Theorem mapdval2N 38760

Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdval2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdval2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval2.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdval2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
mapdval2.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}

Assertion

Ref	Expression
mapdval2N	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})

Distinct variable groups:   𝑣,𝐶   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝑔,𝐿   𝑣,𝑁   𝑔,𝑂,𝑣   𝑣,𝑓,𝑇   𝑣,𝑈   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝑆(𝑣,𝑓,𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑣)   𝐻(𝑣,𝑓,𝑔)   𝐾(𝑣,𝑔)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑓,𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑣,𝑔)

Proof of Theorem mapdval2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdval2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdval2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdval2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		mapdval2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5		mapdval2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6		mapdval2.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdval2.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdval2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		mapdval2.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
10		mapdval2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mapdvalc 38759	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇})
12	1, 2, 8	dvhlmod 38240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	12	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
14		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
16		mapdval2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
17		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
18	15, 16, 17	islsati 36124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑈)(𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
19	13, 14, 18	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑈)(𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
20		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
21		simplr 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇)
22	20, 21	eqsstrrd 4006	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇)
23	12	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ LMod)
24	23	ad3antrrr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑈 ∈ LMod)
25	9	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑇 ∈ 𝑆)
26	25	ad3antrrr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑇 ∈ 𝑆)
27		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
28	15, 3, 16, 24, 26, 27	lspsnel5 19761	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑣 ∈ 𝑇 ↔ (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇))
29	22, 28	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑣 ∈ 𝑇)
30	19, 29, 20	reximssdv 3276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
31	30	ex 415	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
32		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
33	32, 3	lss0cl 19712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑈) ∈ 𝑇)
34	12, 9, 33	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ 𝑇)
35	34	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → (0g‘𝑈) ∈ 𝑇)
36		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)})
37	12	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → 𝑈 ∈ LMod)
38	32, 16	lspsn0 19774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
40	36, 39	eqtr4d 2859	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
41		sneq 4571	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (0g‘𝑈) → {𝑣} = {(0g‘𝑈)})
42	41	fveq2d 6669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
43	42	rspceeqv 3638	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘𝑈) ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)})) → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
44	35, 40, 43	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
45	44	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
46	45	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
47	8	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
48	10	lcfl1lem 38621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)))
49	48	simplbi 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 → 𝑓 ∈ 𝐹)
50	49	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑓 ∈ 𝐹)
51	1, 6, 2, 32, 17, 4, 5, 47, 50	dochsat0 38587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}))
52	31, 46, 51	mpjaodan 955	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
53		simp3 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
54	23	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑈 ∈ LMod)
55	25	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑇 ∈ 𝑆)
56		simp2 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ 𝑇)
57	3, 16, 54, 55, 56	lspsnel5a 19762	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇)
58	53, 57	eqsstrd 4005	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇)
59	58	rexlimdv3a 3286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → (∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇))
60	52, 59	impbid 214	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
61	60	rabbidva 3479	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇} = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})
62	11, 61	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139  {crab 3142   ⊆ wss 3936  {csn 4561  ‘cfv 6350  Basecbs 16477  0_gc0g 16707  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697  LSpanclspn 19737  LSAtomsclsa 36104  LFnlclfn 36187  LKerclk 36215  HLchlt 36480  LHypclh 37114  DVecHcdvh 38208  ocHcoch 38477  mapdcmpd 38754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-riotaBAD 36083

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-undef 7933  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-0g 16709  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-cntz 18441  df-lsm 18755  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19498  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-lvec 19869  df-lsatoms 36106  df-lshyp 36107  df-lfl 36188  df-lkr 36216  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-llines 36628  df-lplanes 36629  df-lvols 36630  df-lines 36631  df-psubsp 36633  df-pmap 36634  df-padd 36926  df-lhyp 37118  df-laut 37119  df-ldil 37234  df-ltrn 37235  df-trl 37289  df-tgrp 37873  df-tendo 37885  df-edring 37887  df-dveca 38133  df-disoa 38159  df-dvech 38209  df-dib 38269  df-dic 38303  df-dih 38359  df-doch 38478  df-djh 38525  df-mapd 38755

This theorem is referenced by:  mapdval3N  38761  mapdval4N  38762