Theorem mpt0 6660

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4476	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 6658	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 6649	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 230	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447  ∅c0 4296   ↦ cmpt 5188   Fn wfn 6506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-fun 6513  df-fn 6514

This theorem is referenced by:  oarec  8526  swrd00  14609  swrdlend  14618  repswswrd  14749  0rest  17392  grpinvfval  18910  grpinvfvalALT  18911  mulgnn0gsum  19012  psgnfval  19430  odfval  19462  odfvalALT  19463  gsumconst  19864  gsum2dlem2  19901  dprd0  19963  staffval  20750  gsumfsum  21351  pjfval  21615  asclfval  21788  mplcoe1  21944  mplcoe5  21947  coe1fzgsumd  22191  evl1gsumd  22244  mavmul0  22439  submafval  22466  mdetfval  22473  nfimdetndef  22476  mdetfval1  22477  mdet0pr  22479  madufval  22524  madugsum  22530  minmar1fval  22533  cramer0  22577  nmfval  24476  mdegfval  25967  of0r  32602  mptiffisupp  32616  gsumvsca1  33179  gsumvsca2  33180  elrgspnlem4  33196  esumnul  34038  esumrnmpt2  34058  sitg0  34337  mrsubfval  35495  msubfval  35511  elmsubrn  35515  mvhfval  35520  msrfval  35524  matunitlindflem1  37610  matunitlindf  37612  poimirlem28  37642  evl1gprodd  42105  idomnnzgmulnz  42121  deg1gprod  42128  sticksstones11  42144  liminf0  45791  cncfiooicc  45892  itgvol0  45966  stoweidlem9  46007  sge0iunmptlemfi  46411  sge0isum  46425  lincval0  48404  lmdfval  49638  cmdfval  49639