Theorem noxp1o 27726

Description: The Cartesian product of an ordinal and {1_o} is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
noxp1o	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}) ∈ No )

Proof of Theorem noxp1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 8532	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
2	1	prid1 4787	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ {1o, 2o}
3	2	fconst6 6811	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {1o}):𝐴⟶{1o, 2o}
4	1	snnz 4801	. . . . . 6 ⊢ {1o} ≠ ∅
5		dmxp 5953	. . . . . 6 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → dom (𝐴 × {1o}) = 𝐴)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (𝐴 × {1o}) = 𝐴
7	6	feq2i 6739	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o} ↔ (𝐴 × {1o}):𝐴⟶{1o, 2o})
8	3, 7	mpbir 231	. . 3 ⊢ (𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o}
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o})
10	6	eleq1i 2835	. . 3 ⊢ (dom (𝐴 × {1o}) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On)
11	10	biimpri 228	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → dom (𝐴 × {1o}) ∈ On)
12		elno3 27718	. 2 ⊢ ((𝐴 × {1o}) ∈ No ↔ ((𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o} ∧ dom (𝐴 × {1o}) ∈ On))
13	9, 11, 12	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∅c0 4352  {csn 4648  {cpr 4650   × cxp 5698  dom cdm 5700  Oncon0 6395  ⟶wf 6569  1_oc1o 8515  2_oc2o 8516   No csur 27702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-suc 6401  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-1o 8522  df-no 27705

This theorem is referenced by:  bdayfo  27740