MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odval 19552
Description: Second substitution for the group order definition. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
odval.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odval.2 · = (.g𝐺)
odval.3 0 = (0g𝐺)
odval.4 𝑂 = (od‘𝐺)
odval.i 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
Assertion
Ref Expression
odval (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐺   𝑦, ·   𝑦, 0
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem odval
Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦 · 𝐴))
21eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
32rabbidv 3444 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 })
4 odval.i . . . . 5 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
53, 4eqtr4di 2795 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } = 𝐼)
65csbeq1d 3903 . . 3 (𝑥 = 𝐴{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = 𝐼 / 𝑖if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )))
7 nnex 12272 . . . . 5 ℕ ∈ V
84, 7rabex2 5341 . . . 4 𝐼 ∈ V
9 eqeq1 2741 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
10 infeq1 9516 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → inf(𝑖, ℝ, < ) = inf(𝐼, ℝ, < ))
119, 10ifbieq2d 4552 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
128, 11csbie 3934 . . 3 𝐼 / 𝑖if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))
136, 12eqtrdi 2793 . 2 (𝑥 = 𝐴{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
14 odval.1 . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
15 odval.2 . . 3 · = (.g𝐺)
16 odval.3 . . 3 0 = (0g𝐺)
17 odval.4 . . 3 𝑂 = (od‘𝐺)
1814, 15, 16, 17odfval 19550 . 2 𝑂 = (𝑥𝑋{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )))
19 c0ex 11255 . . 3 0 ∈ V
20 ltso 11341 . . . 4 < Or ℝ
2120infex 9533 . . 3 inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ V
2219, 21ifex 4576 . 2 if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) ∈ V
2313, 18, 22fvmpt 7016 1 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  csb 3899  c0 4333  ifcif 4525  cfv 6561  (class class class)co 7431  infcinf 9481  cr 11154  0cc0 11155   < clt 11295  cn 12266  Basecbs 17247  0gc0g 17484  .gcmg 19085  odcod 19542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-od 19546
This theorem is referenced by:  odlem1  19553  odlem2  19557  submod  19587  ofldchr  33344
  Copyright terms: Public domain W3C validator