Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdvalc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdvalc 40964
Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval.k (𝜑 → (𝐾𝑋𝑊𝐻))
mapdval.t (𝜑𝑇𝑆)
mapdvalc.c 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
Assertion
Ref Expression
mapdvalc (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇})
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝐹   𝑓,𝑊   𝑓,𝑔,𝐹   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑇,𝑓   𝜑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑓,𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mapdvalc
StepHypRef Expression
1 mapdval.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdval.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdval.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4 mapdval.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5 mapdval.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6 mapdval.o . . 3 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdval.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdval.k . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑋𝑊𝐻))
9 mapdval.t . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mapdval 40963 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)})
11 anass 468 . . . 4 (((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ↔ (𝑓𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)))
12 mapdvalc.c . . . . . . . 8 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
1312lcfl1lem 40826 . . . . . . 7 (𝑓𝐶 ↔ (𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)))
1413anbi1i 623 . . . . . 6 ((𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ↔ ((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇))
1514bicomi 223 . . . . 5 (((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ↔ (𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇))
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ↔ (𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)))
1711, 16bitr3id 285 . . 3 (𝜑 → ((𝑓𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)) ↔ (𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)))
1817rabbidva2 3433 . 2 (𝜑 → {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)} = {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇})
1910, 18eqtrd 2771 1 (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  {crab 3431  wss 3948  cfv 6543  LSubSpclss 20774  LFnlclfn 38391  LKerclk 38419  LHypclh 39319  DVecHcdvh 40413  ocHcoch 40682  mapdcmpd 40959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-mapd 40960
This theorem is referenced by:  mapdval2N  40965  mapdordlem2  40972  mapdrval  40982
  Copyright terms: Public domain W3C validator