MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulresr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulresr 11179
Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulresr ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)

Proof of Theorem mulresr
StepHypRef Expression
1 0r 11120 . . 3 0RR
2 mulcnsr 11176 . . . 4 (((𝐴R ∧ 0RR) ∧ (𝐵R ∧ 0RR)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
32an4s 660 . . 3 (((𝐴R𝐵R) ∧ (0RR ∧ 0RR)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
41, 1, 3mpanr12 705 . 2 ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
5 00sr 11139 . . . . . . . 8 (0RR → (0R ·R 0R) = 0R)
61, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (0R ·R 0R) = 0R
76oveq2i 7442 . . . . . 6 (-1R ·R (0R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
8 m1r 11122 . . . . . . 7 -1RR
9 00sr 11139 . . . . . . 7 (-1RR → (-1R ·R 0R) = 0R)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (-1R ·R 0R) = 0R
117, 10eqtri 2765 . . . . 5 (-1R ·R (0R ·R 0R)) = 0R
1211oveq2i 7442 . . . 4 ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R)
13 mulclsr 11124 . . . . 5 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ R)
14 0idsr 11137 . . . . 5 ((𝐴 ·R 𝐵) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝐴R𝐵R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
1612, 15eqtrid 2789 . . 3 ((𝐴R𝐵R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = (𝐴 ·R 𝐵))
17 mulcomsr 11129 . . . . . 6 (0R ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 0R)
18 00sr 11139 . . . . . 6 (𝐵R → (𝐵 ·R 0R) = 0R)
1917, 18eqtrid 2789 . . . . 5 (𝐵R → (0R ·R 𝐵) = 0R)
20 00sr 11139 . . . . 5 (𝐴R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
2119, 20oveqan12rd 7451 . . . 4 ((𝐴R𝐵R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = (0R +R 0R))
22 0idsr 11137 . . . . 5 (0RR → (0R +R 0R) = 0R)
231, 22ax-mp 5 . . . 4 (0R +R 0R) = 0R
2421, 23eqtrdi 2793 . . 3 ((𝐴R𝐵R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = 0R)
2516, 24opeq12d 4881 . 2 ((𝐴R𝐵R) → ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩ = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)
264, 25eqtrd 2777 1 ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cop 4632  (class class class)co 7431  Rcnr 10905  0Rc0r 10906  -1Rcm1r 10908   +R cplr 10909   ·R cmr 10910   · cmul 11160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-ni 10912  df-pli 10913  df-mi 10914  df-lti 10915  df-plpq 10948  df-mpq 10949  df-ltpq 10950  df-enq 10951  df-nq 10952  df-erq 10953  df-plq 10954  df-mq 10955  df-1nq 10956  df-rq 10957  df-ltnq 10958  df-np 11021  df-1p 11022  df-plp 11023  df-mp 11024  df-ltp 11025  df-enr 11095  df-nr 11096  df-plr 11097  df-mr 11098  df-0r 11100  df-m1r 11102  df-c 11161  df-mul 11167
This theorem is referenced by:  axmulrcl  11194  ax1rid  11201  axrrecex  11203  axpre-mulgt0  11208
  Copyright terms: Public domain W3C validator