Theorem axi2m1 11183

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 12 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 11207. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	⊢ ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 11104	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
2		1sr 11105	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
3		mulcnsr 11160	. . . . . 6 ⊢ (((0R ∈ R ∧ 1R ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
4	1, 2, 1, 2, 3	mp4an 692	. . . . 5 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
5		00sr 11123	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
7		1idsr 11122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 1R) = 1R)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1R ·R 1R) = 1R
9	8	oveq2i 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
10		m1r 11106	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1R ∈ R
11		1idsr 11122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 1R) = -1R)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R 1R) = -1R
13	9, 12	eqtri 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
14	6, 13	oveq12i 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
15		addcomsr 11111	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
16		0idsr 11121	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
18	14, 15, 17	3eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
19		00sr 11123	. . . . . . . . 9 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 0R) = 0R)
20	2, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1R ·R 0R) = 0R
21		1idsr 11122	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 1R) = 0R)
22	1, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 1R) = 0R
23	20, 22	oveq12i 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
24		0idsr 11121	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
25	1, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
26	23, 25	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
27	18, 26	opeq12i 4879	. . . . 5 ⊢ ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R⟩
28	4, 27	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R⟩
29	28	oveq1i 7430	. . 3 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
30		addresr 11162	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
31	10, 2, 30	mp2an 691	. . 3 ⊢ (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩
32		m1p1sr 11116	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
33	32	opeq1i 4877	. . 3 ⊢ ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
34	29, 31, 33	3eqtri 2760	. 2 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R⟩
35		df-i 11148	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
36	35, 35	oveq12i 7432	. . 3 ⊢ (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
37		df-1 11147	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
38	36, 37	oveq12i 7432	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
39		df-0 11146	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
40	34, 38, 39	3eqtr4i 2766	1 ⊢ ((i · i) + 1) = 0

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟨cop 4635  (class class class)co 7420  Rcnr 10889  0_Rc0r 10890  1_Rc1r 10891  -1_Rcm1r 10892   +_R cplr 10893   ·_R cmr 10894  0cc0 11139  1c1 11140  ici 11141   + caddc 11142   · cmul 11144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-ni 10896  df-pli 10897  df-mi 10898  df-lti 10899  df-plpq 10932  df-mpq 10933  df-ltpq 10934  df-enq 10935  df-nq 10936  df-erq 10937  df-plq 10938  df-mq 10939  df-1nq 10940  df-rq 10941  df-ltnq 10942  df-np 11005  df-1p 11006  df-plp 11007  df-mp 11008  df-ltp 11009  df-enr 11079  df-nr 11080  df-plr 11081  df-mr 11082  df-0r 11084  df-1r 11085  df-m1r 11086  df-c 11145  df-0 11146  df-1 11147  df-i 11148  df-add 11150  df-mul 11151

This theorem is referenced by: (None)