Theorem mapdval2N 41735

Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdval2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdval2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval2.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdval2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
mapdval2.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}

Assertion

Ref	Expression
mapdval2N	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})

Distinct variable groups:   𝑣,𝐶   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝑔,𝐿   𝑣,𝑁   𝑔,𝑂,𝑣   𝑣,𝑓,𝑇   𝑣,𝑈   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝑆(𝑣,𝑓,𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑣)   𝐻(𝑣,𝑓,𝑔)   𝐾(𝑣,𝑔)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑓,𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑣,𝑔)

Proof of Theorem mapdval2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdval2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdval2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdval2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		mapdval2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5		mapdval2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6		mapdval2.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdval2.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdval2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		mapdval2.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
10		mapdval2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mapdvalc 41734	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇})
12	1, 2, 8	dvhlmod 41215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	12	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
14		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
16		mapdval2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
17		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
18	15, 16, 17	islsati 39099	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑈)(𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
19	13, 14, 18	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑈)(𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
20		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
21		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇)
22	20, 21	eqsstrrd 3965	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇)
23	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ LMod)
24	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑈 ∈ LMod)
25	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑇 ∈ 𝑆)
26	25	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑇 ∈ 𝑆)
27		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
28	15, 3, 16, 24, 26, 27	ellspsn5b 20934	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑣 ∈ 𝑇 ↔ (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇))
29	22, 28	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑣 ∈ 𝑇)
30	19, 29, 20	reximssdv 3150	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
31	30	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
32		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
33	32, 3	lss0cl 20886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑈) ∈ 𝑇)
34	12, 9, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ 𝑇)
35	34	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → (0g‘𝑈) ∈ 𝑇)
36		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)})
37	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → 𝑈 ∈ LMod)
38	32, 16	lspsn0 20947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
40	36, 39	eqtr4d 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
41		sneq 4585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (0g‘𝑈) → {𝑣} = {(0g‘𝑈)})
42	41	fveq2d 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
43	42	rspceeqv 3595	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘𝑈) ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)})) → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
44	35, 40, 43	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
45	44	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
46	45	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
47	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
48	10	lcfl1lem 41596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)))
49	48	simplbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 → 𝑓 ∈ 𝐹)
50	49	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑓 ∈ 𝐹)
51	1, 6, 2, 32, 17, 4, 5, 47, 50	dochsat0 41562	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}))
52	31, 46, 51	mpjaodan 960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
53		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
54	23	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑈 ∈ LMod)
55	25	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑇 ∈ 𝑆)
56		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ 𝑇)
57	3, 16, 54, 55, 56	ellspsn5 20935	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇)
58	53, 57	eqsstrd 3964	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇)
59	58	rexlimdv3a 3137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → (∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇))
60	52, 59	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
61	60	rabbidva 3401	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇} = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})
62	11, 61	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  {crab 3395   ⊆ wss 3897  {csn 4575  ‘cfv 6487  Basecbs 17126  0_gc0g 17349  LModclmod 20799  LSubSpclss 20870  LSpanclspn 20910  LSAtomsclsa 39079  LFnlclfn 39162  LKerclk 39190  HLchlt 39455  LHypclh 40089  DVecHcdvh 41183  ocHcoch 41452  mapdcmpd 41729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-riotaBAD 39058

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-undef 8209  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-fz 13414  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-0g 17351  df-proset 18206  df-poset 18225  df-plt 18240  df-lub 18256  df-glb 18257  df-join 18258  df-meet 18259  df-p0 18335  df-p1 18336  df-lat 18344  df-clat 18411  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-submnd 18698  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19042  df-cntz 19235  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20261  df-dvdsr 20281  df-unit 20282  df-invr 20312  df-dvr 20325  df-drng 20652  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lsp 20911  df-lvec 21043  df-lsatoms 39081  df-lshyp 39082  df-lfl 39163  df-lkr 39191  df-oposet 39281  df-ol 39283  df-oml 39284  df-covers 39371  df-ats 39372  df-atl 39403  df-cvlat 39427  df-hlat 39456  df-llines 39603  df-lplanes 39604  df-lvols 39605  df-lines 39606  df-psubsp 39608  df-pmap 39609  df-padd 39901  df-lhyp 40093  df-laut 40094  df-ldil 40209  df-ltrn 40210  df-trl 40264  df-tgrp 40848  df-tendo 40860  df-edring 40862  df-dveca 41108  df-disoa 41134  df-dvech 41184  df-dib 41244  df-dic 41278  df-dih 41334  df-doch 41453  df-djh 41500  df-mapd 41730

This theorem is referenced by:  mapdval3N  41736  mapdval4N  41737