MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptexg 7172
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
mptexg (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexg
StepHypRef Expression
1 funmpt 6540 . 2 Fun (𝑥𝐴𝐵)
2 eqid 2733 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
32dmmptss 6194 . . 3 dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
4 ssexg 5281 . . 3 ((dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝐴𝐴𝑉) → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
53, 4mpan 689 . 2 (𝐴𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
6 funex 7170 . 2 ((Fun (𝑥𝐴𝐵) ∧ dom (𝑥𝐴𝐵) ∈ V) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
71, 5, 6sylancr 588 1 (𝐴𝑉 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  Vcvv 3444  wss 3911  cmpt 5189  dom cdm 5634  Fun wfun 6491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505
This theorem is referenced by:  mptex  7174  mptexd  7175  ovmpt3rab1  7612  offval  7627  abrexexgOLD  7895  xpexgALT  7915  offval3  7916  suppssov1  8130  suppssfv  8134  iunon  8286  onoviun  8290  mptelixpg  8876  cantnfp1lem1  9619  updjud  9875  coftr  10214  axcc3  10379  reps  14664  wrd2f1tovbij  14855  restval  17313  resf1st  17785  resf2nd  17786  funcres  17787  vrmdfval  18671  symgfixfolem1  19225  pmtrval  19238  pmtrrn  19244  pmtrfrn  19245  sylow1lem4  19388  sylow3lem2  19415  sylow3lem3  19416  uvcfval  21206  uvcval  21207  uvcff  21213  uvcresum  21215  psrass1lemOLD  21358  psrass1lem  21361  opsrval  21463  selvfval  21543  psropprmul  21625  mavmuldm  21915  mat2pmatfval  22088  cpm2mfval  22114  chpmatfval  22195  ntrfval  22391  clsfval  22392  neifval  22466  lpfval  22505  ptcnplem  22988  upxp  22990  fmfnfmlem3  23323  fmfnfmlem4  23324  ustuqtoplem  23607  ustuqtop0  23608  utopsnneiplem  23615  rrxmval  24785  tdeglem4OLD  25441  tayl0  25737  itgulm2  25784  efabl  25922  tgjustr  27458  lmif  27769  islmib  27771  nbusgrf1o1  28360  cusgrfilem3  28447  vtxdgfval  28457  wlkiswwlks2  28862  wwlksnextbij  28889  clwlkclwwlklem1  28985  grpoinvfval  29506  acunirnmpt  31621  acunirnmpt2  31622  acunirnmpt2f  31623  aciunf1lem  31624  fnpreimac  31633  mptiffisupp  31654  frlmdim  32363  indv  32668  indval  32669  ofcfval3  32758  omsval  32950  carsgclctunlem2  32976  pmeasadd  32982  sitgclg  32999  bnj1366  33498  ptpconn  33884  fwddifval  34793  tailfval  34890  curfv  36104  matunitlindflem1  36120  matunitlindflem2  36121  upixp  36234  pw2f1ocnv  41404  kelac1  41433  rfovd  42361  fsovrfovd  42369  dssmapfvd  42377  dssmapfv2d  42378  fmulcl  43908  fmuldfeqlem1  43909  dvnmul  44270  dvnprodlem2  44274  stoweidlem31  44358  stoweidlem42  44369  stoweidlem48  44375  etransclem1  44562  etransclem4  44565  etransclem13  44574  etransclem17  44578  0ome  44856  hoicvr  44875  hsphoif  44903  hsphoival  44906  hoidmvlelem2  44923  hoidmvlelem3  44924  ovnhoilem1  44928  ovnhoilem2  44929  ovnlecvr2  44937  ovncvr2  44938  hoidifhspval2  44942  hspmbllem2  44954  fundcmpsurinjALT  45690  sprbisymrel  45777  uspgrbisymrelALT  46143  funcrngcsetc  46382  funcringcsetc  46419  scmsuppss  46534  rmfsupp  46536  scmfsupp  46540  mptcfsupp  46542  lincresunit2  46645  itcoval0mpt  46838  eufsn  46994
  Copyright terms: Public domain W3C validator