Theorem mpt0 6462

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4414	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 6460	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 6451	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 233	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441  ∅c0 4243   ↦ cmpt 5110   Fn wfn 6319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-fun 6326  df-fn 6327

This theorem is referenced by:  oarec  8171  swrd00  13997  swrdlend  14006  repswswrd  14137  0rest  16695  grpinvfval  18134  grpinvfvalALT  18135  mulgnn0gsum  18226  psgnfval  18620  odfval  18652  odfvalALT  18653  gsumconst  19047  gsum2dlem2  19084  dprd0  19146  staffval  19611  gsumfsum  20158  pjfval  20395  asclfval  20565  mplcoe1  20705  mplcoe5  20708  coe1fzgsumd  20931  evl1gsumd  20981  mavmul0  21157  submafval  21184  mdetfval  21191  nfimdetndef  21194  mdetfval1  21195  mdet0pr  21197  madufval  21242  madugsum  21248  minmar1fval  21251  cramer0  21295  nmfval  23195  mdegfval  24663  gsumvsca1  30904  gsumvsca2  30905  esumnul  31417  esumrnmpt2  31437  sitg0  31714  mrsubfval  32868  msubfval  32884  elmsubrn  32888  mvhfval  32893  msrfval  32897  matunitlindflem1  35053  matunitlindf  35055  poimirlem28  35085  liminf0  42435  cncfiooicc  42536  itgvol0  42610  stoweidlem9  42651  sge0iunmptlemfi  43052  sge0isum  43066  lincval0  44824