Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mainer2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mainer2 38322
Description: The Main Theorem of Equivalences: every equivalence relation implies equivalent comembers. (Contributed by Peter Mazsa, 15-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
mainer2 (𝑅 ErALTV 𝐴 → ( CoElEqvRel 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem mainer2
StepHypRef Expression
1 fences2 38321 . 2 (𝑅 ErALTV 𝐴 → ( ElDisj 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴))
2 eldisjim 38260 . . 3 ( ElDisj 𝐴 → CoElEqvRel 𝐴)
32anim1i 613 . 2 (( ElDisj 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ( CoElEqvRel 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴))
41, 3syl 17 1 (𝑅 ErALTV 𝐴 → ( CoElEqvRel 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wcel 2098  c0 4324   CoElEqvRel wcoeleqvrel 37672   ErALTV werALTV 37679   ElDisj weldisj 37689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-rab 3429  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-id 5578  df-eprel 5584  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-ec 8731  df-qs 8735  df-coss 37887  df-coels 37888  df-refrel 37988  df-cnvrefrel 38003  df-symrel 38020  df-trrel 38050  df-eqvrel 38061  df-coeleqvrel 38063  df-dmqs 38115  df-erALTV 38140  df-comember 38142  df-funALTV 38158  df-disjALTV 38181  df-eldisj 38183  df-part 38242  df-membpart 38244
This theorem is referenced by:  mainerim  38323
  Copyright terms: Public domain W3C validator