Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimsuplem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimsuplem5 44749
Description: 𝐻 converges to the superior limit of 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimsuplem5.a 𝑛𝜑
smflimsuplem5.b 𝑚𝜑
smflimsuplem5.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem5.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimsuplem5.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem5.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem5.e 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem5.h 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
smflimsuplem5.r (𝜑 → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
smflimsuplem5.n (𝜑𝑁𝑍)
smflimsuplem5.x (𝜑𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚))
Assertion
Ref Expression
smflimsuplem5 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑀   𝑚,𝑁,𝑛   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem smflimsuplem5
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smflimsuplem5.a . . 3 𝑛𝜑
2 smflimsuplem5.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑍)
3 smflimsuplem5.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑀)
43eleq2i 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
54biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑁𝑍𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 uzss 12711 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁𝑍 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
87, 3sseqtrrdi 3987 . . . . . . . 8 (𝑁𝑍 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
92, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝑁) ⊆ 𝑍)
109sselda 3936 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛𝑍)
11 smflimsuplem5.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
12 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑍
13 nfrab1 3423 . . . . . . . . . . 11 𝑥{𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
1412, 13nfmpt 5204 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
1511, 14nfcxfr 2903 . . . . . . . . 9 𝑥𝐸
16 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑥𝑛
1715, 16nffv 6840 . . . . . . . 8 𝑥(𝐸𝑛)
18 fvex 6843 . . . . . . . 8 (𝐸𝑛) ∈ V
1917, 18mptexf 43159 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ V
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ V)
21 smflimsuplem5.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
2221fvmpt2 6947 . . . . . 6 ((𝑛𝑍 ∧ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ V) → (𝐻𝑛) = (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
2310, 20, 22syl2anc 585 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐻𝑛) = (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
2423fveq1d 6832 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐻𝑛)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))‘𝑋))
25 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑦(𝐸𝑛)
26 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑦sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )
27 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑥sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < )
28 fveq2 6830 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
2928mpteq2dv 5199 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
3029rneqd 5884 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
3130supeq1d 9308 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ))
3217, 25, 26, 27, 31cbvmptf 5206 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑦 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ))
33 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝑋𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑦 = 𝑋)
3433fveq2d 6834 . . . . . . . 8 ((𝑦 = 𝑋𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑦) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
3534mpteq2dva 5197 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
3635rneqd 5884 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
3736supeq1d 9308 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ))
3837eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
39 uzss 12711 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑁))
40 iinss1 4961 . . . . . . . . . . 11 ((ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑁) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
4241adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
43 smflimsuplem5.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚))
4443adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚))
4542, 44sseldd 3937 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
46 smflimsuplem5.b . . . . . . . . . . 11 𝑚𝜑
47 nfv 1917 . . . . . . . . . . 11 𝑚 𝑛 ∈ (ℤ𝑁)
4846, 47nfan 1902 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁))
49 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
50 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
5139sselda 3936 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑁))
5251adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑁))
53 smflimsuplem5.s . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
5453adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑆 ∈ SAlg)
55 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝜑)
569sselda 3936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑚𝑍)
57 smflimsuplem5.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5857ffvelcdmda 7022 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
5955, 56, 58syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
60 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑚)
6154, 59, 60smff 44657 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
62 eliin 4951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚) → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚)))
6343, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)dom (𝐹𝑚) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚)))
6443, 63mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚))
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚))
66 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑁))
67 rspa 3228 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑁)𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚))
6865, 66, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚))
6961, 68ffvelcdmd 7023 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ)
7050, 52, 69syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ)
71 eluzelz 12698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
7271adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
73 smflimsuplem5.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7473adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
75 fvex 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
7748, 72, 74, 49, 3, 70, 76limsupequzmpt 43656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) = (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
78 smflimsuplem5.r . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
7978adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
8077, 79eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
8180renepnfd 11132 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ≠ +∞)
8248, 49, 70, 81limsupubuzmpt 43646 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ≤ 𝑦)
83 uzid2 43330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
8483ne0d 4287 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
8584adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
8648, 85, 70supxrre3rnmpt 43354 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ≤ 𝑦))
8782, 86mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
8838, 45, 87elrabd 3640 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋 ∈ {𝑦 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
89 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 = 𝑥𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑦 = 𝑥)
9089fveq2d 6834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 = 𝑥𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑦) = ((𝐹𝑚)‘𝑥))
9190mpteq2dva 5197 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
9291rneqd 5884 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
9392supeq1d 9308 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))
9493eleq1d 2822 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
9594cbvrabv 3414 . . . . . . 7 {𝑦 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
9688, 95eleqtrdi 2848 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
97 eqid 2737 . . . . . . . 8 {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
98 fvex 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝑚) ∈ V
9998dmex 7831 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹𝑚) ∈ V
10099rgenw 3066 . . . . . . . . . . 11 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
101100a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
10284, 101iinexd 43053 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
103102adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
10497, 103rabexd 5282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ∈ V)
10511fvmpt2 6947 . . . . . . 7 ((𝑛𝑍 ∧ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ∈ V) → (𝐸𝑛) = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
10610, 104, 105syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐸𝑛) = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
10796, 106eleqtrrd 2841 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑋 ∈ (𝐸𝑛))
10832, 37, 107, 87fvmptd3 6959 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))‘𝑋) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ))
10924, 108eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐻𝑛)‘𝑋) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ))
1101, 109mpteq2da 5195 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) = (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < )))
1113eluzelz2 43328 . . . 4 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
1122, 111syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
113 eqid 2737 . . 3 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
11475a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
11575a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
11646, 112, 73, 113, 3, 114, 115limsupequzmpt 43656 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) = (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
117116, 78eqeltrd 2838 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
11846, 112, 113, 69, 117supcnvlimsupmpt 43668 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < )) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
119110, 118eqbrtrd 5119 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑋)) ⇝ (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑁) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  {crab 3404  Vcvv 3442  wss 3902  c0 4274   ciin 4947   class class class wbr 5097  cmpt 5180  dom cdm 5625  ran crn 5626  wf 6480  cfv 6484  supcsup 9302  cr 10976  *cxr 11114   < clt 11115  cle 11116  cz 12425  cuz 12688  lim supclsp 15279  cli 15293  SAlgcsalg 44235  SMblFncsmblfn 44620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-pm 8694  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-sup 9304  df-inf 9305  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-ioo 13189  df-ico 13191  df-fz 13346  df-fl 13618  df-ceil 13619  df-seq 13828  df-exp 13889  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-limsup 15280  df-clim 15297  df-smblfn 44621
This theorem is referenced by:  smflimsuplem6  44750  smflimsuplem8  44752
  Copyright terms: Public domain W3C validator