MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrccl 17656
Description: The Moore closure of a set is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrcfval.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mrccl ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (𝐹𝑈) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mrccl
StepHypRef Expression
1 mrcfval.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
21mrcf 17654 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋𝐶)
32adantr 480 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋𝐶)
4 mre1cl 17639 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋𝐶)
5 elpw2g 5339 . . . 4 (𝑋𝐶 → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑋𝑈𝑋))
64, 5syl 17 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑋𝑈𝑋))
76biimpar 477 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑋)
83, 7ffvelcdmd 7105 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (𝐹𝑈) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  𝒫 cpw 4605  wf 6559  cfv 6563  Moorecmre 17627  mrClscmrc 17628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-mre 17631  df-mrc 17632
This theorem is referenced by:  mrcsncl  17657  mrcidb  17660  mrcidm  17664  submrc  17673  isacs2  17698  mrelatlub  18620  mreclatBAD  18621  gsumwspan  18872  cycsubg2cl  19242  symggen  19503  odf1o1  19605  cntzspan  19877  gsumzsplit  19960  gsumzoppg  19977  gsumpt  19995  dmdprdd  20034  dprdfeq0  20057  dprdspan  20062  dprdres  20063  dprdz  20065  subgdmdprd  20069  subgdprd  20070  dprd2dlem1  20076  dprd2da  20077  dmdprdsplit2lem  20080  mrccss  21730  ismrcd2  42687  proot1mul  43183  mrelatlubALT  48784  mreclat  48786
  Copyright terms: Public domain W3C validator