Theorem eqresr 11261

Description: Equality of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
eqresr.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eqresr	⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ = ⟨𝐵, 0R⟩ ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem eqresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ 0R = 0R
2		eqresr.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		0r 11204	. . . 4 ⊢ 0R ∈ R
4	3	elexi 3476	. . 3 ⊢ 0R ∈ V
5	2, 4	opth 5452	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ = ⟨𝐵, 0R⟩ ↔ (𝐴 = 𝐵 ∧ 0R = 0R))
6	1, 5	mpbiran2 723	1 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ = ⟨𝐵, 0R⟩ ↔ 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ⟨cop 4840  Rcnr 10989  0_Rc0r 10990

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-ni 10996  df-pli 10997  df-mi 10998  df-lti 10999  df-plpq 11032  df-mpq 11033  df-ltpq 11034  df-enq 11035  df-nq 11036  df-erq 11037  df-plq 11038  df-mq 11039  df-1nq 11040  df-rq 11041  df-ltnq 11042  df-np 11105  df-1p 11106  df-enr 11179  df-nr 11180  df-0r 11184

This theorem is used by:  ltresr  11264  ax1ne0  11284  axrrecex  11287  axpre-lttri  11289