Theorem odval 19546

Description: Second substitution for the group order definition. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odval.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odval.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
odval.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
odval.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odval.i	⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
odval	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐺   𝑦, ·   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem odval

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7389	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦 · 𝐴))
2	1	eqeq1d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
3	2	rabbidv 3411	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 })
4		odval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
5	3, 4	eqtr4di 2805	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } = 𝐼)
6	5	csbeq1d 3847	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⦋{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = ⦋𝐼 / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )))
7		nnex 12202	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
8	4, 7	rabex2 5287	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ V
9		eqeq1 2756	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
10		infeq1 9409	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → inf(𝑖, ℝ, < ) = inf(𝐼, ℝ, < ))
11	9, 10	ifbieq2d 4497	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
12	8, 11	csbie 3878	. . 3 ⊢ ⦋𝐼 / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))
13	6, 12	eqtrdi 2803	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⦋{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
14		odval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
15		odval.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
16		odval.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
17		odval.4	. . 3 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
18	14, 15, 16, 17	odfval 19544	. 2 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )))
19		c0ex 11159	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
20		ltso 11249	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
21	20	infex 9427	. . 3 ⊢ inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ V
22	19, 21	ifex 4521	. 2 ⊢ if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) ∈ V
23	13, 18, 22	fvmpt 6960	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  {crab 3404  ⦋csb 3843  ∅c0 4276  ifcif 4470  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  infcinf 9373  ℝcr 11058  0cc0 11059   < clt 11202  ℕcn 12196  Basecbs 17217  0_gc0g 17440  ._gcmg 19081  odcod 19536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-od 19540

This theorem is referenced by:  odlem1  19547  odlem2  19551  submod  19581  ofldchr  21597