Theorem mrccl 17546

Description: The Moore closure of a set is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrcfval.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrccl	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mrccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcfval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
2	1	mrcf 17544	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶)
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶)
4		mre1cl 17525	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
5		elpw2g 5280	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑋))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑋))
7	6	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑋)
8	3, 7	ffvelcdmd 7039	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4556  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  Moorecmre 17513  mrClscmrc 17514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-mre 17517  df-mrc 17518

This theorem is referenced by:  mrcsncl  17547  mrcidb  17550  mrcidm  17554  submrc  17563  isacs2  17588  mrelatlub  18497  mreclatBAD  18498  gsumwspan  18783  cycsubg2cl  19152  symggen  19411  odf1o1  19513  cntzspan  19785  gsumzsplit  19868  gsumzoppg  19885  gsumpt  19903  dmdprdd  19942  dprdfeq0  19965  dprdspan  19970  dprdres  19971  dprdz  19973  subgdmdprd  19977  subgdprd  19978  dprd2dlem1  19984  dprd2da  19985  dmdprdsplit2lem  19988  mrccss  21661  ismrcd2  43050  proot1mul  43545  mrelatlubALT  49348  mreclat  49350