Theorem subrfv 45211

Description: Vector subtraction at a value. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
subrfv	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴-𝑟𝐵)‘𝐶) = ((𝐴‘𝐶) − (𝐵‘𝐶)))

Proof of Theorem subrfv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrval 45208	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴-𝑟𝐵) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥))))
2	1	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐴-𝑟𝐵)‘𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥)))‘𝐶))
3		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝐶))
4		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵‘𝑥) = (𝐵‘𝐶))
5	3, 4	oveq12d 7434	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥)) = ((𝐴‘𝐶) − (𝐵‘𝐶)))
6		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥)))
7		ovex 7449	. . . 4 ⊢ ((𝐴‘𝐶) − (𝐵‘𝐶)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6993	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑥) − (𝐵‘𝑥)))‘𝐶) = ((𝐴‘𝐶) − (𝐵‘𝐶)))
9	2, 8	sylan9eq 2820	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴-𝑟𝐵)‘𝐶) = ((𝐴‘𝐶) − (𝐵‘𝐶)))
10	9	3impa 1127	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐸 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴-𝑟𝐵)‘𝐶) = ((𝐴‘𝐶) − (𝐵‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11110   − cmin 11452  -_𝑟cminusr 45199

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-subr 45205

This theorem is used by: (None)