Theorem mapdval2N 41632

Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdval2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdval2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval2.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdval2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
mapdval2.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}

Assertion

Ref	Expression
mapdval2N	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})

Distinct variable groups:   𝑣,𝐶   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝑔,𝐿   𝑣,𝑁   𝑔,𝑂,𝑣   𝑣,𝑓,𝑇   𝑣,𝑈   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝑆(𝑣,𝑓,𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑣)   𝐻(𝑣,𝑓,𝑔)   𝐾(𝑣,𝑔)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑓,𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑣,𝑔)

Proof of Theorem mapdval2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdval2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdval2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdval2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		mapdval2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5		mapdval2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6		mapdval2.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdval2.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdval2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		mapdval2.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
10		mapdval2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mapdvalc 41631	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇})
12	1, 2, 8	dvhlmod 41112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	12	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
14		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
16		mapdval2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
17		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
18	15, 16, 17	islsati 38995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑈)(𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
19	13, 14, 18	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑈)(𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
20		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
21		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇)
22	20, 21	eqsstrrd 4019	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇)
23	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ LMod)
24	23	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑈 ∈ LMod)
25	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑇 ∈ 𝑆)
26	25	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑇 ∈ 𝑆)
27		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
28	15, 3, 16, 24, 26, 27	ellspsn5b 20993	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑣 ∈ 𝑇 ↔ (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇))
29	22, 28	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑣 ∈ 𝑇)
30	19, 29, 20	reximssdv 3173	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
31	30	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
32		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
33	32, 3	lss0cl 20945	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑈) ∈ 𝑇)
34	12, 9, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ 𝑇)
35	34	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → (0g‘𝑈) ∈ 𝑇)
36		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)})
37	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → 𝑈 ∈ LMod)
38	32, 16	lspsn0 21006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
40	36, 39	eqtr4d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
41		sneq 4636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (0g‘𝑈) → {𝑣} = {(0g‘𝑈)})
42	41	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
43	42	rspceeqv 3645	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘𝑈) ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)})) → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
44	35, 40, 43	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
45	44	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
46	45	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
47	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
48	10	lcfl1lem 41493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)))
49	48	simplbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 → 𝑓 ∈ 𝐹)
50	49	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑓 ∈ 𝐹)
51	1, 6, 2, 32, 17, 4, 5, 47, 50	dochsat0 41459	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}))
52	31, 46, 51	mpjaodan 961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
53		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
54	23	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑈 ∈ LMod)
55	25	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑇 ∈ 𝑆)
56		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ 𝑇)
57	3, 16, 54, 55, 56	ellspsn5 20994	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇)
58	53, 57	eqsstrd 4018	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇)
59	58	rexlimdv3a 3159	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → (∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇))
60	52, 59	impbid 212	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
61	60	rabbidva 3443	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇} = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})
62	11, 61	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  {crab 3436   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LSAtomsclsa 38975  LFnlclfn 39058  LKerclk 39086  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  ocHcoch 41349  mapdcmpd 41626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lshyp 38978  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350  df-djh 41397  df-mapd 41627

This theorem is referenced by:  mapdval3N  41633  mapdval4N  41634