Theorem odval 19567

Description: Second substitution for the group order definition. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odval.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odval.2	⊢ · = (.g‘𝐺)
odval.3	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
odval.4	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odval.i	⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
odval	⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐺   𝑦, ·   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem odval

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦 · 𝐴))
2	1	eqeq1d 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦 · 𝑥) = 0 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
3	2	rabbidv 3441	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 })
4		odval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
5	3, 4	eqtr4di 2793	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } = 𝐼)
6	5	csbeq1d 3912	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⦋{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = ⦋𝐼 / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )))
7		nnex 12270	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
8	4, 7	rabex2 5347	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ V
9		eqeq1 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 = ∅ ↔ 𝐼 = ∅))
10		infeq1 9514	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → inf(𝑖, ℝ, < ) = inf(𝐼, ℝ, < ))
11	9, 10	ifbieq2d 4557	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
12	8, 11	csbie 3944	. . 3 ⊢ ⦋𝐼 / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < ))
13	6, 12	eqtrdi 2791	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ⦋{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))
14		odval.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
15		odval.2	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
16		odval.3	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
17		odval.4	. . 3 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
18	14, 15, 16, 17	odfval 19565	. 2 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ⦋{𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝑥) = 0 } / 𝑖⦌if(𝑖 = ∅, 0, inf(𝑖, ℝ, < )))
19		c0ex 11253	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
20		ltso 11339	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
21	20	infex 9531	. . 3 ⊢ inf(𝐼, ℝ, < ) ∈ V
22	19, 21	ifex 4581	. 2 ⊢ if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )) ∈ V
23	13, 18, 22	fvmpt 7016	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) = if(𝐼 = ∅, 0, inf(𝐼, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  ⦋csb 3908  ∅c0 4339  ifcif 4531  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  infcinf 9479  ℝcr 11152  0cc0 11153   < clt 11293  ℕcn 12264  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  ._gcmg 19098  odcod 19557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-od 19561

This theorem is referenced by:  odlem1  19568  odlem2  19572  submod  19602  ofldchr  33324