Theorem mpt0 6679

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4488	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 6677	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 6668	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 230	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459  ∅c0 4308   ↦ cmpt 5201   Fn wfn 6525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-fun 6532  df-fn 6533

This theorem is referenced by:  oarec  8572  swrd00  14660  swrdlend  14669  repswswrd  14800  0rest  17441  grpinvfval  18959  grpinvfvalALT  18960  mulgnn0gsum  19061  psgnfval  19479  odfval  19511  odfvalALT  19512  gsumconst  19913  gsum2dlem2  19950  dprd0  20012  staffval  20799  gsumfsum  21400  pjfval  21664  asclfval  21837  mplcoe1  21993  mplcoe5  21996  coe1fzgsumd  22240  evl1gsumd  22293  mavmul0  22488  submafval  22515  mdetfval  22522  nfimdetndef  22525  mdetfval1  22526  mdet0pr  22528  madufval  22573  madugsum  22579  minmar1fval  22582  cramer0  22626  nmfval  24525  mdegfval  26017  of0r  32602  mptiffisupp  32616  gsumvsca1  33169  gsumvsca2  33170  elrgspnlem4  33186  esumnul  34025  esumrnmpt2  34045  sitg0  34324  mrsubfval  35476  msubfval  35492  elmsubrn  35496  mvhfval  35501  msrfval  35505  matunitlindflem1  37586  matunitlindf  37588  poimirlem28  37618  evl1gprodd  42076  idomnnzgmulnz  42092  deg1gprod  42099  sticksstones11  42115  liminf0  45770  cncfiooicc  45871  itgvol0  45945  stoweidlem9  45986  sge0iunmptlemfi  46390  sge0isum  46404  lincval0  48339  lmdfval  49471  cmdfval  49472