Theorem mptexg 7227

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6578	. 2 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	2	dmmptss 6242	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
4		ssexg 5280	. . 3 ⊢ ((dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
5	3, 4	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
6		funex 7225	. 2 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 599	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  Fun wfun 6532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546

This theorem is used by:  mptex  7229  mptexd  7230  ovmpt3rab1  7679  offval  7702  xpexgALT  7993  offval3  7994  suppssov1  8217  suppssov2  8218  suppssfv  8222  iunon  8350  onoviun  8354  curfv  8895  mptelixpg  8966  cantnfp1lem1  9682  updjud  10018  coftr  10354  axcc3  10519  indv  12325  indval  12326  reps  14925  wrd2f1tovbij  15118  restval  17602  resf1st  18074  resf2nd  18075  funcres  18076  vrmdfval  19057  symgfixfolem1  19657  pmtrval  19670  pmtrrn  19676  pmtrfrn  19677  sylow1lem4  19820  sylow3lem2  19847  sylow3lem3  19848  funcrngcsetc  20897  funcringcsetc  20931  uvcfval  22095  uvcval  22096  uvcff  22102  uvcresum  22104  psrass1lem  22246  opsrval  22360  selvfval  22433  psropprmul  22560  mavmuldm  22870  matunitlindflem1  22999  matunitlindflem2  23000  mat2pmatfval  23046  cpm2mfval  23072  chpmatfval  23153  ntrfval  23347  clsfval  23348  neifval  23422  lpfval  23461  ptcnplem  23945  upxp  23947  fmfnfmlem3  24280  fmfnfmlem4  24281  ustuqtoplem  24563  ustuqtop0  24564  utopsnneiplem  24571  rrxmval  25731  tayl0  26694  itgulm2  26741  efabl  26883  tgjustr  28941  lmif  29295  islmib  29297  nbusgrf1o1  29956  cusgrfilem3  30043  vtxdgfval  30053  wlkiswwlks2  30469  wwlksnextbij  30496  clwlkclwwlklem1  30595  grpoinvfval  31129  acunirnmpt  33300  acunirnmpt2  33301  aciunf1lem  33303  fnpreimac  33311  mptiffisupp  33333  frlmdim  34289  ofcfval3  34780  omsval  34971  carsgclctunlem2  34997  pmeasadd  35003  sitgclg  35020  bnj1366  35505  fwddifval  37019  tailfval  37252  upixp  38756  pw2f1ocnv  44137  kelac1  44158  rfovd  45094  fsovrfovd  45102  dssmapfvd  45110  dssmapfv2d  45111  fmulcl  46686  fmuldfeqlem1  46687  dvnmul  47046  dvnprodlem2  47050  stoweidlem31  47134  stoweidlem42  47145  stoweidlem48  47151  etransclem1  47338  etransclem4  47341  etransclem13  47350  etransclem17  47354  0ome  47632  hsphoif  47679  hsphoival  47682  hoidmvlelem2  47699  hoidmvlelem3  47700  ovnhoilem1  47704  ovnhoilem2  47705  ovnlecvr2  47713  ovncvr2  47714  hoidifhspval2  47718  hspmbllem2  47730  fundcmpsurinjALT  48587  sprbisymrel  48674  uspgrbisymrelALT  49346  scmsuppss  49576  rmfsupp  49578  scmfsupp  49580  mptcfsupp  49582  lincresunit2  49683  itcoval0mpt  49871  eufsn  50046