MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axi2m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axi2m1 10259
Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 12 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-i2m1 10283. (Contributed by NM, 5-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axi2m1 ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1
StepHypRef Expression
1 0r 10180 . . . . . 6 0RR
2 1sr 10181 . . . . . 6 1RR
3 mulcnsr 10236 . . . . . 6 (((0RR ∧ 1RR) ∧ (0RR ∧ 1RR)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
41, 2, 1, 2, 3mp4an 676 . . . . 5 (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
5 00sr 10199 . . . . . . . . 9 (0RR → (0R ·R 0R) = 0R)
61, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0R ·R 0R) = 0R
7 1idsr 10198 . . . . . . . . . . 11 (1RR → (1R ·R 1R) = 1R)
82, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1R ·R 1R) = 1R
98oveq2i 6879 . . . . . . . . 9 (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
10 m1r 10182 . . . . . . . . . 10 -1RR
11 1idsr 10198 . . . . . . . . . 10 (-1RR → (-1R ·R 1R) = -1R)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1R ·R 1R) = -1R
139, 12eqtri 2824 . . . . . . . 8 (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
146, 13oveq12i 6880 . . . . . . 7 ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
15 addcomsr 10187 . . . . . . 7 (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
16 0idsr 10197 . . . . . . . 8 (-1RR → (-1R +R 0R) = -1R)
1710, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 (-1R +R 0R) = -1R
1814, 15, 173eqtri 2828 . . . . . 6 ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
19 00sr 10199 . . . . . . . . 9 (1RR → (1R ·R 0R) = 0R)
202, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1R ·R 0R) = 0R
21 1idsr 10198 . . . . . . . . 9 (0RR → (0R ·R 1R) = 0R)
221, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0R ·R 1R) = 0R
2320, 22oveq12i 6880 . . . . . . 7 ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
24 0idsr 10197 . . . . . . . 8 (0RR → (0R +R 0R) = 0R)
251, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 (0R +R 0R) = 0R
2623, 25eqtri 2824 . . . . . 6 ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
2718, 26opeq12i 4593 . . . . 5 ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R
284, 27eqtri 2824 . . . 4 (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R
2928oveq1i 6878 . . 3 ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
30 addresr 10238 . . . 4 ((-1RR ∧ 1RR) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
3110, 2, 30mp2an 675 . . 3 (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R
32 m1p1sr 10192 . . . 4 (-1R +R 1R) = 0R
3332opeq1i 4591 . . 3 ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R
3429, 31, 333eqtri 2828 . 2 ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R
35 df-i 10224 . . . 4 i = ⟨0R, 1R
3635, 35oveq12i 6880 . . 3 (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
37 df-1 10223 . . 3 1 = ⟨1R, 0R
3836, 37oveq12i 6880 . 2 ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
39 df-0 10222 . 2 0 = ⟨0R, 0R
4034, 38, 393eqtr4i 2834 1 ((i · i) + 1) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  wcel 2155  cop 4370  (class class class)co 6868  Rcnr 9966  0Rc0r 9967  1Rc1r 9968  -1Rcm1r 9969   +R cplr 9970   ·R cmr 9971  0cc0 10215  1c1 10216  ici 10217   + caddc 10218   · cmul 10220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-inf2 8779
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-oadd 7794  df-omul 7795  df-er 7973  df-ec 7975  df-qs 7979  df-ni 9973  df-pli 9974  df-mi 9975  df-lti 9976  df-plpq 10009  df-mpq 10010  df-ltpq 10011  df-enq 10012  df-nq 10013  df-erq 10014  df-plq 10015  df-mq 10016  df-1nq 10017  df-rq 10018  df-ltnq 10019  df-np 10082  df-1p 10083  df-plp 10084  df-mp 10085  df-ltp 10086  df-enr 10156  df-nr 10157  df-plr 10158  df-mr 10159  df-0r 10161  df-1r 10162  df-m1r 10163  df-c 10221  df-0 10222  df-1 10223  df-i 10224  df-add 10226  df-mul 10227
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator