Theorem mptexg 7015

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6396	. 2 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	2	dmmptss 6084	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
4		ssexg 5201	. . 3 ⊢ ((dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
6		funex 7013	. 2 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 590	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398   ⊆ wss 3853   ↦ cmpt 5120  dom cdm 5536  Fun wfun 6352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366

This theorem is referenced by:  mptex  7017  mptexd  7018  ovmpt3rab1  7441  offval  7455  abrexexg  7712  xpexgALT  7732  offval3  7733  suppssov1  7918  suppssfv  7922  iunon  8054  onoviun  8058  mptelixpg  8594  cantnfp1lem1  9271  updjud  9515  coftr  9852  axcc3  10017  reps  14300  wrd2f1tovbij  14492  restval  16885  resf1st  17354  resf2nd  17355  funcres  17356  vrmdfval  18237  symgfixfolem1  18784  pmtrval  18797  pmtrrn  18803  pmtrfrn  18804  sylow1lem4  18944  sylow3lem2  18971  sylow3lem3  18972  uvcfval  20700  uvcval  20701  uvcff  20707  uvcresum  20709  psrass1lemOLD  20853  psrass1lem  20856  opsrval  20957  selvfval  21031  psropprmul  21113  mavmuldm  21401  mat2pmatfval  21574  cpm2mfval  21600  chpmatfval  21681  ntrfval  21875  clsfval  21876  neifval  21950  lpfval  21989  ptcnplem  22472  upxp  22474  fmfnfmlem3  22807  fmfnfmlem4  22808  ustuqtoplem  23091  ustuqtop0  23092  utopsnneiplem  23099  rrxmval  24256  tdeglem4OLD  24912  tayl0  25208  itgulm2  25255  efabl  25393  tgjustr  26519  lmif  26830  islmib  26832  nbusgrf1o1  27412  cusgrfilem3  27499  vtxdgfval  27509  wlkiswwlks2  27913  wwlksnextbij  27940  clwlkclwwlklem1  28036  grpoinvfval  28557  acunirnmpt  30670  acunirnmpt2  30671  acunirnmpt2f  30672  aciunf1lem  30673  fnpreimac  30682  frlmdim  31362  indv  31646  indval  31647  ofcfval3  31736  omsval  31926  carsgclctunlem2  31952  pmeasadd  31958  sitgclg  31975  bnj1366  32476  ptpconn  32862  fwddifval  34150  tailfval  34247  curfv  35443  matunitlindflem1  35459  matunitlindflem2  35460  upixp  35573  pw2f1ocnv  40503  kelac1  40532  rfovd  41227  fsovrfovd  41235  dssmapfvd  41243  dssmapfv2d  41244  fmulcl  42740  fmuldfeqlem1  42741  dvnmul  43102  dvnprodlem2  43106  stoweidlem31  43190  stoweidlem42  43201  stoweidlem48  43207  etransclem1  43394  etransclem4  43397  etransclem13  43406  etransclem17  43410  0ome  43685  hoicvr  43704  hsphoif  43732  hsphoival  43735  hoidmvlelem2  43752  hoidmvlelem3  43753  ovnhoilem1  43757  ovnhoilem2  43758  ovnlecvr2  43766  ovncvr2  43767  hoidifhspval2  43771  hspmbllem2  43783  fundcmpsurinjALT  44480  sprbisymrel  44567  uspgrbisymrelALT  44933  funcrngcsetc  45172  funcringcsetc  45209  scmsuppss  45324  rmfsupp  45326  scmfsupp  45330  mptcfsupp  45332  lincresunit2  45435  itcoval0mpt  45628  eufsn  45785