Theorem mpt0 6232

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4269	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 6231	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 6222	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 222	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089  Vcvv 3385  ∅c0 4115   ↦ cmpt 4922   Fn wfn 6096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pr 5097

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-fun 6103  df-fn 6104

This theorem is referenced by:  oarec  7882  swrd00  13668  swrdlend  13682  repswswrd  13864  0rest  16405  grpinvfval  17776  psgnfval  18233  odfval  18265  gsumconst  18649  gsum2dlem2  18685  dprd0  18746  staffval  19165  asclfval  19657  mplcoe1  19788  mplcoe5  19791  coe1fzgsumd  19994  evl1gsumd  20043  gsumfsum  20135  pjfval  20375  mavmul0  20684  submafval  20711  mdetfval  20718  nfimdetndef  20721  mdetfval1  20722  mdet0pr  20724  madufval  20769  madugsum  20775  minmar1fval  20778  cramer0  20824  nmfval  22721  mdegfval  24163  gsumvsca1  30298  gsumvsca2  30299  esumnul  30626  esumrnmpt2  30646  sitg0  30924  mrsubfval  31922  msubfval  31938  elmsubrn  31942  mvhfval  31947  msrfval  31951  matunitlindflem1  33894  matunitlindf  33896  poimirlem28  33926  liminf0  40769  cncfiooicc  40851  itgvol0  40927  stoweidlem9  40969  sge0iunmptlemfi  41373  sge0isum  41387  lincval0  43003