Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulresr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulresr 10612
 Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulresr ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)

Proof of Theorem mulresr
StepHypRef Expression
1 0r 10553 . . 3 0RR
2 mulcnsr 10609 . . . 4 (((𝐴R ∧ 0RR) ∧ (𝐵R ∧ 0RR)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
32an4s 659 . . 3 (((𝐴R𝐵R) ∧ (0RR ∧ 0RR)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
41, 1, 3mpanr12 704 . 2 ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
5 00sr 10572 . . . . . . . 8 (0RR → (0R ·R 0R) = 0R)
61, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (0R ·R 0R) = 0R
76oveq2i 7167 . . . . . 6 (-1R ·R (0R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
8 m1r 10555 . . . . . . 7 -1RR
9 00sr 10572 . . . . . . 7 (-1RR → (-1R ·R 0R) = 0R)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (-1R ·R 0R) = 0R
117, 10eqtri 2781 . . . . 5 (-1R ·R (0R ·R 0R)) = 0R
1211oveq2i 7167 . . . 4 ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R)
13 mulclsr 10557 . . . . 5 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ R)
14 0idsr 10570 . . . . 5 ((𝐴 ·R 𝐵) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝐴R𝐵R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
1612, 15syl5eq 2805 . . 3 ((𝐴R𝐵R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = (𝐴 ·R 𝐵))
17 mulcomsr 10562 . . . . . 6 (0R ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 0R)
18 00sr 10572 . . . . . 6 (𝐵R → (𝐵 ·R 0R) = 0R)
1917, 18syl5eq 2805 . . . . 5 (𝐵R → (0R ·R 𝐵) = 0R)
20 00sr 10572 . . . . 5 (𝐴R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
2119, 20oveqan12rd 7176 . . . 4 ((𝐴R𝐵R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = (0R +R 0R))
22 0idsr 10570 . . . . 5 (0RR → (0R +R 0R) = 0R)
231, 22ax-mp 5 . . . 4 (0R +R 0R) = 0R
2421, 23eqtrdi 2809 . . 3 ((𝐴R𝐵R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = 0R)
2516, 24opeq12d 4774 . 2 ((𝐴R𝐵R) → ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩ = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)
264, 25eqtrd 2793 1 ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4531  (class class class)co 7156  Rcnr 10338  0Rc0r 10339  -1Rcm1r 10341   +R cplr 10342   ·R cmr 10343   · cmul 10593 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-oadd 8122  df-omul 8123  df-er 8305  df-ec 8307  df-qs 8311  df-ni 10345  df-pli 10346  df-mi 10347  df-lti 10348  df-plpq 10381  df-mpq 10382  df-ltpq 10383  df-enq 10384  df-nq 10385  df-erq 10386  df-plq 10387  df-mq 10388  df-1nq 10389  df-rq 10390  df-ltnq 10391  df-np 10454  df-1p 10455  df-plp 10456  df-mp 10457  df-ltp 10458  df-enr 10528  df-nr 10529  df-plr 10530  df-mr 10531  df-0r 10533  df-m1r 10535  df-c 10594  df-mul 10600 This theorem is referenced by:  axmulrcl  10627  ax1rid  10634  axrrecex  10636  axpre-mulgt0  10641
 Copyright terms: Public domain W3C validator