Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdvalc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdvalc 38883
Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval.k (𝜑 → (𝐾𝑋𝑊𝐻))
mapdval.t (𝜑𝑇𝑆)
mapdvalc.c 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
Assertion
Ref Expression
mapdvalc (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇})
Distinct variable groups:   𝑓,𝐾   𝑓,𝐹   𝑓,𝑊   𝑓,𝑔,𝐹   𝑔,𝐿   𝑔,𝑂   𝑇,𝑓   𝜑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑓,𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mapdvalc
StepHypRef Expression
1 mapdval.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdval.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdval.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4 mapdval.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5 mapdval.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6 mapdval.o . . 3 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdval.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdval.k . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑋𝑊𝐻))
9 mapdval.t . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mapdval 38882 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)})
11 anass 472 . . . 4 (((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ↔ (𝑓𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)))
12 mapdvalc.c . . . . . . . 8 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
1312lcfl1lem 38745 . . . . . . 7 (𝑓𝐶 ↔ (𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)))
1413anbi1i 626 . . . . . 6 ((𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ↔ ((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇))
1514bicomi 227 . . . . 5 (((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ↔ (𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇))
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ↔ (𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)))
1711, 16bitr3id 288 . . 3 (𝜑 → ((𝑓𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)) ↔ (𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)))
1817rabbidva2 3451 . 2 (𝜑 → {𝑓𝐹 ∣ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)} = {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇})
1910, 18eqtrd 2857 1 (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  {crab 3134  wss 3908  cfv 6334  LSubSpclss 19694  LFnlclfn 36311  LKerclk 36339  LHypclh 37238  DVecHcdvh 38332  ocHcoch 38601  mapdcmpd 38878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pr 5307
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-mapd 38879
This theorem is referenced by:  mapdval2N  38884  mapdordlem2  38891  mapdrval  38901
  Copyright terms: Public domain W3C validator