MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrccl 16631
Description: The Moore closure of a set is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mrcfval.f 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mrccl ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (𝐹𝑈) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mrccl
StepHypRef Expression
1 mrcfval.f . . . 4 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
21mrcf 16629 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋𝐶)
32adantr 474 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋𝐶)
4 mre1cl 16614 . . . 4 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋𝐶)
5 elpw2g 5051 . . . 4 (𝑋𝐶 → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑋𝑈𝑋))
64, 5syl 17 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑋𝑈𝑋))
76biimpar 471 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑋)
83, 7ffvelrnd 6614 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑋) → (𝐹𝑈) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wss 3798  𝒫 cpw 4380  wf 6123  cfv 6127  Moorecmre 16602  mrClscmrc 16603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-fv 6135  df-mre 16606  df-mrc 16607
This theorem is referenced by:  mrcsncl  16632  mrcidb  16635  mrcidm  16639  submrc  16648  isacs2  16673  mrelatlub  17546  mreclatBAD  17547  gsumwspan  17744  cycsubg2cl  17990  symggen  18247  odf1o1  18345  cntzspan  18607  gsumzsplit  18687  gsumzoppg  18704  gsumpt  18721  dmdprdd  18759  dprdfeq0  18782  dprdspan  18787  dprdres  18788  dprdz  18790  subgdmdprd  18794  subgdprd  18795  dprd2dlem1  18801  dprd2da  18802  dmdprdsplit2lem  18805  mrccss  20408  ismrcd2  38105  proot1mul  38619
  Copyright terms: Public domain W3C validator