Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupequzmpt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupequzmpt2 44049
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupequzmpt2.j 𝑗𝜑
limsupequzmpt2.o 𝑗𝐴
limsupequzmpt2.p 𝑗𝐵
limsupequzmpt2.a 𝐴 = (ℤ𝑀)
limsupequzmpt2.b 𝐵 = (ℤ𝑁)
limsupequzmpt2.k (𝜑𝐾𝐴)
limsupequzmpt2.e (𝜑𝐾𝐵)
limsupequzmpt2.c ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐶𝑉)
Assertion
Ref Expression
limsupequzmpt2 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝐴𝐶)) = (lim sup‘(𝑗𝐵𝐶)))
Distinct variable group:   𝑗,𝐾
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝑀(𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem limsupequzmpt2
StepHypRef Expression
1 limsupequzmpt2.j . . . . . . . . 9 𝑗𝜑
2 limsupequzmpt2.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = (ℤ𝑀)
3 limsupequzmpt2.k . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾𝐴)
42, 3uzssd2 43742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ 𝐴)
54adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ𝐾) ⊆ 𝐴)
6 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝐾))
75, 6sseldd 3949 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗𝐴)
8 limsupequzmpt2.c . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐶𝑉)
98elexd 3467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐶 ∈ V)
107, 9jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗𝐴𝐶 ∈ V))
11 rabid 3426 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↔ (𝑗𝐴𝐶 ∈ V))
1210, 11sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V})
1312ex 414 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V}))
141, 13ralrimi 3239 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V})
15 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑗(ℤ𝐾)
16 nfrab1 3425 . . . . . . . . 9 𝑗{𝑗𝐴𝐶 ∈ V}
1715, 16dfss3f 3939 . . . . . . . 8 ((ℤ𝐾) ⊆ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V})
1814, 17sylibr 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V})
1916, 15resmptf 5997 . . . . . . 7 ((ℤ𝐾) ⊆ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} → ((𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾)) = (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾)) = (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶))
2120eqcomd 2739 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶) = ((𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾)))
2221fveq2d 6850 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶)) = (lim sup‘((𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾))))
232, 3eluzelz2d 43738 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
24 eqid 2733 . . . . 5 (ℤ𝐾) = (ℤ𝐾)
25 limsupequzmpt2.o . . . . . . . 8 𝑗𝐴
262fvexi 6860 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V
2725, 26rabexf 43436 . . . . . . 7 {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ∈ V
2816, 27mptexf 43554 . . . . . 6 (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ∈ V
2928a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ∈ V)
30 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)
3116, 30dmmptssf 43548 . . . . . . 7 dom (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ⊆ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V}
3225ssrab2f 43419 . . . . . . . 8 {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ⊆ 𝐴
33 uzssz 12792 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
342, 33eqsstri 3982 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ ℤ
3532, 34sstri 3957 . . . . . . 7 {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ⊆ ℤ
3631, 35sstri 3957 . . . . . 6 dom (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ⊆ ℤ
3736a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ⊆ ℤ)
3823, 24, 29, 37limsupresuz2 44040 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘((𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾))) = (lim sup‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)))
3922, 38eqtr2d 2774 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶)))
40 limsupequzmpt2.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (ℤ𝑁)
41 limsupequzmpt2.e . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾𝐵)
4240, 41uzssd2 43742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ 𝐵)
4342adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ𝐾) ⊆ 𝐵)
4443, 6sseldd 3949 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗𝐵)
4544, 9jca 513 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑗𝐵𝐶 ∈ V))
46 rabid 3426 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↔ (𝑗𝐵𝐶 ∈ V))
4745, 46sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V})
4847ex 414 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V}))
491, 48ralrimi 3239 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V})
50 nfrab1 3425 . . . . . . . . 9 𝑗{𝑗𝐵𝐶 ∈ V}
5115, 50dfss3f 3939 . . . . . . . 8 ((ℤ𝐾) ⊆ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝐾)𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V})
5249, 51sylibr 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V})
5350, 15resmptf 5997 . . . . . . 7 ((ℤ𝐾) ⊆ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} → ((𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾)) = (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶))
5452, 53syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾)) = (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶))
5554eqcomd 2739 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶) = ((𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾)))
5655fveq2d 6850 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶)) = (lim sup‘((𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾))))
57 limsupequzmpt2.p . . . . . . . 8 𝑗𝐵
5840fvexi 6860 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ V
5957, 58rabexf 43436 . . . . . . 7 {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ∈ V
6050, 59mptexf 43554 . . . . . 6 (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ∈ V
6160a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ∈ V)
62 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) = (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)
6350, 62dmmptssf 43548 . . . . . . 7 dom (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ⊆ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V}
6457ssrab2f 43419 . . . . . . . 8 {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ⊆ 𝐵
65 uzssz 12792 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑁) ⊆ ℤ
6640, 65eqsstri 3982 . . . . . . . 8 𝐵 ⊆ ℤ
6764, 66sstri 3957 . . . . . . 7 {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ⊆ ℤ
6863, 67sstri 3957 . . . . . 6 dom (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ⊆ ℤ
6968a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ⊆ ℤ)
7023, 24, 61, 69limsupresuz2 44040 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘((𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶) ↾ (ℤ𝐾))) = (lim sup‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)))
7156, 70eqtr2d 2774 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ𝐾) ↦ 𝐶)))
7239, 71eqtr4d 2776 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)))
73 eqid 2733 . . . . 5 {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} = {𝑗𝐴𝐶 ∈ V}
7425, 73mptssid 43558 . . . 4 (𝑗𝐴𝐶) = (𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)
7574fveq2i 6849 . . 3 (lim sup‘(𝑗𝐴𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶))
7675a1i 11 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝐴𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐴𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)))
77 eqid 2733 . . . . 5 {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} = {𝑗𝐵𝐶 ∈ V}
7857, 77mptssid 43558 . . . 4 (𝑗𝐵𝐶) = (𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)
7978fveq2i 6849 . . 3 (lim sup‘(𝑗𝐵𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶))
8079a1i 11 . 2 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝐵𝐶)) = (lim sup‘(𝑗 ∈ {𝑗𝐵𝐶 ∈ V} ↦ 𝐶)))
8172, 76, 803eqtr4d 2783 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝐴𝐶)) = (lim sup‘(𝑗𝐵𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wnfc 2884  wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447  wss 3914  cmpt 5192  dom cdm 5637  cres 5639  cfv 6500  cz 12507  cuz 12771  lim supclsp 15361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-ico 13279  df-limsup 15362
This theorem is referenced by:  smflimsupmpt  45160
  Copyright terms: Public domain W3C validator