MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odfval 19321
Description: Value of the order function. For a shorter proof using ax-rep 5247, see odfvalALT 19322. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.) Remove dependency on ax-rep 5247. (Revised by Rohan Ridenour, 17-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
odval.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odval.2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
odval.3 0 = (0gโ€˜๐บ)
odval.4 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
odfval ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐‘–,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘–,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, 0 ,๐‘ฆ,๐‘–   ๐‘ฅ,๐‘‹
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘–)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–)   ๐‘‹(๐‘ฆ,๐‘–)

Proof of Theorem odfval
Dummy variable ๐‘” is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odval.4 . 2 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
2 fveq2 6847 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = (Baseโ€˜๐บ))
3 odval.1 . . . . . 6 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
42, 3eqtr4di 2795 . . . . 5 (๐‘” = ๐บ โ†’ (Baseโ€˜๐‘”) = ๐‘‹)
5 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐บ โ†’ (.gโ€˜๐‘”) = (.gโ€˜๐บ))
6 odval.2 . . . . . . . . . 10 ยท = (.gโ€˜๐บ)
75, 6eqtr4di 2795 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐บ โ†’ (.gโ€˜๐‘”) = ยท )
87oveqd 7379 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ))
9 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = (0gโ€˜๐บ))
10 odval.3 . . . . . . . . 9 0 = (0gโ€˜๐บ)
119, 10eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 (๐‘” = ๐บ โ†’ (0gโ€˜๐‘”) = 0 )
128, 11eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (๐‘” = ๐บ โ†’ ((๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”) โ†” (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 ))
1312rabbidv 3418 . . . . . 6 (๐‘” = ๐บ โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 })
1413csbeq1d 3864 . . . . 5 (๐‘” = ๐บ โ†’ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) = โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
154, 14mpteq12dv 5201 . . . 4 (๐‘” = ๐บ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”) โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))))
16 df-od 19317 . . . 4 od = (๐‘” โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘”) โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ(.gโ€˜๐‘”)๐‘ฅ) = (0gโ€˜๐‘”)} / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))))
173fvexi 6861 . . . . 5 ๐‘‹ โˆˆ V
18 nn0ex 12426 . . . . 5 โ„•0 โˆˆ V
19 nnex 12166 . . . . . . . . 9 โ„• โˆˆ V
2019rabex 5294 . . . . . . . 8 {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } โˆˆ V
21 eqeq1 2741 . . . . . . . . 9 (๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } โ†’ (๐‘– = โˆ… โ†” {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } = โˆ…))
22 infeq1 9419 . . . . . . . . 9 (๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } โ†’ inf(๐‘–, โ„, < ) = inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }, โ„, < ))
2321, 22ifbieq2d 4517 . . . . . . . 8 (๐‘– = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } โ†’ if(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) = if({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } = โˆ…, 0, inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }, โ„, < )))
2420, 23csbie 3896 . . . . . . 7 โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) = if({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } = โˆ…, 0, inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }, โ„, < ))
25 0nn0 12435 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„•0
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } = โˆ…) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
27 df-ne 2945 . . . . . . . . . . . 12 ({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } โ‰  โˆ… โ†” ยฌ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } = โˆ…)
28 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . . . 13 {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } โŠ† โ„•
29 nnuz 12813 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
3028, 29sseqtri 3985 . . . . . . . . . . . . . 14 {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
31 infssuzcl 12864 . . . . . . . . . . . . . 14 (({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } โ‰  โˆ…) โ†’ inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }, โ„, < ) โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 })
3230, 31mpan 689 . . . . . . . . . . . . 13 ({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } โ‰  โˆ… โ†’ inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }, โ„, < ) โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 })
3328, 32sselid 3947 . . . . . . . . . . . 12 ({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } โ‰  โˆ… โ†’ inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }, โ„, < ) โˆˆ โ„•)
3427, 33sylbir 234 . . . . . . . . . . 11 (ยฌ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } = โˆ… โ†’ inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }, โ„, < ) โˆˆ โ„•)
3534nnnn0d 12480 . . . . . . . . . 10 (ยฌ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } = โˆ… โ†’ inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }, โ„, < ) โˆˆ โ„•0)
3635adantl 483 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ยฌ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } = โˆ…) โ†’ inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }, โ„, < ) โˆˆ โ„•0)
3726, 36ifclda 4526 . . . . . . . 8 (โŠค โ†’ if({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } = โˆ…, 0, inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }, โ„, < )) โˆˆ โ„•0)
3837mptru 1549 . . . . . . 7 if({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } = โˆ…, 0, inf({๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 }, โ„, < )) โˆˆ โ„•0
3924, 38eqeltri 2834 . . . . . 6 โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) โˆˆ โ„•0
4039rgenw 3069 . . . . 5 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) โˆˆ โ„•0
4117, 18, 40mptexw 7890 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))) โˆˆ V
4215, 16, 41fvmpt 6953 . . 3 (๐บ โˆˆ V โ†’ (odโ€˜๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))))
43 fvprc 6839 . . . 4 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (odโ€˜๐บ) = โˆ…)
44 fvprc 6839 . . . . . . 7 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (Baseโ€˜๐บ) = โˆ…)
453, 44eqtrid 2789 . . . . . 6 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ ๐‘‹ = โˆ…)
4645mpteq1d 5205 . . . . 5 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โˆ… โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))))
47 mpt0 6648 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โˆ… โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))) = โˆ…
4846, 47eqtrdi 2793 . . . 4 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))) = โˆ…)
4943, 48eqtr4d 2780 . . 3 (ยฌ ๐บ โˆˆ V โ†’ (odโ€˜๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < ))))
5042, 49pm2.61i 182 . 2 (odโ€˜๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
511, 50eqtri 2765 1 ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 397   = wceq 1542  โŠคwtru 1543   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  {crab 3410  Vcvv 3448  โฆ‹csb 3860   โŠ† wss 3915  โˆ…c0 4287  ifcif 4491   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   < clt 11196  โ„•cn 12160  โ„•0cn0 12420  โ„คโ‰ฅcuz 12770  Basecbs 17090  0gc0g 17328  .gcmg 18879  odcod 19313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-od 19317
This theorem is referenced by:  odval  19323  odf  19326
  Copyright terms: Public domain W3C validator