Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdval2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdval2N 38874
Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdval2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval2.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdval2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval2.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval2.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval2.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdval2.t (𝜑𝑇𝑆)
mapdval2.c 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
Assertion
Ref Expression
mapdval2N (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐶 ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})
Distinct variable groups:   𝑣,𝐶   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝑔,𝐿   𝑣,𝑁   𝑔,𝑂,𝑣   𝑣,𝑓,𝑇   𝑣,𝑈   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐶(𝑓,𝑔)   𝑆(𝑣,𝑓,𝑔)   𝑇(𝑔)   𝑈(𝑓,𝑔)   𝐹(𝑣)   𝐻(𝑣,𝑓,𝑔)   𝐾(𝑣,𝑔)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣,𝑓,𝑔)   𝑁(𝑓,𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑣,𝑔)

Proof of Theorem mapdval2N
StepHypRef Expression
1 mapdval2.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdval2.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdval2.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4 mapdval2.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
5 mapdval2.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6 mapdval2.o . . 3 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdval2.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdval2.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 mapdval2.t . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
10 mapdval2.c . . 3 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mapdvalc 38873 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇})
121, 2, 8dvhlmod 38354 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
1312ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) → 𝑈 ∈ LMod)
14 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
16 mapdval2.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
17 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
1815, 16, 17islsati 36238 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑈)(𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
1913, 14, 18syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) → ∃𝑣 ∈ (Base‘𝑈)(𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
20 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
21 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)
2220, 21eqsstrrd 3992 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇)
2312adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐶) → 𝑈 ∈ LMod)
2423ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑈 ∈ LMod)
259adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐶) → 𝑇𝑆)
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑇𝑆)
27 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
2815, 3, 16, 24, 26, 27lspsnel5 19767 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → (𝑣𝑇 ↔ (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇))
2922, 28mpbird 260 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) ∧ (𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))) → 𝑣𝑇)
3019, 29, 20reximssdv 3268 . . . . . 6 ((((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇) → ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
3130ex 416 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
32 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑈) = (0g𝑈)
3332, 3lss0cl 19718 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) → (0g𝑈) ∈ 𝑇)
3412, 9, 33syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝑈) ∈ 𝑇)
3534adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}) → (0g𝑈) ∈ 𝑇)
36 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)})
3712adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}) → 𝑈 ∈ LMod)
3832, 16lspsn0 19780 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝑈)})
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}) → (𝑁‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝑈)})
4036, 39eqtr4d 2862 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{(0g𝑈)}))
41 sneq 4560 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (0g𝑈) → {𝑣} = {(0g𝑈)})
4241fveq2d 6665 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (0g𝑈) → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{(0g𝑈)}))
4342rspceeqv 3624 . . . . . . . 8 (((0g𝑈) ∈ 𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{(0g𝑈)})) → ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
4435, 40, 43syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}) → ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
4544adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}) → ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
4645a1d 25 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}) → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
478adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐶) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4810lcfl1lem 38735 . . . . . . . 8 (𝑓𝐶 ↔ (𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)))
4948simplbi 501 . . . . . . 7 (𝑓𝐶𝑓𝐹)
5049adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐶) → 𝑓𝐹)
511, 6, 2, 32, 17, 4, 5, 47, 50dochsat0 38701 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐶) → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ∨ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = {(0g𝑈)}))
5231, 46, 51mpjaodan 956 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐶) → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇 → ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
53 simp3 1135 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ 𝑣𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}))
54233ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ 𝑣𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑈 ∈ LMod)
55253ad2ant1 1130 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ 𝑣𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑇𝑆)
56 simp2 1134 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ 𝑣𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → 𝑣𝑇)
573, 16, 54, 55, 56lspsnel5a 19768 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ 𝑣𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑇)
5853, 57eqsstrd 3991 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐶) ∧ 𝑣𝑇 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇)
5958rexlimdv3a 3278 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐶) → (∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣}) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇))
6052, 59impbid 215 . . 3 ((𝜑𝑓𝐶) → ((𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇 ↔ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})))
6160rabbidva 3463 . 2 (𝜑 → {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑇} = {𝑓𝐶 ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})
6211, 61eqtrd 2859 1 (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐶 ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑣})})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134  {crab 3137  wss 3919  {csn 4550  cfv 6343  Basecbs 16483  0gc0g 16713  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LSpanclspn 19743  LSAtomsclsa 36218  LFnlclfn 36301  LKerclk 36329  HLchlt 36594  LHypclh 37228  DVecHcdvh 38322  ocHcoch 38591  mapdcmpd 38868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-riotaBAD 36197
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-undef 7935  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lsatoms 36220  df-lshyp 36221  df-lfl 36302  df-lkr 36330  df-oposet 36420  df-ol 36422  df-oml 36423  df-covers 36510  df-ats 36511  df-atl 36542  df-cvlat 36566  df-hlat 36595  df-llines 36742  df-lplanes 36743  df-lvols 36744  df-lines 36745  df-psubsp 36747  df-pmap 36748  df-padd 37040  df-lhyp 37232  df-laut 37233  df-ldil 37348  df-ltrn 37349  df-trl 37403  df-tgrp 37987  df-tendo 37999  df-edring 38001  df-dveca 38247  df-disoa 38273  df-dvech 38323  df-dib 38383  df-dic 38417  df-dih 38473  df-doch 38592  df-djh 38639  df-mapd 38869
This theorem is referenced by:  mapdval3N  38875  mapdval4N  38876
  Copyright terms: Public domain W3C validator