MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcnre 11163
Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom 17 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 11187. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnre (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด

Proof of Theorem axcnre
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-c 11120 . 2 โ„‚ = (R ร— R)
2 eqeq1 2734 . . 3 (โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = ๐ด โ†’ (โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
322rexbidv 3217 . 2 (โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
4 opelreal 11129 . . . . . 6 (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โ†” ๐‘ง โˆˆ R)
5 opelreal 11129 . . . . . 6 (โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โ†” ๐‘ค โˆˆ R)
64, 5anbi12i 625 . . . . 5 ((โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ โˆˆ โ„) โ†” (๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R))
76biimpri 227 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โ†’ (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ โˆˆ โ„))
8 df-i 11123 . . . . . . . . 9 i = โŸจ0R, 1RโŸฉ
98oveq1i 7423 . . . . . . . 8 (i ยท โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ) = (โŸจ0R, 1RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ)
10 0r 11079 . . . . . . . . . 10 0R โˆˆ R
11 1sr 11080 . . . . . . . . . . 11 1R โˆˆ R
12 mulcnsr 11135 . . . . . . . . . . 11 (((0R โˆˆ R โˆง 1R โˆˆ R) โˆง (๐‘ค โˆˆ R โˆง 0R โˆˆ R)) โ†’ (โŸจ0R, 1RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ) = โŸจ((0R ยทR ๐‘ค) +R (-1R ยทR (1R ยทR 0R))), ((1R ยทR ๐‘ค) +R (0R ยทR 0R))โŸฉ)
1310, 11, 12mpanl12 698 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ค โˆˆ R โˆง 0R โˆˆ R) โ†’ (โŸจ0R, 1RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ) = โŸจ((0R ยทR ๐‘ค) +R (-1R ยทR (1R ยทR 0R))), ((1R ยทR ๐‘ค) +R (0R ยทR 0R))โŸฉ)
1410, 13mpan2 687 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ R โ†’ (โŸจ0R, 1RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ) = โŸจ((0R ยทR ๐‘ค) +R (-1R ยทR (1R ยทR 0R))), ((1R ยทR ๐‘ค) +R (0R ยทR 0R))โŸฉ)
15 mulcomsr 11088 . . . . . . . . . . . . 13 (0R ยทR ๐‘ค) = (๐‘ค ยทR 0R)
16 00sr 11098 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค โˆˆ R โ†’ (๐‘ค ยทR 0R) = 0R)
1715, 16eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ R โ†’ (0R ยทR ๐‘ค) = 0R)
1817oveq1d 7428 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค โˆˆ R โ†’ ((0R ยทR ๐‘ค) +R (-1R ยทR (1R ยทR 0R))) = (0R +R (-1R ยทR (1R ยทR 0R))))
19 00sr 11098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1R โˆˆ R โ†’ (1R ยทR 0R) = 0R)
2011, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1R ยทR 0R) = 0R
2120oveq2i 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1R ยทR (1R ยทR 0R)) = (-1R ยทR 0R)
22 m1r 11081 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1R โˆˆ R
23 00sr 11098 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1R โˆˆ R โ†’ (-1R ยทR 0R) = 0R)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (-1R ยทR 0R) = 0R
2521, 24eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (-1R ยทR (1R ยทR 0R)) = 0R
2625oveq2i 7424 . . . . . . . . . . . 12 (0R +R (-1R ยทR (1R ยทR 0R))) = (0R +R 0R)
27 0idsr 11096 . . . . . . . . . . . . 13 (0R โˆˆ R โ†’ (0R +R 0R) = 0R)
2810, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0R +R 0R) = 0R
2926, 28eqtri 2758 . . . . . . . . . . 11 (0R +R (-1R ยทR (1R ยทR 0R))) = 0R
3018, 29eqtrdi 2786 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค โˆˆ R โ†’ ((0R ยทR ๐‘ค) +R (-1R ยทR (1R ยทR 0R))) = 0R)
31 mulcomsr 11088 . . . . . . . . . . . . 13 (1R ยทR ๐‘ค) = (๐‘ค ยทR 1R)
32 1idsr 11097 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค โˆˆ R โ†’ (๐‘ค ยทR 1R) = ๐‘ค)
3331, 32eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ R โ†’ (1R ยทR ๐‘ค) = ๐‘ค)
3433oveq1d 7428 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค โˆˆ R โ†’ ((1R ยทR ๐‘ค) +R (0R ยทR 0R)) = (๐‘ค +R (0R ยทR 0R)))
35 00sr 11098 . . . . . . . . . . . . . 14 (0R โˆˆ R โ†’ (0R ยทR 0R) = 0R)
3610, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (0R ยทR 0R) = 0R
3736oveq2i 7424 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค +R (0R ยทR 0R)) = (๐‘ค +R 0R)
38 0idsr 11096 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ค โˆˆ R โ†’ (๐‘ค +R 0R) = ๐‘ค)
3937, 38eqtrid 2782 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ค โˆˆ R โ†’ (๐‘ค +R (0R ยทR 0R)) = ๐‘ค)
4034, 39eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค โˆˆ R โ†’ ((1R ยทR ๐‘ค) +R (0R ยทR 0R)) = ๐‘ค)
4130, 40opeq12d 4882 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ R โ†’ โŸจ((0R ยทR ๐‘ค) +R (-1R ยทR (1R ยทR 0R))), ((1R ยทR ๐‘ค) +R (0R ยทR 0R))โŸฉ = โŸจ0R, ๐‘คโŸฉ)
4214, 41eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (๐‘ค โˆˆ R โ†’ (โŸจ0R, 1RโŸฉ ยท โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ) = โŸจ0R, ๐‘คโŸฉ)
439, 42eqtrid 2782 . . . . . . 7 (๐‘ค โˆˆ R โ†’ (i ยท โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ) = โŸจ0R, ๐‘คโŸฉ)
4443oveq2d 7429 . . . . . 6 (๐‘ค โˆˆ R โ†’ (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ + (i ยท โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ)) = (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ + โŸจ0R, ๐‘คโŸฉ))
4544adantl 480 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โ†’ (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ + (i ยท โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ)) = (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ + โŸจ0R, ๐‘คโŸฉ))
46 addcnsr 11134 . . . . . . 7 (((๐‘ง โˆˆ R โˆง 0R โˆˆ R) โˆง (0R โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R)) โ†’ (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ + โŸจ0R, ๐‘คโŸฉ) = โŸจ(๐‘ง +R 0R), (0R +R ๐‘ค)โŸฉ)
4710, 46mpanl2 697 . . . . . 6 ((๐‘ง โˆˆ R โˆง (0R โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R)) โ†’ (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ + โŸจ0R, ๐‘คโŸฉ) = โŸจ(๐‘ง +R 0R), (0R +R ๐‘ค)โŸฉ)
4810, 47mpanr1 699 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โ†’ (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ + โŸจ0R, ๐‘คโŸฉ) = โŸจ(๐‘ง +R 0R), (0R +R ๐‘ค)โŸฉ)
49 0idsr 11096 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ R โ†’ (๐‘ง +R 0R) = ๐‘ง)
50 addcomsr 11086 . . . . . . 7 (0R +R ๐‘ค) = (๐‘ค +R 0R)
5150, 38eqtrid 2782 . . . . . 6 (๐‘ค โˆˆ R โ†’ (0R +R ๐‘ค) = ๐‘ค)
52 opeq12 4876 . . . . . 6 (((๐‘ง +R 0R) = ๐‘ง โˆง (0R +R ๐‘ค) = ๐‘ค) โ†’ โŸจ(๐‘ง +R 0R), (0R +R ๐‘ค)โŸฉ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ)
5349, 51, 52syl2an 594 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โ†’ โŸจ(๐‘ง +R 0R), (0R +R ๐‘ค)โŸฉ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ)
5445, 48, 533eqtrrd 2775 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โ†’ โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ + (i ยท โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ)))
55 opex 5465 . . . . 5 โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ V
56 opex 5465 . . . . 5 โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ โˆˆ V
57 eleq1 2819 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†” โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„))
58 eleq1 2819 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†” โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ โˆˆ โ„))
5957, 58bi2anan9 635 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†” (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ โˆˆ โ„)))
60 oveq1 7420 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โ†’ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ + (i ยท ๐‘ฆ)))
61 oveq2 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ โ†’ (i ยท ๐‘ฆ) = (i ยท โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ))
6261oveq2d 7429 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ โ†’ (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ + (i ยท โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ)))
6360, 62sylan9eq 2790 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ) โ†’ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) = (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ + (i ยท โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ)))
6463eqeq2d 2741 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ) โ†’ (โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ + (i ยท โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ))))
6559, 64anbi12d 629 . . . . 5 ((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) โ†” ((โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ โˆˆ โ„) โˆง โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ + (i ยท โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ)))))
6655, 56, 65spc2ev 3598 . . . 4 (((โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ โˆˆ โ„) โˆง โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = (โŸจ๐‘ง, 0RโŸฉ + (i ยท โŸจ๐‘ค, 0RโŸฉ))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
677, 54, 66syl2anc 582 . . 3 ((๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
68 r2ex 3193 . . 3 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
6967, 68sylibr 233 . 2 ((๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
701, 3, 69optocl 5771 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ ๐ด = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539  โˆƒwex 1779   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068  โŸจcop 4635  (class class class)co 7413  Rcnr 10864  0Rc0r 10865  1Rc1r 10866  -1Rcm1r 10867   +R cplr 10868   ยทR cmr 10869  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  ici 11116   + caddc 11117   ยท cmul 11119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-ni 10871  df-pli 10872  df-mi 10873  df-lti 10874  df-plpq 10907  df-mpq 10908  df-ltpq 10909  df-enq 10910  df-nq 10911  df-erq 10912  df-plq 10913  df-mq 10914  df-1nq 10915  df-rq 10916  df-ltnq 10917  df-np 10980  df-1p 10981  df-plp 10982  df-mp 10983  df-ltp 10984  df-enr 11054  df-nr 11055  df-plr 11056  df-mr 11057  df-0r 11059  df-1r 11060  df-m1r 11061  df-c 11120  df-i 11123  df-r 11124  df-add 11125  df-mul 11126
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator