Theorem mrccl 17623

Description: The Moore closure of a set is a closed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mrcfval.f	⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mrccl	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem mrccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcfval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (mrCls‘𝐶)
2	1	mrcf 17621	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶)
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝒫 𝑋⟶𝐶)
4		mre1cl 17606	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐶)
5		elpw2g 5303	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑋))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑈 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑋))
7	6	biimpar 477	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑋)
8	3, 7	ffvelcdmd 7075	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑋) → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  Moorecmre 17594  mrClscmrc 17595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-mre 17598  df-mrc 17599

This theorem is referenced by:  mrcsncl  17624  mrcidb  17627  mrcidm  17631  submrc  17640  isacs2  17665  mrelatlub  18572  mreclatBAD  18573  gsumwspan  18824  cycsubg2cl  19194  symggen  19451  odf1o1  19553  cntzspan  19825  gsumzsplit  19908  gsumzoppg  19925  gsumpt  19943  dmdprdd  19982  dprdfeq0  20005  dprdspan  20010  dprdres  20011  dprdz  20013  subgdmdprd  20017  subgdprd  20018  dprd2dlem1  20024  dprd2da  20025  dmdprdsplit2lem  20028  mrccss  21654  ismrcd2  42722  proot1mul  43218  mrelatlubALT  48969  mreclat  48971