Theorem mpt0 6634

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4451	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 6632	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 6623	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 230	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440  ∅c0 4285   ↦ cmpt 5179   Fn wfn 6487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-fun 6494  df-fn 6495

This theorem is referenced by:  oarec  8489  swrd00  14568  swrdlend  14577  repswswrd  14707  0rest  17349  grpinvfval  18908  grpinvfvalALT  18909  mulgnn0gsum  19010  psgnfval  19429  odfval  19461  odfvalALT  19462  gsumconst  19863  gsum2dlem2  19900  dprd0  19962  staffval  20774  gsumfsum  21389  pjfval  21661  asclfval  21834  mplcoe1  21992  mplcoe5  21995  coe1fzgsumd  22248  evl1gsumd  22301  mavmul0  22496  submafval  22523  mdetfval  22530  nfimdetndef  22533  mdetfval1  22534  mdet0pr  22536  madufval  22581  madugsum  22587  minmar1fval  22590  cramer0  22634  nmfval  24532  mdegfval  26023  of0r  32758  mptiffisupp  32772  gsumvsca1  33308  gsumvsca2  33309  elrgspnlem4  33327  domnprodeq0  33358  deg1prod  33664  ply1coedeg  33670  vieta  33736  esumnul  34205  esumrnmpt2  34225  sitg0  34503  mrsubfval  35702  msubfval  35718  elmsubrn  35722  mvhfval  35727  msrfval  35731  matunitlindflem1  37813  matunitlindf  37815  poimirlem28  37845  evl1gprodd  42367  idomnnzgmulnz  42383  deg1gprod  42390  sticksstones11  42406  liminf0  46033  cncfiooicc  46134  itgvol0  46208  stoweidlem9  46249  sge0iunmptlemfi  46653  sge0isum  46667  lincval0  48657  lmdfval  49890  cmdfval  49891