Theorem mpt0 6722

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4536	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 6720	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 6711	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 230	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488  ∅c0 4352   ↦ cmpt 5249   Fn wfn 6568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-fun 6575  df-fn 6576

This theorem is referenced by:  oarec  8618  swrd00  14692  swrdlend  14701  repswswrd  14832  0rest  17489  grpinvfval  19018  grpinvfvalALT  19019  mulgnn0gsum  19120  psgnfval  19542  odfval  19574  odfvalALT  19575  gsumconst  19976  gsum2dlem2  20013  dprd0  20075  staffval  20864  gsumfsum  21475  pjfval  21749  asclfval  21922  mplcoe1  22078  mplcoe5  22081  coe1fzgsumd  22329  evl1gsumd  22382  mavmul0  22579  submafval  22606  mdetfval  22613  nfimdetndef  22616  mdetfval1  22617  mdet0pr  22619  madufval  22664  madugsum  22670  minmar1fval  22673  cramer0  22717  nmfval  24622  mdegfval  26121  of0r  32696  mptiffisupp  32705  gsumvsca1  33205  gsumvsca2  33206  esumnul  34012  esumrnmpt2  34032  sitg0  34311  mrsubfval  35476  msubfval  35492  elmsubrn  35496  mvhfval  35501  msrfval  35505  matunitlindflem1  37576  matunitlindf  37578  poimirlem28  37608  evl1gprodd  42074  idomnnzgmulnz  42090  deg1gprod  42097  sticksstones11  42113  liminf0  45714  cncfiooicc  45815  itgvol0  45889  stoweidlem9  45930  sge0iunmptlemfi  46334  sge0isum  46348  lincval0  48144