Theorem axi2m1 11112

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 12 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 11136. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	⊢ ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 11033	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
2		1sr 11034	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
3		mulcnsr 11089	. . . . . 6 ⊢ (((0R ∈ R ∧ 1R ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 1R ∈ R)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
4	1, 2, 1, 2, 3	mp4an 693	. . . . 5 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
5		00sr 11052	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
7		1idsr 11051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 1R) = 1R)
8	2, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1R ·R 1R) = 1R
9	8	oveq2i 7398	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
10		m1r 11035	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1R ∈ R
11		1idsr 11051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 1R) = -1R)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R 1R) = -1R
13	9, 12	eqtri 2752	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
14	6, 13	oveq12i 7399	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
15		addcomsr 11040	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
16		0idsr 11050	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
18	14, 15, 17	3eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
19		00sr 11052	. . . . . . . . 9 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 0R) = 0R)
20	2, 19	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1R ·R 0R) = 0R
21		1idsr 11051	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 1R) = 0R)
22	1, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 1R) = 0R
23	20, 22	oveq12i 7399	. . . . . . 7 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
24		0idsr 11050	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
25	1, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
26	23, 25	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
27	18, 26	opeq12i 4842	. . . . 5 ⊢ ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R⟩
28	4, 27	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R⟩
29	28	oveq1i 7397	. . 3 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
30		addresr 11091	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
31	10, 2, 30	mp2an 692	. . 3 ⊢ (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩
32		m1p1sr 11045	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
33	32	opeq1i 4840	. . 3 ⊢ ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
34	29, 31, 33	3eqtri 2756	. 2 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R⟩
35		df-i 11077	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
36	35, 35	oveq12i 7399	. . 3 ⊢ (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
37		df-1 11076	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
38	36, 37	oveq12i 7399	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
39		df-0 11075	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
40	34, 38, 39	3eqtr4i 2762	1 ⊢ ((i · i) + 1) = 0

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4595  (class class class)co 7387  Rcnr 10818  0_Rc0r 10819  1_Rc1r 10820  -1_Rcm1r 10821   +_R cplr 10822   ·_R cmr 10823  0cc0 11068  1c1 11069  ici 11070   + caddc 11071   · cmul 11073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-ni 10825  df-pli 10826  df-mi 10827  df-lti 10828  df-plpq 10861  df-mpq 10862  df-ltpq 10863  df-enq 10864  df-nq 10865  df-erq 10866  df-plq 10867  df-mq 10868  df-1nq 10869  df-rq 10870  df-ltnq 10871  df-np 10934  df-1p 10935  df-plp 10936  df-mp 10937  df-ltp 10938  df-enr 11008  df-nr 11009  df-plr 11010  df-mr 11011  df-0r 11013  df-1r 11014  df-m1r 11015  df-c 11074  df-0 11075  df-1 11076  df-i 11077  df-add 11079  df-mul 11080

This theorem is referenced by: (None)