Theorem mrccl 17320

Description: The Moore closure of a set is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrcfval.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrccl	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mrccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcfval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
2	1	mrcf 17318	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶)
3	2	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶)
4		mre1cl 17303	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
5		elpw2g 5268	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑋))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑋))
7	6	biimpar 478	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑋)
8	3, 7	ffvelrnd 6962	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  Moorecmre 17291  mrClscmrc 17292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-mre 17295  df-mrc 17296

This theorem is referenced by:  mrcsncl  17321  mrcidb  17324  mrcidm  17328  submrc  17337  isacs2  17362  mrelatlub  18280  mreclatBAD  18281  gsumwspan  18485  cycsubg2cl  18830  symggen  19078  odf1o1  19177  cntzspan  19445  gsumzsplit  19528  gsumzoppg  19545  gsumpt  19563  dmdprdd  19602  dprdfeq0  19625  dprdspan  19630  dprdres  19631  dprdz  19633  subgdmdprd  19637  subgdprd  19638  dprd2dlem1  19644  dprd2da  19645  dmdprdsplit2lem  19648  mrccss  20899  ismrcd2  40521  proot1mul  41024  mrelatlubALT  46281  mreclat  46283