Theorem mptexg 7258

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6616	. 2 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	2	dmmptss 6272	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
4		ssexg 5341	. . 3 ⊢ ((dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
5	3, 4	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
6		funex 7256	. 2 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 586	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700  Fun wfun 6567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  mptex  7260  mptexd  7261  ovmpt3rab1  7708  offval  7723  abrexexgOLD  8002  xpexgALT  8022  offval3  8023  suppssov1  8238  suppssov2  8239  suppssfv  8243  iunon  8395  onoviun  8399  mptelixpg  8993  cantnfp1lem1  9747  updjud  10003  coftr  10342  axcc3  10507  reps  14818  wrd2f1tovbij  15009  restval  17486  resf1st  17958  resf2nd  17959  funcres  17960  vrmdfval  18891  symgfixfolem1  19480  pmtrval  19493  pmtrrn  19499  pmtrfrn  19500  sylow1lem4  19643  sylow3lem2  19670  sylow3lem3  19671  funcrngcsetc  20662  funcringcsetc  20696  uvcfval  21827  uvcval  21828  uvcff  21834  uvcresum  21836  psrass1lem  21975  opsrval  22087  selvfval  22161  psropprmul  22260  mavmuldm  22577  mat2pmatfval  22750  cpm2mfval  22776  chpmatfval  22857  ntrfval  23053  clsfval  23054  neifval  23128  lpfval  23167  ptcnplem  23650  upxp  23652  fmfnfmlem3  23985  fmfnfmlem4  23986  ustuqtoplem  24269  ustuqtop0  24270  utopsnneiplem  24277  rrxmval  25458  tayl0  26421  itgulm2  26470  efabl  26610  tgjustr  28500  lmif  28811  islmib  28813  nbusgrf1o1  29405  cusgrfilem3  29493  vtxdgfval  29503  wlkiswwlks2  29908  wwlksnextbij  29935  clwlkclwwlklem1  30031  grpoinvfval  30554  acunirnmpt  32677  acunirnmpt2  32678  acunirnmpt2f  32679  aciunf1lem  32680  fnpreimac  32689  mptiffisupp  32705  frlmdim  33624  indv  33976  indval  33977  ofcfval3  34066  omsval  34258  carsgclctunlem2  34284  pmeasadd  34290  sitgclg  34307  bnj1366  34805  ptpconn  35201  fwddifval  36126  tailfval  36338  curfv  37560  matunitlindflem1  37576  matunitlindflem2  37577  upixp  37689  pw2f1ocnv  42994  kelac1  43020  rfovd  43963  fsovrfovd  43971  dssmapfvd  43979  dssmapfv2d  43980  fmulcl  45502  fmuldfeqlem1  45503  dvnmul  45864  dvnprodlem2  45868  stoweidlem31  45952  stoweidlem42  45963  stoweidlem48  45969  etransclem1  46156  etransclem4  46159  etransclem13  46168  etransclem17  46172  0ome  46450  hoicvr  46469  hsphoif  46497  hsphoival  46500  hoidmvlelem2  46517  hoidmvlelem3  46518  ovnhoilem1  46522  ovnhoilem2  46523  ovnlecvr2  46531  ovncvr2  46532  hoidifhspval2  46536  hspmbllem2  46548  fundcmpsurinjALT  47286  sprbisymrel  47373  uspgrbisymrelALT  47878  scmsuppss  48097  rmfsupp  48099  scmfsupp  48103  mptcfsupp  48105  lincresunit2  48207  itcoval0mpt  48400  eufsn  48555