Theorem mptexg 7201

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6555	. 2 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	2	dmmptss 6224	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
4		ssexg 5278	. . 3 ⊢ ((dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
5	3, 4	mpan 700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
6		funex 7199	. 2 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645  Fun wfun 6511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525

This theorem is referenced by:  mptex  7203  mptexd  7204  ovmpt3rab1  7650  offval  7665  xpexgALT  7958  offval3  7959  suppssov1  8172  suppssov2  8173  suppssfv  8177  iunon  8305  onoviun  8309  mptelixpg  8913  cantnfp1lem1  9630  updjud  9889  coftr  10227  axcc3  10392  indv  12194  indval  12195  reps  14780  wrd2f1tovbij  14970  restval  17438  resf1st  17910  resf2nd  17911  funcres  17912  vrmdfval  18873  symgfixfolem1  19461  pmtrval  19474  pmtrrn  19480  pmtrfrn  19481  sylow1lem4  19624  sylow3lem2  19651  sylow3lem3  19652  funcrngcsetc  20669  funcringcsetc  20703  uvcfval  21816  uvcval  21817  uvcff  21823  uvcresum  21825  psrass1lem  21965  opsrval  22079  selvfval  22152  psropprmul  22279  mavmuldm  22590  mat2pmatfval  22763  cpm2mfval  22789  chpmatfval  22870  ntrfval  23064  clsfval  23065  neifval  23139  lpfval  23178  ptcnplem  23661  upxp  23663  fmfnfmlem3  23996  fmfnfmlem4  23997  ustuqtoplem  24279  ustuqtop0  24280  utopsnneiplem  24287  rrxmval  25447  tayl0  26402  itgulm2  26449  efabl  26592  tgjustr  28620  lmif  28931  islmib  28933  nbusgrf1o1  29517  cusgrfilem3  29604  vtxdgfval  29614  wlkiswwlks2  30021  wwlksnextbij  30048  clwlkclwwlklem1  30147  grpoinvfval  30671  acunirnmpt  32811  acunirnmpt2  32812  acunirnmpt2f  32813  aciunf1lem  32814  fnpreimac  32822  mptiffisupp  32845  frlmdim  33869  ofcfval3  34360  omsval  34551  carsgclctunlem2  34577  pmeasadd  34583  sitgclg  34600  bnj1366  35088  ptpconn  35547  fwddifval  36476  tailfval  36696  curfv  38063  matunitlindflem1  38079  matunitlindflem2  38080  upixp  38192  pw2f1ocnv  43578  kelac1  43604  rfovd  44541  fsovrfovd  44549  dssmapfvd  44557  dssmapfv2d  44558  fmulcl  46121  fmuldfeqlem1  46122  dvnmul  46481  dvnprodlem2  46485  stoweidlem31  46569  stoweidlem42  46580  stoweidlem48  46586  etransclem1  46773  etransclem4  46776  etransclem13  46785  etransclem17  46789  0ome  47067  hsphoif  47114  hsphoival  47117  hoidmvlelem2  47134  hoidmvlelem3  47135  ovnhoilem1  47139  ovnhoilem2  47140  ovnlecvr2  47148  ovncvr2  47149  hoidifhspval2  47153  hspmbllem2  47165  fundcmpsurinjALT  47982  sprbisymrel  48069  uspgrbisymrelALT  48741  scmsuppss  48957  rmfsupp  48959  scmfsupp  48961  mptcfsupp  48963  lincresunit2  49064  itcoval0mpt  49252  eufsn  49427