MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omsuc 8521
Description: Multiplication with successor. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62. Definition 2.5 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
omsuc ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))

Proof of Theorem omsuc
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rdgsuc 8419 . . 3 (๐ต โˆˆ On โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต)))
21adantl 481 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต)))
3 onsuc 7792 . . 3 (๐ต โˆˆ On โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
4 omv 8507 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง suc ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜suc ๐ต))
53, 4sylan2 592 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜suc ๐ต))
6 ovex 7434 . . . 4 (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ V
7 oveq1 7408 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐ด ยทo ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ +o ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
8 eqid 2724 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))
9 ovex 7434 . . . . 5 ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) โˆˆ V
107, 8, 9fvmpt 6988 . . . 4 ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ V โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
116, 10ax-mp 5 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)
12 omv 8507 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
1312fveq2d 6885 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต)))
1411, 13eqtr3id 2778 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต)))
152, 5, 143eqtr4d 2774 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3466  โˆ…c0 4314   โ†ฆ cmpt 5221  Oncon0 6354  suc csuc 6356  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  reccrdg 8404   +o coa 8458   ยทo comu 8459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-omul 8466
This theorem is referenced by:  omcl  8531  om0r  8534  om1r  8538  omordi  8561  omwordri  8567  omlimcl  8573  odi  8574  omass  8575  oneo  8576  omeulem1  8577  omeulem2  8578  oeoelem  8593  oaabs2  8644  omxpenlem  9069  cantnflt  9663  cantnflem1d  9679  infxpenc  10009  onexomgt  42479  omlimcl2  42480  onexoegt  42482  om0suclim  42515  oaomoencom  42556  omabs2  42571  naddwordnexlem0  42636  naddwordnexlem3  42639  om2  42644
  Copyright terms: Public domain W3C validator