Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismrc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ismrc 41743
Description: A function is a Moore closure operator iff it satisfies mrcssid 17567, mrcss 17566, and mrcidm 17569. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismrc (𝐹 ∈ (mrCls β€œ (Mooreβ€˜π΅)) ↔ (𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐡,𝑦
Proof of Theorem ismrc
Dummy variables 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnmrc 17557 . . . . 5 mrCls Fn βˆͺ ran Moore
2 fnfun 6650 . . . . 5 (mrCls Fn βˆͺ ran Moore β†’ Fun mrCls)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 Fun mrCls
4 fvelima 6958 . . . 4 ((Fun mrCls ∧ 𝐹 ∈ (mrCls β€œ (Mooreβ€˜π΅))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (Mooreβ€˜π΅)(mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹)
53, 4mpan 686 . . 3 (𝐹 ∈ (mrCls β€œ (Mooreβ€˜π΅)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (Mooreβ€˜π΅)(mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹)
6 elfvex 6930 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (Mooreβ€˜π΅) β†’ 𝐡 ∈ V)
7 eqid 2730 . . . . . . . 8 (mrClsβ€˜π‘§) = (mrClsβ€˜π‘§)
87mrcf 17559 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (Mooreβ€˜π΅) β†’ (mrClsβ€˜π‘§):𝒫 π΅βŸΆπ‘§)
9 mresspw 17542 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (Mooreβ€˜π΅) β†’ 𝑧 βŠ† 𝒫 𝐡)
108, 9fssd 6736 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (Mooreβ€˜π΅) β†’ (mrClsβ€˜π‘§):𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
117mrcssid 17567 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ π‘₯ βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯))
1211adantrr 713 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯)) β†’ π‘₯ βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯))
137mrcss 17566 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘¦) βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯))
14133expb 1118 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ (𝑦 βŠ† π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡)) β†’ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘¦) βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯))
1514ancom2s 646 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯)) β†’ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘¦) βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯))
167mrcidm 17569 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯)) = ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯))
1716adantrr 713 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯)) β†’ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯)) = ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯))
1812, 15, 173jca 1126 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (Mooreβ€˜π΅) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯)) β†’ (π‘₯ βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘¦) βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯)) = ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯)))
1918ex 411 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (Mooreβ€˜π΅) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘¦) βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯)) = ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯))))
2019alrimivv 1929 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (Mooreβ€˜π΅) β†’ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘¦) βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯)) = ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯))))
216, 10, 203jca 1126 . . . . 5 (𝑧 ∈ (Mooreβ€˜π΅) β†’ (𝐡 ∈ V ∧ (mrClsβ€˜π‘§):𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘¦) βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯)) = ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯)))))
22 feq1 6699 . . . . . 6 ((mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹 β†’ ((mrClsβ€˜π‘§):𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ↔ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡))
23 fveq1 6891 . . . . . . . . . 10 ((mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹 β†’ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
2423sseq2d 4015 . . . . . . . . 9 ((mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹 β†’ (π‘₯ βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ↔ π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯)))
25 fveq1 6891 . . . . . . . . . 10 ((mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹 β†’ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
2625, 23sseq12d 4016 . . . . . . . . 9 ((mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹 β†’ (((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘¦) βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯)))
27 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹 β†’ (mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹)
2827, 23fveq12d 6899 . . . . . . . . . 10 ((mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹 β†’ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
2928, 23eqeq12d 2746 . . . . . . . . 9 ((mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹 β†’ (((mrClsβ€˜π‘§)β€˜((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯)) = ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))
3024, 26, 293anbi123d 1434 . . . . . . . 8 ((mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹 β†’ ((π‘₯ βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘¦) βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯)) = ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯)) ↔ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))))
3130imbi2d 339 . . . . . . 7 ((mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹 β†’ (((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘¦) βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯)) = ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯))) ↔ ((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))))
32312albidv 1924 . . . . . 6 ((mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘¦) βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯)) = ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯))) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))))
3322, 323anbi23d 1437 . . . . 5 ((mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹 β†’ ((𝐡 ∈ V ∧ (mrClsβ€˜π‘§):𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘¦) βŠ† ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯) ∧ ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯)) = ((mrClsβ€˜π‘§)β€˜π‘₯)))) ↔ (𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))))))
3421, 33syl5ibcom 244 . . . 4 (𝑧 ∈ (Mooreβ€˜π΅) β†’ ((mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹 β†’ (𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))))))
3534rexlimiv 3146 . . 3 (βˆƒπ‘§ ∈ (Mooreβ€˜π΅)(mrClsβ€˜π‘§) = 𝐹 β†’ (𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))))
365, 35syl 17 . 2 (𝐹 ∈ (mrCls β€œ (Mooreβ€˜π΅)) β†’ (𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))))
37 simp1 1134 . . . 4 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝐡 ∈ V)
38 simp2 1135 . . . 4 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
39 ssid 4005 . . . . . . 7 𝑧 βŠ† 𝑧
40 3simpb 1147 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))
4140imim2i 16 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))))
42412alimi 1812 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))))
43 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐡 ↔ 𝑧 βŠ† 𝐡))
4443adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑧) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐡 ↔ 𝑧 βŠ† 𝐡))
45 sseq12 4010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 = 𝑧 ∧ π‘₯ = 𝑧) β†’ (𝑦 βŠ† π‘₯ ↔ 𝑧 βŠ† 𝑧))
4645ancoms 457 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑧) β†’ (𝑦 βŠ† π‘₯ ↔ 𝑧 βŠ† 𝑧))
4744, 46anbi12d 629 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑧) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) ↔ (𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑧)))
48 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑧 β†’ π‘₯ = 𝑧)
49 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
5048, 49sseq12d 4016 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑧 βŠ† (πΉβ€˜π‘§)))
5150adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑧) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ↔ 𝑧 βŠ† (πΉβ€˜π‘§)))
52 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
5352, 49eqeq12d 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§)))
5453adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑧) β†’ ((πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§)))
5551, 54anbi12d 629 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑧) β†’ ((π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑧 βŠ† (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§))))
5647, 55imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑧) β†’ (((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))) ↔ ((𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑧) β†’ (𝑧 βŠ† (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§)))))
5756spc2gv 3591 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 ∈ V) β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑧) β†’ (𝑧 βŠ† (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§)))))
5857el2v 3480 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑧) β†’ (𝑧 βŠ† (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§))))
5942, 58syl 17 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑧) β†’ (𝑧 βŠ† (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§))))
60593ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))) β†’ ((𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑧) β†’ (𝑧 βŠ† (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§))))
6139, 60mpan2i 693 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))) β†’ (𝑧 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑧 βŠ† (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§))))
6261imp 405 . . . . 5 (((𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ (𝑧 βŠ† (πΉβ€˜π‘§) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§)))
6362simpld 493 . . . 4 (((𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑧 βŠ† (πΉβ€˜π‘§))
64 simp2 1135 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯))
6564imim2i 16 . . . . . . . 8 (((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯)))
66652alimi 1812 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯)))
67663ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))) β†’ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯)))
6843adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐡 ↔ 𝑧 βŠ† 𝐡))
69 sseq12 4010 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 = 𝑀 ∧ π‘₯ = 𝑧) β†’ (𝑦 βŠ† π‘₯ ↔ 𝑀 βŠ† 𝑧))
7069ancoms 457 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ (𝑦 βŠ† π‘₯ ↔ 𝑀 βŠ† 𝑧))
7168, 70anbi12d 629 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) ↔ (𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑧)))
72 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘€))
73 sseq12 4010 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘€) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘€) βŠ† (πΉβ€˜π‘§)))
7472, 49, 73syl2anr 595 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜π‘€) βŠ† (πΉβ€˜π‘§)))
7571, 74imbi12d 343 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑧 ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ (((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘€) βŠ† (πΉβ€˜π‘§))))
7675spc2gv 3591 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ V) β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ ((𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘€) βŠ† (πΉβ€˜π‘§))))
7776el2v 3480 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ ((𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘€) βŠ† (πΉβ€˜π‘§)))
7867, 77syl 17 . . . . 5 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))) β†’ ((𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘€) βŠ† (πΉβ€˜π‘§)))
79783impib 1114 . . . 4 (((𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑀 βŠ† 𝑧) β†’ (πΉβ€˜π‘€) βŠ† (πΉβ€˜π‘§))
8062simprd 494 . . . 4 (((𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))) ∧ 𝑧 βŠ† 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘§))
8137, 38, 63, 79, 80ismrcd2 41741 . . 3 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝐹 = (mrClsβ€˜dom (𝐹 ∩ I )))
8237, 38, 63, 79, 80ismrcd1 41740 . . . 4 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))) β†’ dom (𝐹 ∩ I ) ∈ (Mooreβ€˜π΅))
83 fvssunirn 6925 . . . . . 6 (Mooreβ€˜π΅) βŠ† βˆͺ ran Moore
841fndmi 6654 . . . . . 6 dom mrCls = βˆͺ ran Moore
8583, 84sseqtrri 4020 . . . . 5 (Mooreβ€˜π΅) βŠ† dom mrCls
86 funfvima2 7236 . . . . 5 ((Fun mrCls ∧ (Mooreβ€˜π΅) βŠ† dom mrCls) β†’ (dom (𝐹 ∩ I ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) β†’ (mrClsβ€˜dom (𝐹 ∩ I )) ∈ (mrCls β€œ (Mooreβ€˜π΅))))
873, 85, 86mp2an 688 . . . 4 (dom (𝐹 ∩ I ) ∈ (Mooreβ€˜π΅) β†’ (mrClsβ€˜dom (𝐹 ∩ I )) ∈ (mrCls β€œ (Mooreβ€˜π΅)))
8882, 87syl 17 . . 3 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))) β†’ (mrClsβ€˜dom (𝐹 ∩ I )) ∈ (mrCls β€œ (Mooreβ€˜π΅)))
8981, 88eqeltrd 2831 . 2 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝐹 ∈ (mrCls β€œ (Mooreβ€˜π΅)))
9036, 89impbii 208 1 (𝐹 ∈ (mrCls β€œ (Mooreβ€˜π΅)) ↔ (𝐡 ∈ V ∧ 𝐹:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 βŠ† π‘₯) β†’ (π‘₯ βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘¦) βŠ† (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜π‘₯)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085  βˆ€wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   I cid 5574  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  Moorecmre 17532  mrClscmrc 17533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-mre 17536  df-mrc 17537
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator