![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > odval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Second substitution for the group order definition. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
odval.1 | โข ๐ = (Baseโ๐บ) |
odval.2 | โข ยท = (.gโ๐บ) |
odval.3 | โข 0 = (0gโ๐บ) |
odval.4 | โข ๐ = (odโ๐บ) |
odval.i | โข ๐ผ = {๐ฆ โ โ โฃ (๐ฆ ยท ๐ด) = 0 } |
Ref | Expression |
---|---|
odval | โข (๐ด โ ๐ โ (๐โ๐ด) = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq2 7370 | . . . . . . 7 โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = (๐ฆ ยท ๐ด)) | |
2 | 1 | eqeq1d 2739 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = ๐ด โ ((๐ฆ ยท ๐ฅ) = 0 โ (๐ฆ ยท ๐ด) = 0 )) |
3 | 2 | rabbidv 3418 | . . . . 5 โข (๐ฅ = ๐ด โ {๐ฆ โ โ โฃ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = 0 } = {๐ฆ โ โ โฃ (๐ฆ ยท ๐ด) = 0 }) |
4 | odval.i | . . . . 5 โข ๐ผ = {๐ฆ โ โ โฃ (๐ฆ ยท ๐ด) = 0 } | |
5 | 3, 4 | eqtr4di 2795 | . . . 4 โข (๐ฅ = ๐ด โ {๐ฆ โ โ โฃ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = 0 } = ๐ผ) |
6 | 5 | csbeq1d 3864 | . . 3 โข (๐ฅ = ๐ด โ โฆ{๐ฆ โ โ โฃ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = 0 } / ๐โฆif(๐ = โ , 0, inf(๐, โ, < )) = โฆ๐ผ / ๐โฆif(๐ = โ , 0, inf(๐, โ, < ))) |
7 | nnex 12166 | . . . . 5 โข โ โ V | |
8 | 4, 7 | rabex2 5296 | . . . 4 โข ๐ผ โ V |
9 | eqeq1 2741 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ผ โ (๐ = โ โ ๐ผ = โ )) | |
10 | infeq1 9419 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ผ โ inf(๐, โ, < ) = inf(๐ผ, โ, < )) | |
11 | 9, 10 | ifbieq2d 4517 | . . . 4 โข (๐ = ๐ผ โ if(๐ = โ , 0, inf(๐, โ, < )) = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < ))) |
12 | 8, 11 | csbie 3896 | . . 3 โข โฆ๐ผ / ๐โฆif(๐ = โ , 0, inf(๐, โ, < )) = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) |
13 | 6, 12 | eqtrdi 2793 | . 2 โข (๐ฅ = ๐ด โ โฆ{๐ฆ โ โ โฃ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = 0 } / ๐โฆif(๐ = โ , 0, inf(๐, โ, < )) = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < ))) |
14 | odval.1 | . . 3 โข ๐ = (Baseโ๐บ) | |
15 | odval.2 | . . 3 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
16 | odval.3 | . . 3 โข 0 = (0gโ๐บ) | |
17 | odval.4 | . . 3 โข ๐ = (odโ๐บ) | |
18 | 14, 15, 16, 17 | odfval 19321 | . 2 โข ๐ = (๐ฅ โ ๐ โฆ โฆ{๐ฆ โ โ โฃ (๐ฆ ยท ๐ฅ) = 0 } / ๐โฆif(๐ = โ , 0, inf(๐, โ, < ))) |
19 | c0ex 11156 | . . 3 โข 0 โ V | |
20 | ltso 11242 | . . . 4 โข < Or โ | |
21 | 20 | infex 9436 | . . 3 โข inf(๐ผ, โ, < ) โ V |
22 | 19, 21 | ifex 4541 | . 2 โข if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < )) โ V |
23 | 13, 18, 22 | fvmpt 6953 | 1 โข (๐ด โ ๐ โ (๐โ๐ด) = if(๐ผ = โ , 0, inf(๐ผ, โ, < ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 {crab 3410 โฆcsb 3860 โ c0 4287 ifcif 4491 โcfv 6501 (class class class)co 7362 infcinf 9384 โcr 11057 0cc0 11058 < clt 11196 โcn 12160 Basecbs 17090 0gc0g 17328 .gcmg 18879 odcod 19313 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-cnex 11114 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 ax-pre-mulgt0 11135 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-om 7808 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-sup 9385 df-inf 9386 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-xr 11200 df-ltxr 11201 df-le 11202 df-sub 11394 df-neg 11395 df-nn 12161 df-n0 12421 df-z 12507 df-uz 12771 df-od 19317 |
This theorem is referenced by: odlem1 19324 odlem2 19328 submod 19358 ofldchr 32149 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |