑥𝐵)⟶{1o, 2o}))
54rspcev 3613 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵) ∈ On ∧ (𝐴𝐵):(𝑥𝐵)⟶{1o, 2o}) → ∃𝑦 ∈ On (𝐴𝐵):𝑦⟶{1o, 2o})
62, 3, 5syl2an 597 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o}) → ∃𝑦 ∈ On (𝐴𝐵):𝑦⟶{1o, 2o})
76an32s 651 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o}) ∧ 𝐵 ∈ On) → ∃𝑦 ∈ On (𝐴𝐵):𝑦⟶{1o, 2o})
87ex 414 . . . . 5 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o}) → (𝐵 ∈ On → ∃𝑦 ∈ On (𝐴𝐵):𝑦⟶{1o, 2o}))
98rexlimiva 3148 . . . 4 (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} → (𝐵 ∈ On → ∃𝑦 ∈ On (𝐴𝐵):𝑦⟶{1o, 2o}))
109imp 408 . . 3 ((∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1o, 2o} ∧ 𝐵 ∈ On) → ∃𝑦 ∈ On (𝐴𝐵):𝑦⟶{1o, 2o})
111, 10sylanb 582 . 2 ((𝐴 No 𝐵 ∈ On) → ∃𝑦 ∈ On (𝐴𝐵):𝑦⟶{1o, 2o})
12 elno 27149 . 2 ((𝐴𝐵) ∈ No ↔ ∃𝑦 ∈ On (𝐴𝐵):𝑦⟶{1o, 2o})
1311, 12sylibr 233 1 ((𝐴 No 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵) ∈ No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  wrex 3071  cin 3948  {cpr 4631  cres 5679  Oncon0 6365  wf 6540  1oc1o 8459  2oc2o 8460   No csur 27143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-no 27146
This theorem is referenced by:  sltres  27165  nodenselem6  27192  noresle  27200  nosupbnd1lem1  27211  nosupbnd1lem2  27212  nosupbnd1lem6  27216  nosupbnd1  27217  nosupbnd2lem1  27218  nosupbnd2  27219  noinfbnd1lem1  27226  noinfbnd1lem2  27227  noinfbnd1lem6  27231  noinfbnd1  27232  noinfbnd2lem1  27233  noinfbnd2  27234  nosupinfsep  27235  noetasuplem4  27239  noetainflem4  27243
  Copyright terms: Public domain W3C validator