MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulresr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulresr 11176
Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals. (Contributed by NM, 10-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulresr ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)

Proof of Theorem mulresr
StepHypRef Expression
1 0r 11117 . . 3 0RR
2 mulcnsr 11173 . . . 4 (((𝐴R ∧ 0RR) ∧ (𝐵R ∧ 0RR)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
32an4s 660 . . 3 (((𝐴R𝐵R) ∧ (0RR ∧ 0RR)) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
41, 1, 3mpanr12 705 . 2 ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩)
5 00sr 11136 . . . . . . . 8 (0RR → (0R ·R 0R) = 0R)
61, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (0R ·R 0R) = 0R
76oveq2i 7441 . . . . . 6 (-1R ·R (0R ·R 0R)) = (-1R ·R 0R)
8 m1r 11119 . . . . . . 7 -1RR
9 00sr 11136 . . . . . . 7 (-1RR → (-1R ·R 0R) = 0R)
108, 9ax-mp 5 . . . . . 6 (-1R ·R 0R) = 0R
117, 10eqtri 2762 . . . . 5 (-1R ·R (0R ·R 0R)) = 0R
1211oveq2i 7441 . . . 4 ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R)
13 mulclsr 11121 . . . . 5 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ R)
14 0idsr 11134 . . . . 5 ((𝐴 ·R 𝐵) ∈ R → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝐴R𝐵R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R 0R) = (𝐴 ·R 𝐵))
1612, 15eqtrid 2786 . . 3 ((𝐴R𝐵R) → ((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))) = (𝐴 ·R 𝐵))
17 mulcomsr 11126 . . . . . 6 (0R ·R 𝐵) = (𝐵 ·R 0R)
18 00sr 11136 . . . . . 6 (𝐵R → (𝐵 ·R 0R) = 0R)
1917, 18eqtrid 2786 . . . . 5 (𝐵R → (0R ·R 𝐵) = 0R)
20 00sr 11136 . . . . 5 (𝐴R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)
2119, 20oveqan12rd 7450 . . . 4 ((𝐴R𝐵R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = (0R +R 0R))
22 0idsr 11134 . . . . 5 (0RR → (0R +R 0R) = 0R)
231, 22ax-mp 5 . . . 4 (0R +R 0R) = 0R
2421, 23eqtrdi 2790 . . 3 ((𝐴R𝐵R) → ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R)) = 0R)
2516, 24opeq12d 4885 . 2 ((𝐴R𝐵R) → ⟨((𝐴 ·R 𝐵) +R (-1R ·R (0R ·R 0R))), ((0R ·R 𝐵) +R (𝐴 ·R 0R))⟩ = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)
264, 25eqtrd 2774 1 ((𝐴R𝐵R) → (⟨𝐴, 0R⟩ · ⟨𝐵, 0R⟩) = ⟨(𝐴 ·R 𝐵), 0R⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  cop 4636  (class class class)co 7430  Rcnr 10902  0Rc0r 10903  -1Rcm1r 10905   +R cplr 10906   ·R cmr 10907   · cmul 11157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-ni 10909  df-pli 10910  df-mi 10911  df-lti 10912  df-plpq 10945  df-mpq 10946  df-ltpq 10947  df-enq 10948  df-nq 10949  df-erq 10950  df-plq 10951  df-mq 10952  df-1nq 10953  df-rq 10954  df-ltnq 10955  df-np 11018  df-1p 11019  df-plp 11020  df-mp 11021  df-ltp 11022  df-enr 11092  df-nr 11093  df-plr 11094  df-mr 11095  df-0r 11097  df-m1r 11099  df-c 11158  df-mul 11164
This theorem is referenced by:  axmulrcl  11191  ax1rid  11198  axrrecex  11200  axpre-mulgt0  11205
  Copyright terms: Public domain W3C validator