Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  noxp1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noxp1o 33283
Description: The Cartesian product of an ordinal and {1o} is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
noxp1o (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}) ∈ No )

Proof of Theorem noxp1o
StepHypRef Expression
1 1oex 8093 . . . . . 6 1o ∈ V
21prid1 4658 . . . . 5 1o ∈ {1o, 2o}
32fconst6 6543 . . . 4 (𝐴 × {1o}):𝐴⟶{1o, 2o}
41snnz 4672 . . . . . 6 {1o} ≠ ∅
5 dmxp 5763 . . . . . 6 ({1o} ≠ ∅ → dom (𝐴 × {1o}) = 𝐴)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 dom (𝐴 × {1o}) = 𝐴
76feq2i 6479 . . . 4 ((𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o} ↔ (𝐴 × {1o}):𝐴⟶{1o, 2o})
83, 7mpbir 234 . . 3 (𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o}
98a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o})
106eleq1i 2880 . . 3 (dom (𝐴 × {1o}) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On)
1110biimpri 231 . 2 (𝐴 ∈ On → dom (𝐴 × {1o}) ∈ On)
12 elno3 33275 . 2 ((𝐴 × {1o}) ∈ No ↔ ((𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o} ∧ dom (𝐴 × {1o}) ∈ On))
139, 11, 12sylanbrc 586 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}) ∈ No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  c0 4243  {csn 4525  {cpr 4527   × cxp 5517  dom cdm 5519  Oncon0 6159  wf 6320  1oc1o 8078  2oc2o 8079   No csur 33260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-1o 8085  df-no 33263
This theorem is referenced by:  bdayfo  33295
  Copyright terms: Public domain W3C validator