Theorem odval 19470

Description: Second substitution for the group order definition. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odval.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odval.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
odval.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
odval.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odval.i	⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
odval	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐺   𝑦, ·   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem odval

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦 · 𝐴))
2	1	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
3	2	rabbidv 3416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 })
4		odval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
5	3, 4	eqtr4di 2783	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } = 𝐼)
6	5	csbeq1d 3868	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⦋{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = ⦋𝐼 / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )))
7		nnex 12193	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
8	4, 7	rabex2 5298	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ V
9		eqeq1 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
10		infeq1 9434	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → inf(𝑖, ℝ, < ) = inf(𝐼, ℝ, < ))
11	9, 10	ifbieq2d 4517	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
12	8, 11	csbie 3899	. . 3 ⊢ ⦋𝐼 / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))
13	6, 12	eqtrdi 2781	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⦋{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
14		odval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
15		odval.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
16		odval.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
17		odval.4	. . 3 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
18	14, 15, 16, 17	odfval 19468	. 2 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )))
19		c0ex 11174	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
20		ltso 11260	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
21	20	infex 9452	. . 3 ⊢ inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ V
22	19, 21	ifex 4541	. 2 ⊢ if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) ∈ V
23	13, 18, 22	fvmpt 6970	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408  ⦋csb 3864  ∅c0 4298  ifcif 4490  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  infcinf 9398  ℝcr 11073  0cc0 11074   < clt 11214  ℕcn 12187  Basecbs 17185  0_gc0g 17408  ._gcmg 19005  odcod 19460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-od 19464

This theorem is referenced by:  odlem1  19471  odlem2  19475  submod  19505  ofldchr  33298