Theorem mapdvalc 42510

Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdval.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
mapdvalc.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}

Assertion

Ref	Expression
mapdvalc	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇})

Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝐹   𝑓,𝑊   𝑓,𝑔,𝐹   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑇,𝑓   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑓, 𝑔)   𝑆(𝑓, 𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓, 𝑔)   𝐻(𝑓, 𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑓, 𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem mapdvalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		mapdval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5		mapdval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6		mapdval.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdval.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		mapdval.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mapdval 42509	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇)})
11		anass 474	. . . 4 ⊢ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇)))
12		mapdvalc.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
13	12	lcfl1lem 42372	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)))
14	13	anbi1i 636	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇))
15	14	bicomi 227	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ↔ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇))
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ↔ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇)))
17	11, 16	bitr3id 288	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇)) ↔ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇)))
18	17	rabbidva2 3416	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇)} = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇})
19	10, 18	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  LSubSpclss 21121  LFnlclfn 39938  LKerclk 39966  LHypclh 40865  DVecHcdvh 41959  ocHcoch 42228  mapdcmpd 42505

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-mapd 42506

This theorem is used by:  mapdval2N  42511  mapdordlem2  42518  mapdrval  42528