MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrccl 16715
Description: The Moore closure of a set is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrcfval.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mrccl ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (𝐹𝑈) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mrccl
StepHypRef Expression
1 mrcfval.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
21mrcf 16713 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋𝐶)
32adantr 481 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋𝐶)
4 mre1cl 16698 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋𝐶)
5 elpw2g 5145 . . . 4 (𝑋𝐶 → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑋𝑈𝑋))
64, 5syl 17 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑋𝑈𝑋))
76biimpar 478 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑋)
83, 7ffvelrnd 6724 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (𝐹𝑈) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wss 3865  𝒫 cpw 4459  wf 6228  cfv 6232  Moorecmre 16686  mrClscmrc 16687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-fv 6240  df-mre 16690  df-mrc 16691
This theorem is referenced by:  mrcsncl  16716  mrcidb  16719  mrcidm  16723  submrc  16732  isacs2  16757  mrelatlub  17629  mreclatBAD  17630  gsumwspan  17826  cycsubg2cl  18075  symggen  18333  odf1o1  18431  cntzspan  18691  gsumzsplit  18771  gsumzoppg  18788  gsumpt  18806  dmdprdd  18842  dprdfeq0  18865  dprdspan  18870  dprdres  18871  dprdz  18873  subgdmdprd  18877  subgdprd  18878  dprd2dlem1  18884  dprd2da  18885  dmdprdsplit2lem  18888  mrccss  20524  ismrcd2  38802  proot1mul  39305
  Copyright terms: Public domain W3C validator