Theorem mptexgf 6757

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by FL, 6-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptexgf.a	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
mptexgf	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem mptexgf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 6173	. 2 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3	2	dmmpt 5884	. . . 4 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V}
4		trud 1612	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → ⊤)
5	4	rgenw 3106	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ V → ⊤)
6		ss2rab 3899	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ⊤} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐵 ∈ V → ⊤))
7	5, 6	mpbir 223	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ⊤}
8		mptexgf.a	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
9	8	rabtru 3569	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ⊤} = 𝐴
10	7, 9	sseqtri 3856	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝐵 ∈ V} ⊆ 𝐴
11	3, 10	eqsstri 3854	. . 3 ⊢ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴
12		ssexg 5041	. . 3 ⊢ ((dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
13	11, 12	mpan 680	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
14		funex 6754	. 2 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
15	1, 13, 14	sylancr 581	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4  ⊤wtru 1602   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2919  ∀wral 3090  {crab 3094  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792   ↦ cmpt 4965  dom cdm 5355  Fun wfun 6129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pr 5138

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143

This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2OLDOLD  27783  esumrnmpt2  30728  mptexf  40360