Theorem axi2m1 11247

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 12 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 11271. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	⊢ ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 11168	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
2		1sr 11169	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
3		mulcnsr 11224	. . . . . 6 ⊢ (((0R ∈ R ∧ 1R ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
4	1, 2, 1, 2, 3	mp4an 706	. . . . 5 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
5		00sr 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
7		1idsr 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 1R) = 1R)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1R ·R 1R) = 1R
9	8	oveq2i 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
10		m1r 11170	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1R ∈ R
11		1idsr 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 1R) = -1R)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R 1R) = -1R
13	9, 12	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
14	6, 13	oveq12i 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
15		addcomsr 11175	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
16		0idsr 11185	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
18	14, 15, 17	3eqtri 2787	. . . . . 6 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
19		00sr 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 0R) = 0R)
20	2, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1R ·R 0R) = 0R
21		1idsr 11186	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 1R) = 0R)
22	1, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 1R) = 0R
23	20, 22	oveq12i 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
24		0idsr 11185	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
25	1, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
26	23, 25	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
27	18, 26	opeq12i 4844	. . . . 5 ⊢ ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R⟩
28	4, 27	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R⟩
29	28	oveq1i 7430	. . 3 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
30		addresr 11226	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
31	10, 2, 30	mp2an 705	. . 3 ⊢ (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩
32		m1p1sr 11180	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
33	32	opeq1i 4842	. . 3 ⊢ ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
34	29, 31, 33	3eqtri 2787	. 2 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R⟩
35		df-i 11212	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
36	35, 35	oveq12i 7432	. . 3 ⊢ (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
37		df-1 11211	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
38	36, 37	oveq12i 7432	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
39		df-0 11210	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
40	34, 38, 39	3eqtr4i 2793	1 ⊢ ((i · i) + 1) = 0

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834  (class class class)co 7420  Rcnr 10953  0_Rc0r 10954  1_Rc1r 10955  -1_Rcm1r 10956   +_R cplr 10957   ·_R cmr 10958  0cc0 11203  1c1 11204  ici 11205   + caddc 11206   · cmul 11208

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-omul 8484  df-er 8720  df-ec 8722  df-qs 8726  df-ni 10960  df-pli 10961  df-mi 10962  df-lti 10963  df-plpq 10996  df-mpq 10997  df-ltpq 10998  df-enq 10999  df-nq 11000  df-erq 11001  df-plq 11002  df-mq 11003  df-1nq 11004  df-rq 11005  df-ltnq 11006  df-np 11069  df-1p 11070  df-plp 11071  df-mp 11072  df-ltp 11073  df-enr 11143  df-nr 11144  df-plr 11145  df-mr 11146  df-0r 11148  df-1r 11149  df-m1r 11150  df-c 11209  df-0 11210  df-1 11211  df-i 11212  df-add 11214  df-mul 11215

This theorem is used by: (None)