Theorem mapdval2N 42655

Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdval2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdval2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval2.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdval2.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
mapdval2.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}

Assertion

Ref	Expression
mapdval2N	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})

Distinct variable groups:   𝑣,𝐶   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝑔,𝐿   𝑣,𝑁   𝑔,𝑂,𝑣   𝑣,𝑓,𝑇   𝑣,𝑈   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑓, 𝑔)   𝑆(𝑣, 𝑓, 𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓, 𝑔)   𝐹(𝑣)   𝐻(𝑣, 𝑓, 𝑔)   𝐾(𝑣, 𝑔)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣, 𝑓, 𝑔)   𝑁(𝑓, 𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑣, 𝑔)

Proof of Theorem mapdval2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdval2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdval2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdval2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		mapdval2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5		mapdval2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6		mapdval2.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		mapdval2.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdval2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		mapdval2.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
10		mapdval2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	mapdvalc 42654	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇})
12	1, 2, 8	dvhlmod 42135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	12	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
14		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
16		mapdval2.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
17		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
18	15, 16, 17	islsati 40019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑈)(𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
19	13, 14, 18	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑈)(𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
20		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
21		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇)
22	20, 21	eqsstrrd 3966	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇)
23	12	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ LMod)
24	23	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑈 ∈ LMod)
25	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑇 ∈ 𝑆)
26	25	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑇 ∈ 𝑆)
27		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
28	15, 3, 16, 24, 26, 27	ellspsn5b 21250	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑣 ∈ 𝑇 ↔ (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇))
29	22, 28	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑣 ∈ 𝑇)
30	19, 29, 20	reximssdv 3181	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇) → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
31	30	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
32		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
33	32, 3	lss0cl 21202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑆) → (0g‘𝑈) ∈ 𝑇)
34	12, 9, 33	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) ∈ 𝑇)
35	34	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → (0g‘𝑈) ∈ 𝑇)
36		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)})
37	12	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → 𝑈 ∈ LMod)
38	32, 16	lspsn0 21263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
39	37, 38	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
40	36, 39	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
41		sneq 4594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (0g‘𝑈) → {𝑣} = {(0g‘𝑈)})
42	41	fveq2d 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (0g‘𝑈) → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
43	42	rspceeqv 3599	. . . . . . . 8 ⊢ (((0g‘𝑈) ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)})) → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
44	35, 40, 43	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
45	44	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
46	45	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
47	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
48	10	lcfl1lem 42516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)))
49	48	simplbi 502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 → 𝑓 ∈ 𝐹)
50	49	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → 𝑓 ∈ 𝐹)
51	1, 6, 2, 32, 17, 4, 5, 47, 50	dochsat0 42482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = {(0g‘𝑈)}))
52	31, 46, 51	mpjaodan 973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
53		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
54	23	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑈 ∈ LMod)
55	25	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑇 ∈ 𝑆)
56		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ 𝑇)
57	3, 16, 54, 55, 56	ellspsn5 21251	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇)
58	53, 57	eqsstrd 3965	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇)
59	58	rexlimdv3a 3168	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → (∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇))
60	52, 59	impbid 215	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶) → ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇 ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
61	60	rabbidva 3419	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑇} = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})
62	11, 61	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  {crab 3413   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  0_gc0g 17590  LModclmod 21115  LSubSpclss 21186  LSpanclspn 21226  LSAtomsclsa 39999  LFnlclfn 40082  LKerclk 40110  HLchlt 40375  LHypclh 41009  DVecHcdvh 42103  ocHcoch 42372  mapdcmpd 42649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-riotaBAD 39978

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-0g 17592  df-proset 18448  df-poset 18467  df-plt 18482  df-lub 18498  df-glb 18499  df-join 18500  df-meet 18501  df-p0 18577  df-p1 18578  df-lat 18586  df-clat 18653  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-subg 19313  df-cntz 19511  df-lsm 19830  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-dvr 20611  df-drng 20962  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-lvec 21358  df-lsatoms 40001  df-lshyp 40002  df-lfl 40083  df-lkr 40111  df-oposet 40201  df-ol 40203  df-oml 40204  df-covers 40291  df-ats 40292  df-atl 40323  df-cvlat 40347  df-hlat 40376  df-llines 40523  df-lplanes 40524  df-lvols 40525  df-lines 40526  df-psubsp 40528  df-pmap 40529  df-padd 40821  df-lhyp 41013  df-laut 41014  df-ldil 41129  df-ltrn 41130  df-trl 41184  df-tgrp 41768  df-tendo 41780  df-edring 41782  df-dveca 42028  df-disoa 42054  df-dvech 42104  df-dib 42164  df-dic 42198  df-dih 42254  df-doch 42373  df-djh 42420  df-mapd 42650

This theorem is used by:  mapdval3N  42656  mapdval4N  42657