MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om0 8431
Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15(a) of [TakeutiZaring] p. 62. See om0x 8433 for a way to remove the antecedent 𝐴 ∈ On. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
om0 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)

Proof of Theorem om0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elon 6368 . . 3 ∅ ∈ On
2 omv 8426 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 ·o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘∅))
31, 2mpan2 690 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘∅))
4 0ex 5263 . . 3 ∅ ∈ V
54rdg0 8335 . 2 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘∅) = ∅
63, 5eqtrdi 2794 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  c0 4281  cmpt 5187  Oncon0 6314  cfv 6492  (class class class)co 7350  reccrdg 8323   +o coa 8377   ·o comu 8378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-omul 8385
This theorem is referenced by:  om0x  8433  oesuclem  8439  omcl  8450  om0r  8453  om1  8457  om1r  8458  omwordri  8487  om00  8490  odi  8494  omass  8495  omeulem1  8497  oen0  8501  oeoa  8512  oeoelem  8513  oeeui  8517  nnm0  8520  nnm0r  8525  nneob  8570  cantnfle  9541  cantnfp1  9551  fin1a2lem6  10275  dflim5  41457  omcl3g  41461
  Copyright terms: Public domain W3C validator