Theorem mpt0 6693

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4513	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 6691	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 6682	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 229	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  Vcvv 3475  ∅c0 4323   ↦ cmpt 5232   Fn wfn 6539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-fun 6546  df-fn 6547

This theorem is referenced by:  oarec  8562  swrd00  14594  swrdlend  14603  repswswrd  14734  0rest  17375  grpinvfval  18863  grpinvfvalALT  18864  mulgnn0gsum  18960  psgnfval  19368  odfval  19400  odfvalALT  19401  gsumconst  19802  gsum2dlem2  19839  dprd0  19901  staffval  20455  gsumfsum  21012  pjfval  21261  asclfval  21433  mplcoe1  21592  mplcoe5  21595  coe1fzgsumd  21826  evl1gsumd  21876  mavmul0  22054  submafval  22081  mdetfval  22088  nfimdetndef  22091  mdetfval1  22092  mdet0pr  22094  madufval  22139  madugsum  22145  minmar1fval  22148  cramer0  22192  nmfval  24097  mdegfval  25580  mptiffisupp  31915  gsumvsca1  32371  gsumvsca2  32372  esumnul  33046  esumrnmpt2  33066  sitg0  33345  mrsubfval  34499  msubfval  34515  elmsubrn  34519  mvhfval  34524  msrfval  34528  matunitlindflem1  36484  matunitlindf  36486  poimirlem28  36516  sticksstones11  40972  liminf0  44509  cncfiooicc  44610  itgvol0  44684  stoweidlem9  44725  sge0iunmptlemfi  45129  sge0isum  45143  lincval0  47096