MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odfvalALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odfvalALT 19322
Description: Shorter proof of odfval 19321 using ax-rep 5247. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
odval.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odval.2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
odval.3 0 = (0gโ€˜๐บ)
odval.4 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
odfvalALT ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐‘–,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘–,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, 0 ,๐‘ฆ,๐‘–   ๐‘ฅ,๐‘‹
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘–)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–)   ๐‘‹(๐‘ฆ,๐‘–)

Proof of Theorem odfvalALT
Dummy variable ๐‘” is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odval.4 . 2 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
2 fveq2 6847 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = (Baseโ€˜๐บ))
3 odval.1 . . . . . 6 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
42, 3eqtr4di 2795 . . . . 5 (๐‘” = ๐บ โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = ๐‘‹)
5 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐บ โ†’ (.gโ€˜๐‘”) = (.gโ€˜๐บ))
6 odval.2 . . . . . . . . . 10 ยท = (.gโ€˜๐บ)
75, 6eqtr4di 2795 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐บ โ†’ (.gโ€˜๐‘”) = ยท )
87oveqd 7379 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))
9 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = (0gโ€˜๐บ))
10 odval.3 . . . . . . . . 9 0 = (0gโ€˜๐บ)
119, 10eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = 0 )
128, 11eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”) โ†” (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 ))
1312rabbidv 3418 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 })
1413csbeq1d 3864 . . . . 5 (๐‘” = ๐บ โ†’ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) = โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
154, 14mpteq12dv 5201 . . . 4 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”) โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))))
16 df-od 19317 . . . 4 od = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”) โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))))
1715, 16, 3mptfvmpt 7183 . . 3 (๐บ โˆˆ V โ†’ (odโ€˜๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))))
18 fvprc 6839 . . . 4 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (odโ€˜๐บ) = โˆ…)
19 fvprc 6839 . . . . . . 7 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (Baseโ€˜๐บ) = โˆ…)
203, 19eqtrid 2789 . . . . . 6 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ ๐‘‹ = โˆ…)
2120mpteq1d 5205 . . . . 5 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โˆ… โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))))
22 mpt0 6648 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โˆ… โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))) = โˆ…
2321, 22eqtrdi 2793 . . . 4 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))) = โˆ…)
2418, 23eqtr4d 2780 . . 3 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (odโ€˜๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))))
2517, 24pm2.61i 182 . 2 (odโ€˜๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
261, 25eqtri 2765 1 ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3410  Vcvv 3448  โฆ‹csb 3860  โˆ…c0 4287  ifcif 4491   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  โ„cr 11057  0cc0 11058   < clt 11196  โ„•cn 12160  Basecbs 17090  0gc0g 17328  .gcmg 18879  odcod 19313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-od 19317
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator