Theorem mpt0 6680

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4488	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 6678	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 6669	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 230	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459  ∅c0 4308   ↦ cmpt 5201   Fn wfn 6526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-fun 6533  df-fn 6534

This theorem is referenced by:  oarec  8574  swrd00  14662  swrdlend  14671  repswswrd  14802  0rest  17443  grpinvfval  18961  grpinvfvalALT  18962  mulgnn0gsum  19063  psgnfval  19481  odfval  19513  odfvalALT  19514  gsumconst  19915  gsum2dlem2  19952  dprd0  20014  staffval  20801  gsumfsum  21402  pjfval  21666  asclfval  21839  mplcoe1  21995  mplcoe5  21998  coe1fzgsumd  22242  evl1gsumd  22295  mavmul0  22490  submafval  22517  mdetfval  22524  nfimdetndef  22527  mdetfval1  22528  mdet0pr  22530  madufval  22575  madugsum  22581  minmar1fval  22584  cramer0  22628  nmfval  24527  mdegfval  26019  of0r  32656  mptiffisupp  32670  gsumvsca1  33223  gsumvsca2  33224  elrgspnlem4  33240  esumnul  34079  esumrnmpt2  34099  sitg0  34378  mrsubfval  35530  msubfval  35546  elmsubrn  35550  mvhfval  35555  msrfval  35559  matunitlindflem1  37640  matunitlindf  37642  poimirlem28  37672  evl1gprodd  42130  idomnnzgmulnz  42146  deg1gprod  42153  sticksstones11  42169  liminf0  45822  cncfiooicc  45923  itgvol0  45997  stoweidlem9  46038  sge0iunmptlemfi  46442  sge0isum  46456  lincval0  48391  lmdfval  49523  cmdfval  49524