Theorem noxp1o 27648

Description: The Cartesian product of an ordinal and {1_o} is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
noxp1o	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}) ∈ No )

Proof of Theorem noxp1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 8419	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
2	1	prid1 4721	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ {1o, 2o}
3	2	fconst6 6734	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {1o}):𝐴⟶{1o, 2o}
4	1	snnz 4735	. . . . . 6 ⊢ {1o} ≠ ∅
5		dmxp 5888	. . . . . 6 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → dom (𝐴 × {1o}) = 𝐴)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (𝐴 × {1o}) = 𝐴
7	6	feq2i 6664	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o} ↔ (𝐴 × {1o}):𝐴⟶{1o, 2o})
8	3, 7	mpbir 231	. . 3 ⊢ (𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o}
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o})
10	6	eleq1i 2828	. . 3 ⊢ (dom (𝐴 × {1o}) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On)
11	10	biimpri 228	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → dom (𝐴 × {1o}) ∈ On)
12		elno3 27640	. 2 ⊢ ((𝐴 × {1o}) ∈ No ↔ ((𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o} ∧ dom (𝐴 × {1o}) ∈ On))
13	9, 11, 12	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4287  {csn 4582  {cpr 4584   × cxp 5632  dom cdm 5634  Oncon0 6327  ⟶wf 6498  1_oc1o 8402  2_oc2o 8403   No csur 27624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-suc 6333  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-1o 8409  df-no 27627

This theorem is referenced by:  bdayfo  27662