Theorem mulresr 11153

Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulresr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)

Proof of Theorem mulresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 11094	. . 3 ⊢ 0R ∈ R
2		mulcnsr 11150	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ R) ∧ (𝐵 ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
3	2	an4s 660	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (0R ∈ R ∧ 0R ∈ R)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
4	1, 1, 3	mpanr12 705	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
5		00sr 11113	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
7	6	oveq2i 7416	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R (0R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
8		m1r 11096	. . . . . . 7 ⊢ -1R ∈ R
9		00sr 11113	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 0R) = 0R)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R 0R) = 0R
11	7, 10	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (0R ·R 0R)) = 0R
12	11	oveq2i 7416	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R)
13		mulclsr 11098	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ R)
14		0idsr 11111	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐵) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
16	12, 15	eqtrid 2782	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = (𝐴 ·R 𝐵))
17		mulcomsr 11103	. . . . . 6 ⊢ (0R ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 0R)
18		00sr 11113	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ R → (𝐵 ·R 0R) = 0R)
19	17, 18	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ R → (0R ·R 𝐵) = 0R)
20		00sr 11113	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
21	19, 20	oveqan12rd 7425	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = (0R +R 0R))
22		0idsr 11111	. . . . 5 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
23	1, 22	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
24	21, 23	eqtrdi 2786	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = 0R)
25	16, 24	opeq12d 4857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩ = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)
26	4, 25	eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4607  (class class class)co 7405  Rcnr 10879  0_Rc0r 10880  -1_Rcm1r 10882   +_R cplr 10883   ·_R cmr 10884   · cmul 11134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-ni 10886  df-pli 10887  df-mi 10888  df-lti 10889  df-plpq 10922  df-mpq 10923  df-ltpq 10924  df-enq 10925  df-nq 10926  df-erq 10927  df-plq 10928  df-mq 10929  df-1nq 10930  df-rq 10931  df-ltnq 10932  df-np 10995  df-1p 10996  df-plp 10997  df-mp 10998  df-ltp 10999  df-enr 11069  df-nr 11070  df-plr 11071  df-mr 11072  df-0r 11074  df-m1r 11076  df-c 11135  df-mul 11141

This theorem is referenced by:  axmulrcl  11168  ax1rid  11175  axrrecex  11177  axpre-mulgt0  11182