Theorem mpt0 6492

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4458	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 6490	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 6481	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 232	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  Vcvv 3496  ∅c0 4293   ↦ cmpt 5148   Fn wfn 6352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-fun 6359  df-fn 6360

This theorem is referenced by:  oarec  8190  swrd00  14008  swrdlend  14017  repswswrd  14148  0rest  16705  grpinvfval  18144  grpinvfvalALT  18145  mulgnn0gsum  18236  psgnfval  18630  odfval  18662  odfvalALT  18663  gsumconst  19056  gsum2dlem2  19093  dprd0  19155  staffval  19620  asclfval  20110  mplcoe1  20248  mplcoe5  20251  coe1fzgsumd  20472  evl1gsumd  20522  gsumfsum  20614  pjfval  20852  mavmul0  21163  submafval  21190  mdetfval  21197  nfimdetndef  21200  mdetfval1  21201  mdet0pr  21203  madufval  21248  madugsum  21254  minmar1fval  21257  cramer0  21301  nmfval  23200  mdegfval  24658  gsumvsca1  30856  gsumvsca2  30857  esumnul  31309  esumrnmpt2  31329  sitg0  31606  mrsubfval  32757  msubfval  32773  elmsubrn  32777  mvhfval  32782  msrfval  32786  matunitlindflem1  34890  matunitlindf  34892  poimirlem28  34922  liminf0  42081  cncfiooicc  42184  itgvol0  42260  stoweidlem9  42301  sge0iunmptlemfi  42702  sge0isum  42716  lincval0  44477