Theorem mptexg 7218

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6579	. 2 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	2	dmmptss 6235	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
4		ssexg 5298	. . 3 ⊢ ((dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
6		funex 7216	. 2 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931   ↦ cmpt 5206  dom cdm 5659  Fun wfun 6530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544

This theorem is referenced by:  mptex  7220  mptexd  7221  ovmpt3rab1  7670  offval  7685  abrexexgOLD  7965  xpexgALT  7985  offval3  7986  suppssov1  8201  suppssov2  8202  suppssfv  8206  iunon  8358  onoviun  8362  mptelixpg  8954  cantnfp1lem1  9697  updjud  9953  coftr  10292  axcc3  10457  reps  14793  wrd2f1tovbij  14984  restval  17445  resf1st  17912  resf2nd  17913  funcres  17914  vrmdfval  18839  symgfixfolem1  19424  pmtrval  19437  pmtrrn  19443  pmtrfrn  19444  sylow1lem4  19587  sylow3lem2  19614  sylow3lem3  19615  funcrngcsetc  20605  funcringcsetc  20639  uvcfval  21749  uvcval  21750  uvcff  21756  uvcresum  21758  psrass1lem  21897  opsrval  22009  selvfval  22077  psropprmul  22178  mavmuldm  22493  mat2pmatfval  22666  cpm2mfval  22692  chpmatfval  22773  ntrfval  22967  clsfval  22968  neifval  23042  lpfval  23081  ptcnplem  23564  upxp  23566  fmfnfmlem3  23899  fmfnfmlem4  23900  ustuqtoplem  24183  ustuqtop0  24184  utopsnneiplem  24191  rrxmval  25362  tayl0  26326  itgulm2  26375  efabl  26516  tgjustr  28458  lmif  28769  islmib  28771  nbusgrf1o1  29354  cusgrfilem3  29442  vtxdgfval  29452  wlkiswwlks2  29862  wwlksnextbij  29889  clwlkclwwlklem1  29985  grpoinvfval  30508  acunirnmpt  32642  acunirnmpt2  32643  acunirnmpt2f  32644  aciunf1lem  32645  fnpreimac  32654  mptiffisupp  32675  indv  32834  indval  32835  frlmdim  33656  ofcfval3  34138  omsval  34330  carsgclctunlem2  34356  pmeasadd  34362  sitgclg  34379  bnj1366  34865  ptpconn  35260  fwddifval  36185  tailfval  36395  curfv  37629  matunitlindflem1  37645  matunitlindflem2  37646  upixp  37758  pw2f1ocnv  43036  kelac1  43062  rfovd  44000  fsovrfovd  44008  dssmapfvd  44016  dssmapfv2d  44017  fmulcl  45590  fmuldfeqlem1  45591  dvnmul  45952  dvnprodlem2  45956  stoweidlem31  46040  stoweidlem42  46051  stoweidlem48  46057  etransclem1  46244  etransclem4  46247  etransclem13  46256  etransclem17  46260  0ome  46538  hoicvr  46557  hsphoif  46585  hsphoival  46588  hoidmvlelem2  46605  hoidmvlelem3  46606  ovnhoilem1  46610  ovnhoilem2  46611  ovnlecvr2  46619  ovncvr2  46620  hoidifhspval2  46624  hspmbllem2  46636  fundcmpsurinjALT  47406  sprbisymrel  47493  uspgrbisymrelALT  48110  scmsuppss  48326  rmfsupp  48328  scmfsupp  48330  mptcfsupp  48332  lincresunit2  48434  itcoval0mpt  48626  eufsn  48800