![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > omsuc | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication with successor. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62. Definition 2.5 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
omsuc | โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | rdgsuc 8419 | . . 3 โข (๐ต โ On โ (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โsuc ๐ต) = ((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด))โ(rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต))) | |
2 | 1 | adantl 481 | . 2 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โsuc ๐ต) = ((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด))โ(rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต))) |
3 | onsuc 7792 | . . 3 โข (๐ต โ On โ suc ๐ต โ On) | |
4 | omv 8507 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง suc ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo suc ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โsuc ๐ต)) | |
5 | 3, 4 | sylan2 592 | . 2 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo suc ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โsuc ๐ต)) |
6 | ovex 7434 | . . . 4 โข (๐ด ยทo ๐ต) โ V | |
7 | oveq1 7408 | . . . . 5 โข (๐ฅ = (๐ด ยทo ๐ต) โ (๐ฅ +o ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)) | |
8 | eqid 2724 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)) = (๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)) | |
9 | ovex 7434 | . . . . 5 โข ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) โ V | |
10 | 7, 8, 9 | fvmpt 6988 | . . . 4 โข ((๐ด ยทo ๐ต) โ V โ ((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด))โ(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)) |
11 | 6, 10 | ax-mp 5 | . . 3 โข ((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด))โ(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) |
12 | omv 8507 | . . . 4 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต)) | |
13 | 12 | fveq2d 6885 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ ((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด))โ(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด))โ(rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต))) |
14 | 11, 13 | eqtr3id 2778 | . 2 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) = ((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด))โ(rec((๐ฅ โ V โฆ (๐ฅ +o ๐ด)), โ )โ๐ต))) |
15 | 2, 5, 14 | 3eqtr4d 2774 | 1 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3466 โ c0 4314 โฆ cmpt 5221 Oncon0 6354 suc csuc 6356 โcfv 6533 (class class class)co 7401 reccrdg 8404 +o coa 8458 ยทo comu 8459 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5275 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pr 5417 ax-un 7718 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-ral 3054 df-rex 3063 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3959 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-op 4627 df-uni 4900 df-iun 4989 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-tr 5256 df-id 5564 df-eprel 5570 df-po 5578 df-so 5579 df-fr 5621 df-we 5623 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6290 df-ord 6357 df-on 6358 df-lim 6359 df-suc 6360 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-2nd 7969 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-omul 8466 |
This theorem is referenced by: omcl 8531 om0r 8534 om1r 8538 omordi 8561 omwordri 8567 omlimcl 8573 odi 8574 omass 8575 oneo 8576 omeulem1 8577 omeulem2 8578 oeoelem 8593 oaabs2 8644 omxpenlem 9069 cantnflt 9663 cantnflem1d 9679 infxpenc 10009 onexomgt 42479 omlimcl2 42480 onexoegt 42482 om0suclim 42515 oaomoencom 42556 omabs2 42571 naddwordnexlem0 42636 naddwordnexlem3 42639 om2 42644 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |