Theorem mainer2 38943

Description: The Main Theorem of Equivalences: every equivalence relation implies equivalent comembers. (Contributed by Peter Mazsa, 15-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mainer2	⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 → ( CoElEqvRel 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴))

Proof of Theorem mainer2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fences2 38942	. 2 ⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 → ( ElDisj 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴))
2		eldisjim 38881	. . 3 ⊢ ( ElDisj 𝐴 → CoElEqvRel 𝐴)
3	2	anim1i 615	. 2 ⊢ (( ElDisj 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ( CoElEqvRel 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴))
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 → ( CoElEqvRel 𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ∅c0 4280   CoElEqvRel wcoeleqvrel 38240   ErALTV werALTV 38247   ElDisj weldisj 38257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-eprel 5514  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ec 8624  df-qs 8628  df-coss 38512  df-coels 38513  df-refrel 38603  df-cnvrefrel 38618  df-symrel 38635  df-trrel 38669  df-eqvrel 38680  df-coeleqvrel 38682  df-dmqs 38734  df-erALTV 38761  df-comember 38763  df-funALTV 38779  df-disjALTV 38802  df-eldisj 38804  df-part 38863  df-membpart 38865

This theorem is referenced by:  mainerim  38944