MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odfvalALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odfvalALT 19403
Description: Shorter proof of odfval 19402 using ax-rep 5285. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
odval.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odval.2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
odval.3 0 = (0gโ€˜๐บ)
odval.4 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
odfvalALT ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐‘–,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘–,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, 0 ,๐‘ฆ,๐‘–   ๐‘ฅ,๐‘‹
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘–)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–)   ๐‘‹(๐‘ฆ,๐‘–)

Proof of Theorem odfvalALT
Dummy variable ๐‘” is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odval.4 . 2 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
2 fveq2 6891 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = (Baseโ€˜๐บ))
3 odval.1 . . . . . 6 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
42, 3eqtr4di 2790 . . . . 5 (๐‘” = ๐บ โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = ๐‘‹)
5 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐บ โ†’ (.gโ€˜๐‘”) = (.gโ€˜๐บ))
6 odval.2 . . . . . . . . . 10 ยท = (.gโ€˜๐บ)
75, 6eqtr4di 2790 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐บ โ†’ (.gโ€˜๐‘”) = ยท )
87oveqd 7428 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))
9 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = (0gโ€˜๐บ))
10 odval.3 . . . . . . . . 9 0 = (0gโ€˜๐บ)
119, 10eqtr4di 2790 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = 0 )
128, 11eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”) โ†” (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 ))
1312rabbidv 3440 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 })
1413csbeq1d 3897 . . . . 5 (๐‘” = ๐บ โ†’ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) = โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
154, 14mpteq12dv 5239 . . . 4 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”) โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))))
16 df-od 19398 . . . 4 od = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”) โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))))
1715, 16, 3mptfvmpt 7232 . . 3 (๐บ โˆˆ V โ†’ (odโ€˜๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))))
18 fvprc 6883 . . . 4 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (odโ€˜๐บ) = โˆ…)
19 fvprc 6883 . . . . . . 7 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (Baseโ€˜๐บ) = โˆ…)
203, 19eqtrid 2784 . . . . . 6 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ ๐‘‹ = โˆ…)
2120mpteq1d 5243 . . . . 5 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โˆ… โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))))
22 mpt0 6692 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โˆ… โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))) = โˆ…
2321, 22eqtrdi 2788 . . . 4 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))) = โˆ…)
2418, 23eqtr4d 2775 . . 3 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (odโ€˜๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))))
2517, 24pm2.61i 182 . 2 (odโ€˜๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
261, 25eqtri 2760 1 ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474  โฆ‹csb 3893  โˆ…c0 4322  ifcif 4528   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  infcinf 9438  โ„cr 11111  0cc0 11112   < clt 11250  โ„•cn 12214  Basecbs 17146  0gc0g 17387  .gcmg 18952  odcod 19394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-od 19398
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator