Theorem mptexf 40967

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. Inference version of mptexg 6808. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptexf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
mptexf.2	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptexf	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem mptexf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptexf.2	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mptexf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3	2	mptexgf 6809	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2051  Ⅎwnfc 2909  Vcvv 3408   ↦ cmpt 5004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pr 5182

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193

This theorem is referenced by:  limsupequzmpt2  41462  liminfequzmpt2  41535  smflimsuplem2  42558  smflimsuplem5  42561