Theorem noxp1o 27836

Description: The Cartesian product of an ordinal and {1_o} is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
noxp1o	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}) ∈ No )

Proof of Theorem noxp1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 8459	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
2	1	prid1 4728	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ {1o, 2o}
3	2	fconst6 6768	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {1o}):𝐴⟶{1o, 2o}
4	1	snnz 4742	. . . . . 6 ⊢ {1o} ≠ ∅
5		dmxp 5919	. . . . . 6 ⊢ ({1o} ≠ ∅ → dom (𝐴 × {1o}) = 𝐴)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (𝐴 × {1o}) = 𝐴
7	6	feq2i 6697	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o} ↔ (𝐴 × {1o}):𝐴⟶{1o, 2o})
8	3, 7	mpbir 234	. . 3 ⊢ (𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o}
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o})
10	6	eleq1i 2854	. . 3 ⊢ (dom (𝐴 × {1o}) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On)
11	10	biimpri 231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → dom (𝐴 × {1o}) ∈ On)
12		elno3 27828	. 2 ⊢ ((𝐴 × {1o}) ∈ No ↔ ((𝐴 × {1o}):dom (𝐴 × {1o})⟶{1o, 2o} ∧ dom (𝐴 × {1o}) ∈ On))
13	9, 11, 12	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1o}) ∈ No )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4286  {csn 4589  {cpr 4591   × cxp 5659  dom cdm 5661  Oncon0 6360  ⟶wf 6532  1_oc1o 8442  2_oc2o 8443   No csur 27813

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-suc 6366  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-1o 8449  df-no 27816

This theorem is used by:  bdayfo  27850