Theorem mptexg 7155

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mptexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mptexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6519	. 2 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	2	dmmptss 6188	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
4		ssexg 5261	. . 3 ⊢ ((dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
6		funex 7153	. 2 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5172  dom cdm 5616  Fun wfun 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489

This theorem is referenced by:  mptex  7157  mptexd  7158  ovmpt3rab1  7604  offval  7619  xpexgALT  7913  offval3  7914  suppssov1  8127  suppssov2  8128  suppssfv  8132  iunon  8259  onoviun  8263  mptelixpg  8859  cantnfp1lem1  9568  updjud  9824  coftr  10161  axcc3  10326  reps  14674  wrd2f1tovbij  14864  restval  17327  resf1st  17798  resf2nd  17799  funcres  17800  vrmdfval  18761  symgfixfolem1  19348  pmtrval  19361  pmtrrn  19367  pmtrfrn  19368  sylow1lem4  19511  sylow3lem2  19538  sylow3lem3  19539  funcrngcsetc  20553  funcringcsetc  20587  uvcfval  21719  uvcval  21720  uvcff  21726  uvcresum  21728  psrass1lem  21867  opsrval  21979  selvfval  22047  psropprmul  22148  mavmuldm  22463  mat2pmatfval  22636  cpm2mfval  22662  chpmatfval  22743  ntrfval  22937  clsfval  22938  neifval  23012  lpfval  23051  ptcnplem  23534  upxp  23536  fmfnfmlem3  23869  fmfnfmlem4  23870  ustuqtoplem  24152  ustuqtop0  24153  utopsnneiplem  24160  rrxmval  25330  tayl0  26294  itgulm2  26343  efabl  26484  tgjustr  28450  lmif  28761  islmib  28763  nbusgrf1o1  29346  cusgrfilem3  29434  vtxdgfval  29444  wlkiswwlks2  29851  wwlksnextbij  29878  clwlkclwwlklem1  29974  grpoinvfval  30497  acunirnmpt  32636  acunirnmpt2  32637  acunirnmpt2f  32638  aciunf1lem  32639  fnpreimac  32648  mptiffisupp  32669  indv  32828  indval  32829  frlmdim  33619  ofcfval3  34110  omsval  34301  carsgclctunlem2  34327  pmeasadd  34333  sitgclg  34350  bnj1366  34836  ptpconn  35265  fwddifval  36195  tailfval  36405  curfv  37639  matunitlindflem1  37655  matunitlindflem2  37656  upixp  37768  pw2f1ocnv  43069  kelac1  43095  rfovd  44033  fsovrfovd  44041  dssmapfvd  44049  dssmapfv2d  44050  fmulcl  45620  fmuldfeqlem1  45621  dvnmul  45980  dvnprodlem2  45984  stoweidlem31  46068  stoweidlem42  46079  stoweidlem48  46085  etransclem1  46272  etransclem4  46275  etransclem13  46284  etransclem17  46288  0ome  46566  hoicvr  46585  hsphoif  46613  hsphoival  46616  hoidmvlelem2  46633  hoidmvlelem3  46634  ovnhoilem1  46638  ovnhoilem2  46639  ovnlecvr2  46647  ovncvr2  46648  hoidifhspval2  46652  hspmbllem2  46664  fundcmpsurinjALT  47442  sprbisymrel  47529  uspgrbisymrelALT  48185  scmsuppss  48401  rmfsupp  48403  scmfsupp  48405  mptcfsupp  48407  lincresunit2  48509  itcoval0mpt  48697  eufsn  48872