Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdval2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdval2N 38217
 Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdval2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdval2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval2.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval2.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdval2.t (𝜑𝑇𝑆)
mapdval2.c 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
Assertion
Ref Expression
mapdval2N (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐶 ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})
Distinct variable groups:   𝑣,𝐶   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝑔,𝐿   𝑣,𝑁   𝑔,𝑂,𝑣   𝑣,𝑓,𝑇   𝑣,𝑈   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝑆(𝑣,𝑓,𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑣)   𝐻(𝑣,𝑓,𝑔)   𝐾(𝑣,𝑔)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑓,𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑣,𝑔)

Proof of Theorem mapdval2N
StepHypRef Expression
1 mapdval2.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdval2.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdval2.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4 mapdval2.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5 mapdval2.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6 mapdval2.o . . 3 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdval2.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdval2.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 mapdval2.t . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
10 mapdval2.c . . 3 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mapdvalc 38216 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇})
121, 2, 8dvhlmod 37697 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
1312ad3antrrr 717 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
14 simplr 756 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
16 mapdval2.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
17 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
1815, 16, 17islsati 35581 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑈)(𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
1913, 14, 18syl2anc 576 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑈)(𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
20 simprr 760 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
21 simplr 756 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)
2220, 21eqsstr3d 3896 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇)
2312adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐶) → 𝑈 ∈ LMod)
2423ad3antrrr 717 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑈 ∈ LMod)
259adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐶) → 𝑇𝑆)
2625ad3antrrr 717 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑇𝑆)
27 simprl 758 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
2815, 3, 16, 24, 26, 27lspsnel5 19489 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑣𝑇 ↔ (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇))
2922, 28mpbird 249 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑣𝑇)
3019, 29, 20reximssdv 3221 . . . . . 6 ((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) → ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
3130ex 405 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
32 eqid 2778 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑈) = (0g𝑈)
3332, 3lss0cl 19440 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) → (0g𝑈) ∈ 𝑇)
3412, 9, 33syl2anc 576 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝑈) ∈ 𝑇)
3534adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}) → (0g𝑈) ∈ 𝑇)
36 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)})
3712adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}) → 𝑈 ∈ LMod)
3832, 16lspsn0 19502 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝑈)})
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}) → (𝑁‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝑈)})
4036, 39eqtr4d 2817 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{(0g𝑈)}))
41 sneq 4451 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (0g𝑈) → {𝑣} = {(0g𝑈)})
4241fveq2d 6503 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (0g𝑈) → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{(0g𝑈)}))
4342rspceeqv 3553 . . . . . . . 8 (((0g𝑈) ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{(0g𝑈)})) → ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
4435, 40, 43syl2anc 576 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}) → ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
4544adantlr 702 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}) → ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
4645a1d 25 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}) → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
478adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐶) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4810lcfl1lem 38078 . . . . . . . 8 (𝑓𝐶 ↔ (𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)))
4948simplbi 490 . . . . . . 7 (𝑓𝐶𝑓𝐹)
5049adantl 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐶) → 𝑓𝐹)
511, 6, 2, 32, 17, 4, 5, 47, 50dochsat0 38044 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐶) → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}))
5231, 46, 51mpjaodan 941 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐶) → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
53 simp3 1118 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ 𝑣𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
54233ad2ant1 1113 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ 𝑣𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑈 ∈ LMod)
55253ad2ant1 1113 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ 𝑣𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑇𝑆)
56 simp2 1117 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ 𝑣𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑣𝑇)
573, 16, 54, 55, 56lspsnel5a 19490 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ 𝑣𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇)
5853, 57eqsstrd 3895 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ 𝑣𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)
5958rexlimdv3a 3231 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐶) → (∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇))
6052, 59impbid 204 . . 3 ((𝜑𝑓𝐶) → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇 ↔ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
6160rabbidva 3402 . 2 (𝜑 → {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇} = {𝑓𝐶 ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})
6211, 61eqtrd 2814 1 (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐶 ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∃wrex 3089  {crab 3092   ⊆ wss 3829  {csn 4441  ‘cfv 6188  Basecbs 16339  0gc0g 16569  LModclmod 19356  LSubSpclss 19425  LSpanclspn 19465  LSAtomsclsa 35561  LFnlclfn 35644  LKerclk 35672  HLchlt 35937  LHypclh 36571  DVecHcdvh 37665  ocHcoch 37934  mapdcmpd 38211 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-riotaBAD 35540 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-tpos 7695  df-undef 7742  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-0g 16571  df-proset 17396  df-poset 17414  df-plt 17426  df-lub 17442  df-glb 17443  df-join 17444  df-meet 17445  df-p0 17507  df-p1 17508  df-lat 17514  df-clat 17576  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-subg 18060  df-cntz 18218  df-lsm 18522  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-dvr 19156  df-drng 19227  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-lsp 19466  df-lvec 19597  df-lsatoms 35563  df-lshyp 35564  df-lfl 35645  df-lkr 35673  df-oposet 35763  df-ol 35765  df-oml 35766  df-covers 35853  df-ats 35854  df-atl 35885  df-cvlat 35909  df-hlat 35938  df-llines 36085  df-lplanes 36086  df-lvols 36087  df-lines 36088  df-psubsp 36090  df-pmap 36091  df-padd 36383  df-lhyp 36575  df-laut 36576  df-ldil 36691  df-ltrn 36692  df-trl 36746  df-tgrp 37330  df-tendo 37342  df-edring 37344  df-dveca 37590  df-disoa 37616  df-dvech 37666  df-dib 37726  df-dic 37760  df-dih 37816  df-doch 37935  df-djh 37982  df-mapd 38212 This theorem is referenced by:  mapdval3N  38218  mapdval4N  38219
 Copyright terms: Public domain W3C validator