Theorem noxp1o 27709

Description: The Cartesian product of an ordinal and {1_o} is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
noxp1o	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}) ∈ No )

Proof of Theorem noxp1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 8517	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
2	1	prid1 4761	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ {1o, 2o}
3	2	fconst6 6797	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {1o}):𝐴⟶{1o, 2o}
4	1	snnz 4775	. . . . . 6 ⊢ {1o} ≠ ∅
5		dmxp 5938	. . . . . 6 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → dom (𝐴 × {1o}) = 𝐴)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (𝐴 × {1o}) = 𝐴
7	6	feq2i 6727	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o} ↔ (𝐴 × {1o}):𝐴⟶{1o, 2o})
8	3, 7	mpbir 231	. . 3 ⊢ (𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o}
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o})
10	6	eleq1i 2831	. . 3 ⊢ (dom (𝐴 × {1o}) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On)
11	10	biimpri 228	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → dom (𝐴 × {1o}) ∈ On)
12		elno3 27701	. 2 ⊢ ((𝐴 × {1o}) ∈ No ↔ ((𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o} ∧ dom (𝐴 × {1o}) ∈ On))
13	9, 11, 12	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∅c0 4332  {csn 4625  {cpr 4627   × cxp 5682  dom cdm 5684  Oncon0 6383  ⟶wf 6556  1_oc1o 8500  2_oc2o 8501   No csur 27685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-suc 6389  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-1o 8507  df-no 27688

This theorem is referenced by:  bdayfo  27723