Theorem mpt0 6628

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4462	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 6626	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 6617	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 230	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  Vcvv 3437  ∅c0 4282   ↦ cmpt 5174   Fn wfn 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-fun 6488  df-fn 6489

This theorem is referenced by:  oarec  8483  swrd00  14554  swrdlend  14563  repswswrd  14693  0rest  17335  grpinvfval  18893  grpinvfvalALT  18894  mulgnn0gsum  18995  psgnfval  19414  odfval  19446  odfvalALT  19447  gsumconst  19848  gsum2dlem2  19885  dprd0  19947  staffval  20758  gsumfsum  21373  pjfval  21645  asclfval  21818  mplcoe1  21973  mplcoe5  21976  coe1fzgsumd  22220  evl1gsumd  22273  mavmul0  22468  submafval  22495  mdetfval  22502  nfimdetndef  22505  mdetfval1  22506  mdet0pr  22508  madufval  22553  madugsum  22559  minmar1fval  22562  cramer0  22606  nmfval  24504  mdegfval  25995  of0r  32664  mptiffisupp  32678  gsumvsca1  33202  gsumvsca2  33203  elrgspnlem4  33219  esumnul  34082  esumrnmpt2  34102  sitg0  34380  mrsubfval  35573  msubfval  35589  elmsubrn  35593  mvhfval  35598  msrfval  35602  matunitlindflem1  37676  matunitlindf  37678  poimirlem28  37708  evl1gprodd  42230  idomnnzgmulnz  42246  deg1gprod  42253  sticksstones11  42269  liminf0  45915  cncfiooicc  46016  itgvol0  46090  stoweidlem9  46131  sge0iunmptlemfi  46535  sge0isum  46549  lincval0  48540  lmdfval  49774  cmdfval  49775