MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odval 19323
Description: Second substitution for the group order definition. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
odval.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odval.2 ยท = (.gโ€˜๐บ)
odval.3 0 = (0gโ€˜๐บ)
odval.4 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odval.i ๐ผ = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }
Assertion
Ref Expression
odval (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฆ,๐บ   ๐‘ฆ, ยท   ๐‘ฆ, 0
Allowed substitution hints:   ๐ผ(๐‘ฆ)   ๐‘‚(๐‘ฆ)   ๐‘‹(๐‘ฆ)

Proof of Theorem odval
Dummy variables ๐‘– ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7370 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท ๐ด))
21eqeq1d 2739 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 โ†” (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 ))
32rabbidv 3418 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 })
4 odval.i . . . . 5 ๐ผ = {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐ด) = 0 }
53, 4eqtr4di 2795 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } = ๐ผ)
65csbeq1d 3864 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) = โฆ‹๐ผ / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
7 nnex 12166 . . . . 5 โ„• โˆˆ V
84, 7rabex2 5296 . . . 4 ๐ผ โˆˆ V
9 eqeq1 2741 . . . . 5 (๐‘– = ๐ผ โ†’ (๐‘– = โˆ… โ†” ๐ผ = โˆ…))
10 infeq1 9419 . . . . 5 (๐‘– = ๐ผ โ†’ inf(๐‘–, โ„, < ) = inf(๐ผ, โ„, < ))
119, 10ifbieq2d 4517 . . . 4 (๐‘– = ๐ผ โ†’ if(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
128, 11csbie 3896 . . 3 โฆ‹๐ผ / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < ))
136, 12eqtrdi 2793 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
14 odval.1 . . 3 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
15 odval.2 . . 3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
16 odval.3 . . 3 0 = (0gโ€˜๐บ)
17 odval.4 . . 3 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
1814, 15, 16, 17odfval 19321 . 2 ๐‘‚ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†ฆ โฆ‹{๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = 0 } / ๐‘–โฆŒif(๐‘– = โˆ…, 0, inf(๐‘–, โ„, < )))
19 c0ex 11156 . . 3 0 โˆˆ V
20 ltso 11242 . . . 4 < Or โ„
2120infex 9436 . . 3 inf(๐ผ, โ„, < ) โˆˆ V
2219, 21ifex 4541 . 2 if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )) โˆˆ V
2313, 18, 22fvmpt 6953 1 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) = if(๐ผ = โˆ…, 0, inf(๐ผ, โ„, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3410  โฆ‹csb 3860  โˆ…c0 4287  ifcif 4491  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  โ„cr 11057  0cc0 11058   < clt 11196  โ„•cn 12160  Basecbs 17090  0gc0g 17328  .gcmg 18879  odcod 19313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-od 19317
This theorem is referenced by:  odlem1  19324  odlem2  19328  submod  19358  ofldchr  32149
  Copyright terms: Public domain W3C validator