Theorem mapdrval 40985

Description: Given a dual subspace 𝑅 (of functionals with closed kernels), reconstruct the subspace 𝑄 that maps to it. (Contributed by NM, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdrval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdrval.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdrval.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdrval.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdrval.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapdrval.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapdrval.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
mapdrval.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdrval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
mapdrval.e	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶)
mapdrval.q	⊢ 𝑄 = ∪ ℎ ∈ 𝑅 (𝑂‘(𝐿‘ℎ))

Assertion

Ref	Expression
mapdrval	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑄) = 𝑅)

Distinct variable groups:   𝑔,𝐹   𝑔,ℎ,𝐿   𝑔,𝑂,ℎ   𝑅,ℎ   𝑈,𝑔

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐶(𝑔,ℎ)   𝐷(𝑔,ℎ)   𝑄(𝑔,ℎ)   𝑅(𝑔)   𝑆(𝑔,ℎ)   𝑇(𝑔,ℎ)   𝑈(ℎ)   𝐹(ℎ)   𝐻(𝑔,ℎ)   𝐾(𝑔,ℎ)   𝑀(𝑔,ℎ)   𝑊(𝑔,ℎ)

Proof of Theorem mapdrval

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdrval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdrval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdrval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		mapdrval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5		mapdrval.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6		mapdrval.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdrval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdrval.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		mapdrval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
10		mapdrval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
11		mapdrval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
12		mapdrval.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = ∪ ℎ ∈ 𝑅 (𝑂‘(𝐿‘ℎ))
13		mapdrval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
14		mapdrval.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶)
15	1, 6, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 8, 13, 14	lcfr 40923	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 11	mapdvalc 40967	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑄) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄})
17		2fveq3 6896	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑖 → (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) = (𝑂‘(𝐿‘𝑖)))
18	17	cbviunv 5043	. . . 4 ⊢ ∪ ℎ ∈ 𝑅 (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑅 (𝑂‘(𝐿‘𝑖))
19	12, 18	eqtri 2759	. . 3 ⊢ 𝑄 = ∪ 𝑖 ∈ 𝑅 (𝑂‘(𝐿‘𝑖))
20		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
21		eqid 2731	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
22		eqid 2731	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
23		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
24		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
25	1, 6, 7, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 8, 13, 14, 19, 20, 21, 22, 23, 24	mapdrvallem3 40984	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄} = 𝑅)
26	16, 25	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑄) = 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431   ⊆ wss 3948  ∪ ciun 4997  ‘cfv 6543  Basecbs 17151  0_gc0g 17392  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814  LSAtomsclsa 38311  LFnlclfn 38394  LKerclk 38422  LDualcld 38460  HLchlt 38687  LHypclh 39322  DVecHcdvh 40416  ocHcoch 40685  mapdcmpd 40962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38290

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947  df-lsatoms 38313  df-lshyp 38314  df-lcv 38356  df-lfl 38395  df-lkr 38423  df-ldual 38461  df-oposet 38513  df-ol 38515  df-oml 38516  df-covers 38603  df-ats 38604  df-atl 38635  df-cvlat 38659  df-hlat 38688  df-llines 38836  df-lplanes 38837  df-lvols 38838  df-lines 38839  df-psubsp 38841  df-pmap 38842  df-padd 39134  df-lhyp 39326  df-laut 39327  df-ldil 39442  df-ltrn 39443  df-trl 39497  df-tgrp 40081  df-tendo 40093  df-edring 40095  df-dveca 40341  df-disoa 40367  df-dvech 40417  df-dib 40477  df-dic 40511  df-dih 40567  df-doch 40686  df-djh 40733  df-mapd 40963

This theorem is referenced by:  mapd1o  40986