Theorem mpt0 6710

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4518	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 6708	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 6699	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 230	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  Vcvv 3477  ∅c0 4338   ↦ cmpt 5230   Fn wfn 6557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-fun 6564  df-fn 6565

This theorem is referenced by:  oarec  8598  swrd00  14678  swrdlend  14687  repswswrd  14818  0rest  17475  grpinvfval  19008  grpinvfvalALT  19009  mulgnn0gsum  19110  psgnfval  19532  odfval  19564  odfvalALT  19565  gsumconst  19966  gsum2dlem2  20003  dprd0  20065  staffval  20858  gsumfsum  21469  pjfval  21743  asclfval  21916  mplcoe1  22072  mplcoe5  22075  coe1fzgsumd  22323  evl1gsumd  22376  mavmul0  22573  submafval  22600  mdetfval  22607  nfimdetndef  22610  mdetfval1  22611  mdet0pr  22613  madufval  22658  madugsum  22664  minmar1fval  22667  cramer0  22711  nmfval  24616  mdegfval  26115  of0r  32694  mptiffisupp  32707  gsumvsca1  33214  gsumvsca2  33215  elrgspnlem4  33234  esumnul  34028  esumrnmpt2  34048  sitg0  34327  mrsubfval  35492  msubfval  35508  elmsubrn  35512  mvhfval  35517  msrfval  35521  matunitlindflem1  37602  matunitlindf  37604  poimirlem28  37634  evl1gprodd  42098  idomnnzgmulnz  42114  deg1gprod  42121  sticksstones11  42137  liminf0  45748  cncfiooicc  45849  itgvol0  45923  stoweidlem9  45964  sge0iunmptlemfi  46368  sge0isum  46382  lincval0  48260