Theorem mptexgf 7151

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptexgf.a	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
mptexgf	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem mptexgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6514	. 2 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	2	dmmpt 6182	. . . 4 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
4		tru 1545	. . . . . . 7 ⊢ ⊤
5	4	2a1i 12	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ V → ⊤))
6	5	ss2rabi 4022	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ⊤}
7		mptexgf.a	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
8	7	rabtru 3640	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ⊤} = 𝐴
9	6, 8	sseqtri 3978	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} ⊆ 𝐴
10	3, 9	eqsstri 3976	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
11		ssexg 5256	. . 3 ⊢ ((dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
12	10, 11	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
13		funex 7148	. 2 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
14	1, 12, 13	sylancr 587	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2879  {crab 3395  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5611  Fun wfun 6470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484

This theorem is referenced by:  esumrnmpt2  34073  exrecfnlem  37413  mptexf  45274