Theorem mulresr 11053

Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulresr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)

Proof of Theorem mulresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 10994	. . 3 ⊢ 0R ∈ R
2		mulcnsr 11050	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ R) ∧ (𝐵 ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
3	2	an4s 666	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
4	1, 1, 3	mpanr12 711	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
5		00sr 11013	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
7	6	oveq2i 7367	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R (0R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
8		m1r 10996	. . . . . . 7 ⊢ -1R ∈ R
9		00sr 11013	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 0R) = 0R)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R 0R) = 0R
11	7, 10	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (0R ·R 0R)) = 0R
12	11	oveq2i 7367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R)
13		mulclsr 10998	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ R)
14		0idsr 11011	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐵) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
16	12, 15	eqtrid 2786	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = (𝐴 ·R 𝐵))
17		mulcomsr 11003	. . . . . 6 ⊢ (0R ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 0R)
18		00sr 11013	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ R → (𝐵 ·R 0R) = 0R)
19	17, 18	eqtrid 2786	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ R → (0R ·R 𝐵) = 0R)
20		00sr 11013	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
21	19, 20	oveqan12rd 7376	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = (0R +R 0R))
22		0idsr 11011	. . . . 5 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
23	1, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
24	21, 23	eqtrdi 2790	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = 0R)
25	16, 24	opeq12d 4812	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩ = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)
26	4, 25	eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⟨cop 4561  (class class class)co 7356  Rcnr 10779  0_Rc0r 10780  -1_Rcm1r 10782   +_R cplr 10783   ·_R cmr 10784   · cmul 11034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-ec 8635  df-qs 8639  df-ni 10786  df-pli 10787  df-mi 10788  df-lti 10789  df-plpq 10822  df-mpq 10823  df-ltpq 10824  df-enq 10825  df-nq 10826  df-erq 10827  df-plq 10828  df-mq 10829  df-1nq 10830  df-rq 10831  df-ltnq 10832  df-np 10895  df-1p 10896  df-plp 10897  df-mp 10898  df-ltp 10899  df-enr 10969  df-nr 10970  df-plr 10971  df-mr 10972  df-0r 10974  df-m1r 10976  df-c 11035  df-mul 11041

This theorem is referenced by:  axmulrcl  11068  ax1rid  11075  axrrecex  11077  axpre-mulgt0  11082