Theorem subrval 45408

Description: Value of the operation of vector subtraction. (Contributed by Andrew Salmon, 27-Jan-2012.)

Assertion

Ref	Expression
subrval	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴-𝑟𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑣) − (𝐵‘𝑣))))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣)   𝐷(𝑣)

Proof of Theorem subrval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3472	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 3472	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ V)
3		fveq1 6876	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥‘𝑣) = (𝐴‘𝑣))
4		fveq1 6876	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦‘𝑣) = (𝐵‘𝑣))
5	3, 4	oveqan12d 7431	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → ((𝑥‘𝑣) − (𝑦‘𝑣)) = ((𝐴‘𝑣) − (𝐵‘𝑣)))
6	5	mpteq2dv 5199	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑣 ∈ ℝ ↦ ((𝑥‘𝑣) − (𝑦‘𝑣))) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑣) − (𝐵‘𝑣))))
7		df-subr 45405	. . 3 ⊢ -𝑟 = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑣 ∈ ℝ ↦ ((𝑥‘𝑣) − (𝑦‘𝑣))))
8		reex 11272	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
9	8	mptex 7221	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑣) − (𝐵‘𝑣))) ∈ V
10	6, 7, 9	ovmpoa 7567	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴-𝑟𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑣) − (𝐵‘𝑣))))
11	1, 2, 10	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴-𝑟𝐵) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ ((𝐴‘𝑣) − (𝐵‘𝑣))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180   − cmin 11522  -_𝑟cminusr 45399

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-subr 45405

This theorem is used by:  subrfv  45411  subrfn  45414