Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimsuplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimsuplem2 46836
Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimsuplem2.p 𝑚𝜑
smflimsuplem2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimsuplem2.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem2.e 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem2.h 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
smflimsuplem2.n (𝜑𝑛𝑍)
smflimsuplem2.r (𝜑 → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
smflimsuplem2.x (𝜑𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
Assertion
Ref Expression
smflimsuplem2 (𝜑𝑋 ∈ dom (𝐻𝑛))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑚,𝑀   𝑚,𝑋   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem smflimsuplem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smflimsuplem2.x . . . 4 (𝜑𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
2 smflimsuplem2.p . . . . . 6 𝑚𝜑
3 eqid 2737 . . . . . 6 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
4 smflimsuplem2.n . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑛𝑍)
5 smflimsuplem2.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
64, 5eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
7 uzss 12901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑀))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑀))
98, 5sseqtrrdi 4025 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
109adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
11 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛))
1210, 11sseldd 3984 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
13 smflimsuplem2.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
15 smflimsuplem2.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
1615ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ (SMblFn‘𝑆))
17 eqid 2737 . . . . . . . . 9 dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑚)
1814, 16, 17smff 46747 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
1912, 18syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
20 iinss2 5057 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ⊆ dom (𝐹𝑚))
2120adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ⊆ dom (𝐹𝑚))
221adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
2321, 22sseldd 3984 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚))
2419, 23ffvelcdmd 7105 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ)
25 nfmpt1 5250 . . . . . . . . 9 𝑚(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))
26 nfmpt1 5250 . . . . . . . . 9 𝑚(𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))
27 eluzelz 12888 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
286, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑛 ∈ ℤ)
29 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))
302, 24, 29fmptdf 7137 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)):(ℤ𝑛)⟶ℝ)
3130ffnd 6737 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) Fn (ℤ𝑛))
32 smflimsuplem2.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
33 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑚(ℤ𝑀)
34 fvexd 6921 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
3533, 2, 34mptfnd 45248 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) Fn (ℤ𝑀))
3629a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
37 fvexd 6921 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V)
3836, 37fvmpt2d 7029 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
3912, 5eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
40 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))
4140fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ V) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
4239, 37, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
4338, 42eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑚) = ((𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑚))
442, 25, 26, 28, 31, 32, 35, 28, 43limsupequz 45738 . . . . . . . 8 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) = (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
455eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) = 𝑍
4645mpteq1i 5238 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))
4746fveq2i 6909 . . . . . . . . 9 (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) = (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
4847a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑀) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) = (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
4944, 48eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) = (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))))
50 smflimsuplem2.r . . . . . . . 8 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ∈ ℝ)
5150renepnfd 11312 . . . . . . 7 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ≠ +∞)
5249, 51eqnetrd 3008 . . . . . 6 (𝜑 → (lim sup‘(𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))) ≠ +∞)
532, 3, 24, 52limsupubuzmpt 45734 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ≤ 𝑦)
54 uzid 12893 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
55 ne0i 4341 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ𝑛) → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
5628, 54, 553syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
572, 56, 24supxrre3rnmpt 45440 . . . . 5 (𝜑 → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ≤ 𝑦))
5853, 57mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
591, 58jca 511 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
60 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
6160mpteq2dv 5244 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
6261rneqd 5949 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
6362supeq1d 9486 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ))
6463eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
6564cbvrabv 3447 . . . . 5 {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑦 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
6665eleq2i 2833 . . . 4 (𝑋 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↔ 𝑋 ∈ {𝑦 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
67 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑋 → ((𝐹𝑚)‘𝑦) = ((𝐹𝑚)‘𝑋))
6867mpteq2dv 5244 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
6968rneqd 5949 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)))
7069supeq1d 9486 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ))
7170eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
7271elrab 3692 . . . 4 (𝑋 ∈ {𝑦 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↔ (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
7366, 72bitri 275 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↔ (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
7459, 73sylibr 234 . 2 (𝜑𝑋 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
75 id 22 . . . . 5 (𝜑𝜑)
76 smflimsuplem2.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
7776a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))))
78 smflimsuplem2.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
79 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑍
80 nfrab1 3457 . . . . . . . . . . 11 𝑥{𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
8179, 80nfmpt 5249 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
8278, 81nfcxfr 2903 . . . . . . . . 9 𝑥𝐸
83 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑥𝑛
8482, 83nffv 6916 . . . . . . . 8 𝑥(𝐸𝑛)
85 fvex 6919 . . . . . . . 8 (𝐸𝑛) ∈ V
8684, 85mptexf 45243 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ V
8786a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ V)
8877, 87fvmpt2d 7029 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
8975, 4, 88syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝑛) = (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
9089dmeqd 5916 . . 3 (𝜑 → dom (𝐻𝑛) = dom (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
91 nfcv 2905 . . . . 5 𝑦(𝐸𝑛)
92 nfcv 2905 . . . . 5 𝑦sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )
93 nfcv 2905 . . . . 5 𝑥sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < )
9484, 91, 92, 93, 63cbvmptf 5251 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑦 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ))
95 xrltso 13183 . . . . . 6 < Or ℝ*
9695supex 9503 . . . . 5 sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ V
9796a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐸𝑛)) → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ V)
9894, 97dmmptd 6713 . . 3 (𝜑 → dom (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝐸𝑛))
99 eqid 2737 . . . . 5 {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
100 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑚) ∈ V
101100dmex 7931 . . . . . . . 8 dom (𝐹𝑚) ∈ V
102101rgenw 3065 . . . . . . 7 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
103102a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
10456, 103iinexd 45138 . . . . 5 (𝜑 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
10599, 104rabexd 5340 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ∈ V)
10678fvmpt2 7027 . . . 4 ((𝑛𝑍 ∧ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ∈ V) → (𝐸𝑛) = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
1074, 105, 106syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐸𝑛) = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
10890, 98, 1073eqtrrd 2782 . 2 (𝜑 → {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = dom (𝐻𝑛))
10974, 108eleqtrd 2843 1 (𝜑𝑋 ∈ dom (𝐻𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333   ciin 4992   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  wf 6557  cfv 6561  supcsup 9480  cr 11154  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cz 12613  cuz 12878  lim supclsp 15506  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-limsup 15507  df-smblfn 46711
This theorem is referenced by:  smflimsuplem7  46841
  Copyright terms: Public domain W3C validator