Theorem mpt0 6697

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4513	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 6695	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 6686	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 229	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  Vcvv 3471  ∅c0 4323   ↦ cmpt 5231   Fn wfn 6543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-fun 6550  df-fn 6551

This theorem is referenced by:  oarec  8582  swrd00  14626  swrdlend  14635  repswswrd  14766  0rest  17410  grpinvfval  18934  grpinvfvalALT  18935  mulgnn0gsum  19034  psgnfval  19454  odfval  19486  odfvalALT  19487  gsumconst  19888  gsum2dlem2  19925  dprd0  19987  staffval  20726  gsumfsum  21366  pjfval  21639  asclfval  21811  mplcoe1  21974  mplcoe5  21977  coe1fzgsumd  22222  evl1gsumd  22275  mavmul0  22453  submafval  22480  mdetfval  22487  nfimdetndef  22490  mdetfval1  22491  mdet0pr  22493  madufval  22538  madugsum  22544  minmar1fval  22547  cramer0  22591  nmfval  24496  mdegfval  25997  mptiffisupp  32473  gsumvsca1  32933  gsumvsca2  32934  esumnul  33667  esumrnmpt2  33687  sitg0  33966  mrsubfval  35118  msubfval  35134  elmsubrn  35138  mvhfval  35143  msrfval  35147  matunitlindflem1  37089  matunitlindf  37091  poimirlem28  37121  evl1gprodd  41588  idomnnzgmulnz  41604  deg1gprod  41612  sticksstones11  41628  liminf0  45181  cncfiooicc  45282  itgvol0  45356  stoweidlem9  45397  sge0iunmptlemfi  45801  sge0isum  45815  lincval0  47483