Theorem odval 19667

Description: Second substitution for the group order definition. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odval.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odval.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
odval.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
odval.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odval.i	⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
odval	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐺   𝑦, ·   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem odval

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦 · 𝐴))
2	1	eqeq1d 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
3	2	rabbidv 3421	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 })
4		odval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
5	3, 4	eqtr4di 2815	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } = 𝐼)
6	5	csbeq1d 3854	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⦋{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = ⦋𝐼 / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )))
7		nnex 12267	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
8	4, 7	rabex2 5309	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ V
9		eqeq1 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
10		infeq1 9451	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → inf(𝑖, ℝ, < ) = inf(𝐼, ℝ, < ))
11	9, 10	ifbieq2d 4512	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
12	8, 11	csbie 3885	. . 3 ⊢ ⦋𝐼 / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))
13	6, 12	eqtrdi 2813	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⦋{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
14		odval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
15		odval.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
16		odval.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
17		odval.4	. . 3 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
18	14, 15, 16, 17	odfval 19665	. 2 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )))
19		c0ex 11228	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
20		ltso 11318	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
21	20	infex 9469	. . 3 ⊢ inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ V
22	19, 21	ifex 4536	. 2 ⊢ if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) ∈ V
23	13, 18, 22	fvmpt 6990	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  ⦋csb 3850  ∅c0 4282  ifcif 4485  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  infcinf 9415  ℝcr 11127  0cc0 11128   < clt 11271  ℕcn 12261  Basecbs 17307  0_gc0g 17530  ._gcmg 19196  odcod 19657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-od 19661

This theorem is used by:  odlem1  19668  odlem2  19672  submod  19702  ofldchr  21795