Theorem mrccl 17790

Description: The Moore closure of a set is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrcfval.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrccl	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mrccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcfval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
2	1	mrcf 17788	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶)
3	2	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶)
4		mre1cl 17769	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
5		elpw2g 5294	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑋))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑋))
7	6	biimpar 483	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑋)
8	3, 7	ffvelcdmd 7085	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  𝒫 cpw 4556  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  Moorecmre 17757  mrClscmrc 17758

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-mre 17761  df-mrc 17762

This theorem is used by:  mrcsncl  17791  mrcidb  17794  mrcidm  17798  submrc  17807  isacs2  17832  mrelatlub  18741  mreclatBAD  18742  gsumwspan  19047  cycsubg2cl  19431  symggen  19689  odf1o1  19791  cntzspan  20063  gsumzsplit  20146  gsumzoppg  20163  gsumpt  20181  dmdprdd  20220  dprdfeq0  20243  dprdspan  20248  dprdres  20249  dprdz  20251  subgdmdprd  20255  subgdprd  20256  dprd2dlem1  20262  dprd2da  20263  dmdprdsplit2lem  20266  mrccss  22005  ismrcd2  43803  proot1mul  44289  mrelatlubALT  50202  mreclat  50204