Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  noxp1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noxp1o 32146
Description: The Cartesian product of an ordinal and {1𝑜} is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
noxp1o (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1𝑜}) ∈ No )

Proof of Theorem noxp1o
StepHypRef Expression
1 1oex 7811 . . . . . 6 1𝑜 ∈ V
21prid1 4499 . . . . 5 1𝑜 ∈ {1𝑜, 2𝑜}
32fconst6 6317 . . . 4 (𝐴 × {1𝑜}):𝐴⟶{1𝑜, 2𝑜}
41snnz 4510 . . . . . 6 {1𝑜} ≠ ∅
5 dmxp 5556 . . . . . 6 ({1𝑜} ≠ ∅ → dom (𝐴 × {1𝑜}) = 𝐴)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 dom (𝐴 × {1𝑜}) = 𝐴
76feq2i 6255 . . . 4 ((𝐴 × {1𝑜}):dom (𝐴 × {1𝑜})⟶{1𝑜, 2𝑜} ↔ (𝐴 × {1𝑜}):𝐴⟶{1𝑜, 2𝑜})
83, 7mpbir 222 . . 3 (𝐴 × {1𝑜}):dom (𝐴 × {1𝑜})⟶{1𝑜, 2𝑜}
98a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1𝑜}):dom (𝐴 × {1𝑜})⟶{1𝑜, 2𝑜})
106eleq1i 2887 . . 3 (dom (𝐴 × {1𝑜}) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On)
1110biimpri 219 . 2 (𝐴 ∈ On → dom (𝐴 × {1𝑜}) ∈ On)
12 elno3 32138 . 2 ((𝐴 × {1𝑜}) ∈ No ↔ ((𝐴 × {1𝑜}):dom (𝐴 × {1𝑜})⟶{1𝑜, 2𝑜} ∧ dom (𝐴 × {1𝑜}) ∈ On))
139, 11, 12sylanbrc 574 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1𝑜}) ∈ No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  c0 4127  {csn 4381  {cpr 4383   × cxp 5320  dom cdm 5322  Oncon0 5947  wf 6104  1𝑜c1o 7796  2𝑜c2o 7797   No csur 32123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pr 5107  ax-un 7186
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-ord 5950  df-on 5951  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-1o 7803  df-no 32126
This theorem is referenced by:  bdayfo  32158
  Copyright terms: Public domain W3C validator