Theorem mptexf 45181

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. Inference version of mptexg 7241. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptexf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
mptexf.2	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptexf	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem mptexf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptexf.2	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mptexf.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3	2	mptexgf 7242	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2888  Vcvv 3478   ↦ cmpt 5231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571

This theorem is referenced by:  limsupequzmpt2  45674  liminfequzmpt2  45747  smflimsuplem2  46777  smflimsuplem5  46780