Theorem axi2m1 11060

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 12 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 11084. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	⊢ ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 10981	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
2		1sr 10982	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
3		mulcnsr 11037	. . . . . 6 ⊢ (((0R ∈ R ∧ 1R ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
4	1, 2, 1, 2, 3	mp4an 693	. . . . 5 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
5		00sr 11000	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
7		1idsr 10999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 1R) = 1R)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1R ·R 1R) = 1R
9	8	oveq2i 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
10		m1r 10983	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1R ∈ R
11		1idsr 10999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 1R) = -1R)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R 1R) = -1R
13	9, 12	eqtri 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
14	6, 13	oveq12i 7367	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
15		addcomsr 10988	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
16		0idsr 10998	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
18	14, 15, 17	3eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
19		00sr 11000	. . . . . . . . 9 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 0R) = 0R)
20	2, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1R ·R 0R) = 0R
21		1idsr 10999	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 1R) = 0R)
22	1, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 1R) = 0R
23	20, 22	oveq12i 7367	. . . . . . 7 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
24		0idsr 10998	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
25	1, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
26	23, 25	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
27	18, 26	opeq12i 4831	. . . . 5 ⊢ ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R⟩
28	4, 27	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R⟩
29	28	oveq1i 7365	. . 3 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
30		addresr 11039	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
31	10, 2, 30	mp2an 692	. . 3 ⊢ (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩
32		m1p1sr 10993	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
33	32	opeq1i 4829	. . 3 ⊢ ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
34	29, 31, 33	3eqtri 2760	. 2 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R⟩
35		df-i 11025	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
36	35, 35	oveq12i 7367	. . 3 ⊢ (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
37		df-1 11024	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
38	36, 37	oveq12i 7367	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
39		df-0 11023	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
40	34, 38, 39	3eqtr4i 2766	1 ⊢ ((i · i) + 1) = 0

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4583  (class class class)co 7355  Rcnr 10766  0_Rc0r 10767  1_Rc1r 10768  -1_Rcm1r 10769   +_R cplr 10770   ·_R cmr 10771  0cc0 11016  1c1 11017  ici 11018   + caddc 11019   · cmul 11021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9541

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8631  df-ec 8633  df-qs 8637  df-ni 10773  df-pli 10774  df-mi 10775  df-lti 10776  df-plpq 10809  df-mpq 10810  df-ltpq 10811  df-enq 10812  df-nq 10813  df-erq 10814  df-plq 10815  df-mq 10816  df-1nq 10817  df-rq 10818  df-ltnq 10819  df-np 10882  df-1p 10883  df-plp 10884  df-mp 10885  df-ltp 10886  df-enr 10956  df-nr 10957  df-plr 10958  df-mr 10959  df-0r 10961  df-1r 10962  df-m1r 10963  df-c 11022  df-0 11023  df-1 11024  df-i 11025  df-add 11027  df-mul 11028

This theorem is referenced by: (None)