Theorem mptexg 7221

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6576	. 2 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	2	dmmptss 6244	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
4		ssexg 5291	. . 3 ⊢ ((dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
5	3, 4	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
6		funex 7219	. 2 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 598	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5663  Fun wfun 6532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546

This theorem is referenced by:  mptex  7223  mptexd  7224  ovmpt3rab1  7670  offval  7685  xpexgALT  7979  offval3  7980  suppssov1  8194  suppssov2  8195  suppssfv  8199  iunon  8327  onoviun  8331  mptelixpg  8934  cantnfp1lem1  9648  updjud  9921  coftr  10258  axcc3  10423  indv  12221  indval  12222  reps  14809  wrd2f1tovbij  14999  restval  17480  resf1st  17952  resf2nd  17953  funcres  17954  vrmdfval  18916  symgfixfolem1  19509  pmtrval  19522  pmtrrn  19528  pmtrfrn  19529  sylow1lem4  19672  sylow3lem2  19699  sylow3lem3  19700  funcrngcsetc  20726  funcringcsetc  20760  uvcfval  21915  uvcval  21916  uvcff  21922  uvcresum  21924  psrass1lem  22064  opsrval  22178  selvfval  22251  psropprmul  22378  mavmuldm  22688  mat2pmatfval  22861  cpm2mfval  22887  chpmatfval  22968  ntrfval  23162  clsfval  23163  neifval  23237  lpfval  23276  ptcnplem  23759  upxp  23761  fmfnfmlem3  24094  fmfnfmlem4  24095  ustuqtoplem  24377  ustuqtop0  24378  utopsnneiplem  24385  rrxmval  25545  tayl0  26503  itgulm2  26550  efabl  26693  tgjustr  28721  lmif  29072  islmib  29074  nbusgrf1o1  29698  cusgrfilem3  29785  vtxdgfval  29795  wlkiswwlks2  30202  wwlksnextbij  30229  clwlkclwwlklem1  30328  grpoinvfval  30852  acunirnmpt  32982  acunirnmpt2  32983  acunirnmpt2f  32984  aciunf1lem  32985  fnpreimac  32993  mptiffisupp  33016  frlmdim  33979  ofcfval3  34470  omsval  34661  carsgclctunlem2  34687  pmeasadd  34693  sitgclg  34710  bnj1366  35195  ptpconn  35703  fwddifval  36632  tailfval  36861  curfv  38229  matunitlindflem1  38245  matunitlindflem2  38246  upixp  38358  pw2f1ocnv  43744  kelac1  43770  rfovd  44707  fsovrfovd  44715  dssmapfvd  44723  dssmapfv2d  44724  fmulcl  46277  fmuldfeqlem1  46278  dvnmul  46637  dvnprodlem2  46641  stoweidlem31  46725  stoweidlem42  46736  stoweidlem48  46742  etransclem1  46929  etransclem4  46932  etransclem13  46941  etransclem17  46945  0ome  47223  hsphoif  47270  hsphoival  47273  hoidmvlelem2  47290  hoidmvlelem3  47291  ovnhoilem1  47295  ovnhoilem2  47296  ovnlecvr2  47304  ovncvr2  47305  hoidifhspval2  47309  hspmbllem2  47321  fundcmpsurinjALT  48138  sprbisymrel  48225  uspgrbisymrelALT  48897  scmsuppss  49128  rmfsupp  49130  scmfsupp  49132  mptcfsupp  49134  lincresunit2  49235  itcoval0mpt  49423  eufsn  49597