Theorem odval 19592

Description: Second substitution for the group order definition. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odval.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odval.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
odval.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
odval.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odval.i	⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
odval	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐺   𝑦, ·   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem odval

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦 · 𝐴))
2	1	eqeq1d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
3	2	rabbidv 3424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 })
4		odval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
5	3, 4	eqtr4di 2818	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } = 𝐼)
6	5	csbeq1d 3859	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⦋{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = ⦋𝐼 / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )))
7		nnex 12227	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
8	4, 7	rabex2 5301	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ V
9		eqeq1 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
10		infeq1 9425	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → inf(𝑖, ℝ, < ) = inf(𝐼, ℝ, < ))
11	9, 10	ifbieq2d 4510	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
12	8, 11	csbie 3890	. . 3 ⊢ ⦋𝐼 / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))
13	6, 12	eqtrdi 2816	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⦋{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
14		odval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
15		odval.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
16		odval.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
17		odval.4	. . 3 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
18	14, 15, 16, 17	odfval 19590	. 2 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )))
19		c0ex 11188	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
20		ltso 11278	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
21	20	infex 9443	. . 3 ⊢ inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ V
22	19, 21	ifex 4534	. 2 ⊢ if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) ∈ V
23	13, 18, 22	fvmpt 6979	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417  ⦋csb 3855  ∅c0 4288  ifcif 4483  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  infcinf 9389  ℝcr 11087  0cc0 11088   < clt 11231  ℕcn 12221  Basecbs 17257  0_gc0g 17480  ._gcmg 19121  odcod 19582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-od 19586

This theorem is referenced by:  odlem1  19593  odlem2  19597  submod  19627  ofldchr  21683