Theorem mptexf 46066

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. Inference version of mptexg 7220. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptexf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
mptexf.2	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptexf	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem mptexf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptexf.2	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mptexf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3	2	mptexgf 7221	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2907  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5186

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541

This theorem is used by:  limsupequzmpt2  46546  liminfequzmpt2  46619  smflimsuplem2  47649  smflimsuplem5  47652