Theorem mpt0 6703

Description: A mapping operation with empty domain. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mpt0	⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

Proof of Theorem mpt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 4457	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴)
3	2	fnmpt 6701	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ∅ 𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅
5		fn0 6692	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) Fn ∅ ↔ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅)
6	4, 5	mpbi 233	1 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ 𝐴) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ∅c0 4281   ↦ cmpt 5189   Fn wfn 6553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-fun 6560  df-fn 6561

This theorem is used by:  oarec  8598  swrd00  14820  swrdlend  14831  repswswrd  14963  0rest  17629  grpinvfval  19218  grpinvfvalALT  19219  mulgnn0gsum  19319  psgnfval  19744  odfval  19776  odfvalALT  19777  gsumconst  20178  gsum2dlem2  20215  dprd0  20277  staffval  21128  gsumfsum  21770  pjfval  22042  asclfval  22216  mplcoe1  22376  mplcoe5  22379  coe1fzgsumd  22652  evl1gsumd  22705  mavmul0  22897  submafval  22924  mdetfval  22931  nfimdetndef  22934  mdetfval1  22935  mdet0pr  22937  madufval  22982  madugsum  22988  minmar1fval  22991  matunitlindflem1  23024  matunitlindf  23026  cramer0  23038  nmfval  24937  mdegfval  26410  of0r  33344  mptiffisupp  33357  suppgsumssiun  33703  gsumvsca1  33857  gsumvsca2  33858  elrgspnlem4  33876  domnprodeq0  33910  deg1prod  34185  ply1coedeg  34191  0mplrim  34216  psrgsum  34250  psrmonprod  34254  vieta  34282  esumnul  34750  esumrnmpt2  34770  sitg0  35048  mrsubfval  36440  msubfval  36456  elmsubrn  36460  mvhfval  36465  msrfval  36469  poimirlem28  38758  evl1gprodd  43359  idomnnzgmulnz  43375  deg1gprod  43382  sticksstones11  43398  liminf0  47008  cncfiooicc  47109  itgvol0  47183  stoweidlem9  47224  sge0iunmptlemfi  47628  sge0isum  47642  lincval0  49732  lmdfval  51037  cmdfval  51038