Theorem mptexf 45666

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. Inference version of mptexg 7176. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptexf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
mptexf.2	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptexf	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem mptexf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptexf.2	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mptexf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3	2	mptexgf 7177	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2883  Vcvv 3429   ↦ cmpt 5166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506

This theorem is referenced by:  limsupequzmpt2  46146  liminfequzmpt2  46219  smflimsuplem2  47249  smflimsuplem5  47252