Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdvalc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdvalc 41012
Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdval.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdval.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdval.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
mapdval.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
mapdval.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
mapdval.o 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdval.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdval.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdval.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
mapdvalc.c 𝐢 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)}
Assertion
Ref Expression
mapdvalc (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‡) = {𝑓 ∈ 𝐢 ∣ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) βŠ† 𝑇})
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝐹   𝑓,π‘Š   𝑓,𝑔,𝐹   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑇,𝑓   πœ‘,𝑓
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑔)   𝐢(𝑓,𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑔)   π‘ˆ(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑓,𝑔)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mapdvalc
StepHypRef Expression
1 mapdval.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdval.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdval.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
4 mapdval.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
5 mapdval.l . . 3 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
6 mapdval.o . . 3 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 mapdval.m . . 3 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 mapdval.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9 mapdval.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mapdval 41011 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‡) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) βŠ† 𝑇)})
11 anass 468 . . . 4 (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) βŠ† 𝑇) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) βŠ† 𝑇)))
12 mapdvalc.c . . . . . . . 8 𝐢 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)}
1312lcfl1lem 40874 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ 𝐢 ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)))
1413anbi1i 623 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ 𝐢 ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) βŠ† 𝑇) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) βŠ† 𝑇))
1514bicomi 223 . . . . 5 (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) βŠ† 𝑇) ↔ (𝑓 ∈ 𝐢 ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) βŠ† 𝑇))
1615a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) βŠ† 𝑇) ↔ (𝑓 ∈ 𝐢 ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) βŠ† 𝑇)))
1711, 16bitr3id 285 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) βŠ† 𝑇)) ↔ (𝑓 ∈ 𝐢 ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) βŠ† 𝑇)))
1817rabbidva2 3428 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) βŠ† 𝑇)} = {𝑓 ∈ 𝐢 ∣ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) βŠ† 𝑇})
1910, 18eqtrd 2766 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‡) = {𝑓 ∈ 𝐢 ∣ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) βŠ† 𝑇})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6536  LSubSpclss 20775  LFnlclfn 38439  LKerclk 38467  LHypclh 39367  DVecHcdvh 40461  ocHcoch 40730  mapdcmpd 41007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-mapd 41008
This theorem is referenced by:  mapdval2N  41013  mapdordlem2  41020  mapdrval  41030
  Copyright terms: Public domain W3C validator