Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfequzmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfequzmpt2 42420
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfequzmpt2.j 𝑗𝜑
liminfequzmpt2.o 𝑗𝐴
liminfequzmpt2.p 𝑗𝐵
liminfequzmpt2.a 𝐴 = (ℤ𝑀)
liminfequzmpt2.b 𝐵 = (ℤ𝑁)
liminfequzmpt2.k (𝜑𝐾𝐴)
liminfequzmpt2.e (𝜑𝐾𝐵)
liminfequzmpt2.c ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐶𝑉)
Assertion
Ref Expression
liminfequzmpt2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑗𝐴𝐶)) = (lim inf‘(𝑗𝐵𝐶)))
Distinct variable group:   𝑗,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝑀(𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem liminfequzmpt2
StepHypRef Expression
1 liminfequzmpt2.j . . . . . . . . 9 𝑗𝜑
2 liminfequzmpt2.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = (ℤ𝑀)
3 liminfequzmpt2.k . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾𝐴)
42, 3uzssd2 42041 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ 𝐴)
54adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ𝐾) ⊆ 𝐴)
6 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝐾))
75, 6sseldd 3919 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗𝐴)
8 liminfequzmpt2.c . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐶𝑉)
98elexd 3464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐶 ∈ V)
107, 9jca 515 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗𝐴𝐶 ∈ V))
11 rabid 3334 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↔ (𝑗𝐴𝐶 ∈ V))
1210, 11sylibr 237 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V})
1312ex 416 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V}))
141, 13ralrimi 3183 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V})
15 nfcv 2958 . . . . . . . . 9 𝑗(ℤ𝐾)
16 nfrab1 3340 . . . . . . . . 9 𝑗{𝑗𝐴𝐶 ∈ V}
1715, 16dfss3f 3909 . . . . . . . 8 ((ℤ𝐾) ⊆ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V})
1814, 17sylibr 237 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V})
1916, 15resmptf 5878 . . . . . . 7 ((ℤ𝐾) ⊆ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} → ((𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾)) = (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾)) = (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶))
2120eqcomd 2807 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶) = ((𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾)))
2221fveq2d 6653 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘(𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶)) = (lim inf‘((𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾))))
232, 3eluzelz2d 42037 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
24 eqid 2801 . . . . 5 (ℤ𝐾) = (ℤ𝐾)
25 liminfequzmpt2.o . . . . . . . 8 𝑗𝐴
262fvexi 6663 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V
2725, 26rabexf 41757 . . . . . . 7 {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ∈ V
2816, 27mptexf 41860 . . . . . 6 (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ∈ V
2928a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ∈ V)
30 eqid 2801 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)
3116, 30dmmptssf 41855 . . . . . . 7 dom (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ⊆ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V}
3225ssrab2f 41739 . . . . . . . 8 {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ⊆ 𝐴
33 uzssz 12256 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
342, 33eqsstri 3952 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ ℤ
3532, 34sstri 3927 . . . . . . 7 {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ⊆ ℤ
3631, 35sstri 3927 . . . . . 6 dom (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ⊆ ℤ
3736a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ⊆ ℤ)
3823, 24, 29, 37liminfresuz2 42416 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘((𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾))) = (lim inf‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)))
3922, 38eqtr2d 2837 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)) = (lim inf‘(𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶)))
40 liminfequzmpt2.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (ℤ𝑁)
41 liminfequzmpt2.e . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾𝐵)
4240, 41uzssd2 42041 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ 𝐵)
4342adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ𝐾) ⊆ 𝐵)
4443, 6sseldd 3919 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗𝐵)
4544, 9jca 515 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗𝐵𝐶 ∈ V))
46 rabid 3334 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↔ (𝑗𝐵𝐶 ∈ V))
4745, 46sylibr 237 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V})
4847ex 416 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V}))
491, 48ralrimi 3183 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V})
50 nfrab1 3340 . . . . . . . . 9 𝑗{𝑗𝐵𝐶 ∈ V}
5115, 50dfss3f 3909 . . . . . . . 8 ((ℤ𝐾) ⊆ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V})
5249, 51sylibr 237 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V})
5350, 15resmptf 5878 . . . . . . 7 ((ℤ𝐾) ⊆ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} → ((𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾)) = (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶))
5452, 53syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾)) = (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶))
5554eqcomd 2807 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶) = ((𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾)))
5655fveq2d 6653 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘(𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶)) = (lim inf‘((𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾))))
57 liminfequzmpt2.p . . . . . . . 8 𝑗𝐵
5840fvexi 6663 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
5957, 58rabexf 41757 . . . . . . 7 {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ∈ V
6050, 59mptexf 41860 . . . . . 6 (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ∈ V
6160a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ∈ V)
62 eqid 2801 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)
6350, 62dmmptssf 41855 . . . . . . 7 dom (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ⊆ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V}
6457ssrab2f 41739 . . . . . . . 8 {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ⊆ 𝐵
65 uzssz 12256 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑁) ⊆ ℤ
6640, 65eqsstri 3952 . . . . . . . 8 𝐵 ⊆ ℤ
6764, 66sstri 3927 . . . . . . 7 {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ⊆ ℤ
6863, 67sstri 3927 . . . . . 6 dom (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ⊆ ℤ
6968a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ⊆ ℤ)
7023, 24, 61, 69liminfresuz2 42416 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘((𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾))) = (lim inf‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)))
7156, 70eqtr2d 2837 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)) = (lim inf‘(𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶)))
7239, 71eqtr4d 2839 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)) = (lim inf‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)))
73 eqid 2801 . . . . 5 {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} = {𝑗𝐴𝐶 ∈ V}
7425, 73mptssid 41864 . . . 4 (𝑗𝐴𝐶) = (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)
7574fveq2i 6652 . . 3 (lim inf‘(𝑗𝐴𝐶)) = (lim inf‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶))
7675a1i 11 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑗𝐴𝐶)) = (lim inf‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)))
77 eqid 2801 . . . . 5 {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} = {𝑗𝐵𝐶 ∈ V}
7857, 77mptssid 41864 . . . 4 (𝑗𝐵𝐶) = (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)
7978fveq2i 6652 . . 3 (lim inf‘(𝑗𝐵𝐶)) = (lim inf‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶))
8079a1i 11 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑗𝐵𝐶)) = (lim inf‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)))
8172, 76, 803eqtr4d 2846 1 (𝜑 → (lim inf‘(𝑗𝐴𝐶)) = (lim inf‘(𝑗𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wnf 1785  wcel 2112  wnfc 2939  wral 3109  {crab 3113  Vcvv 3444  wss 3884  cmpt 5113  dom cdm 5523  cres 5525  cfv 6328  cz 11973  cuz 12235  lim infclsi 42380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-ico 12736  df-liminf 42381
This theorem is referenced by:  smfliminfmpt  43450
  Copyright terms: Public domain W3C validator