Theorem mpt0 6634

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4433	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 6632	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 6623	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 231	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  Vcvv 3432  ∅c0 4268   ↦ cmpt 5160   Fn wfn 6487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-fun 6494  df-fn 6495

This theorem is referenced by:  oarec  8494  swrd00  14605  swrdlend  14614  repswswrd  14744  0rest  17390  grpinvfval  18952  grpinvfvalALT  18953  mulgnn0gsum  19054  psgnfval  19473  odfval  19505  odfvalALT  19506  gsumconst  19907  gsum2dlem2  19944  dprd0  20006  staffval  20820  gsumfsum  21416  pjfval  21688  asclfval  21860  mplcoe1  22020  mplcoe5  22023  coe1fzgsumd  22297  evl1gsumd  22350  mavmul0  22542  submafval  22569  mdetfval  22576  nfimdetndef  22579  mdetfval1  22580  mdet0pr  22582  madufval  22627  madugsum  22633  minmar1fval  22636  cramer0  22680  nmfval  24578  mdegfval  26052  of0r  32778  mptiffisupp  32792  suppgsumssiun  33160  gsumvsca1  33314  gsumvsca2  33315  elrgspnlem4  33333  domnprodeq0  33364  deg1prod  33673  ply1coedeg  33679  0mplrim  33705  psrgsum  33739  psrmonprod  33743  vieta  33771  esumnul  34239  esumrnmpt2  34259  sitg0  34537  mrsubfval  35743  msubfval  35759  elmsubrn  35763  mvhfval  35768  msrfval  35772  matunitlindflem1  37990  matunitlindf  37992  poimirlem28  38022  evl1gprodd  42609  idomnnzgmulnz  42625  deg1gprod  42632  sticksstones11  42648  liminf0  46243  cncfiooicc  46344  itgvol0  46418  stoweidlem9  46459  sge0iunmptlemfi  46863  sge0isum  46877  lincval0  48913  lmdfval  50146  cmdfval  50147