Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  noxp1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noxp1o 33067
Description: The Cartesian product of an ordinal and {1o} is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
noxp1o (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}) ∈ No )

Proof of Theorem noxp1o
StepHypRef Expression
1 1oex 8099 . . . . . 6 1o ∈ V
21prid1 4690 . . . . 5 1o ∈ {1o, 2o}
32fconst6 6562 . . . 4 (𝐴 × {1o}):𝐴⟶{1o, 2o}
41snnz 4703 . . . . . 6 {1o} ≠ ∅
5 dmxp 5792 . . . . . 6 ({1o} ≠ ∅ → dom (𝐴 × {1o}) = 𝐴)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 dom (𝐴 × {1o}) = 𝐴
76feq2i 6499 . . . 4 ((𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o} ↔ (𝐴 × {1o}):𝐴⟶{1o, 2o})
83, 7mpbir 232 . . 3 (𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o}
98a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o})
106eleq1i 2900 . . 3 (dom (𝐴 × {1o}) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On)
1110biimpri 229 . 2 (𝐴 ∈ On → dom (𝐴 × {1o}) ∈ On)
12 elno3 33059 . 2 ((𝐴 × {1o}) ∈ No ↔ ((𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o} ∧ dom (𝐴 × {1o}) ∈ On))
139, 11, 12sylanbrc 583 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}) ∈ No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  c0 4288  {csn 4557  {cpr 4559   × cxp 5546  dom cdm 5548  Oncon0 6184  wf 6344  1oc1o 8084  2oc2o 8085   No csur 33044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-1o 8091  df-no 33047
This theorem is referenced by:  bdayfo  33079
  Copyright terms: Public domain W3C validator