Theorem axi2m1 11199

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 12 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 11223. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	⊢ ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 11120	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
2		1sr 11121	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
3		mulcnsr 11176	. . . . . 6 ⊢ (((0R ∈ R ∧ 1R ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
4	1, 2, 1, 2, 3	mp4an 693	. . . . 5 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
5		00sr 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
7		1idsr 11138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 1R) = 1R)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1R ·R 1R) = 1R
9	8	oveq2i 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
10		m1r 11122	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1R ∈ R
11		1idsr 11138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 1R) = -1R)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R 1R) = -1R
13	9, 12	eqtri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
14	6, 13	oveq12i 7443	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
15		addcomsr 11127	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
16		0idsr 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
18	14, 15, 17	3eqtri 2769	. . . . . 6 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
19		00sr 11139	. . . . . . . . 9 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 0R) = 0R)
20	2, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1R ·R 0R) = 0R
21		1idsr 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 1R) = 0R)
22	1, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 1R) = 0R
23	20, 22	oveq12i 7443	. . . . . . 7 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
24		0idsr 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
25	1, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
26	23, 25	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
27	18, 26	opeq12i 4878	. . . . 5 ⊢ ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R⟩
28	4, 27	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R⟩
29	28	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
30		addresr 11178	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
31	10, 2, 30	mp2an 692	. . 3 ⊢ (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩
32		m1p1sr 11132	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
33	32	opeq1i 4876	. . 3 ⊢ ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
34	29, 31, 33	3eqtri 2769	. 2 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R⟩
35		df-i 11164	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
36	35, 35	oveq12i 7443	. . 3 ⊢ (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
37		df-1 11163	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
38	36, 37	oveq12i 7443	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
39		df-0 11162	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
40	34, 38, 39	3eqtr4i 2775	1 ⊢ ((i · i) + 1) = 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4632  (class class class)co 7431  Rcnr 10905  0_Rc0r 10906  1_Rc1r 10907  -1_Rcm1r 10908   +_R cplr 10909   ·_R cmr 10910  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-ni 10912  df-pli 10913  df-mi 10914  df-lti 10915  df-plpq 10948  df-mpq 10949  df-ltpq 10950  df-enq 10951  df-nq 10952  df-erq 10953  df-plq 10954  df-mq 10955  df-1nq 10956  df-rq 10957  df-ltnq 10958  df-np 11021  df-1p 11022  df-plp 11023  df-mp 11024  df-ltp 11025  df-enr 11095  df-nr 11096  df-plr 11097  df-mr 11098  df-0r 11100  df-1r 11101  df-m1r 11102  df-c 11161  df-0 11162  df-1 11163  df-i 11164  df-add 11166  df-mul 11167

This theorem is referenced by: (None)