Theorem om0 8367

Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15(a) of [TakeutiZaring] p. 62. See om0x 8369 for a way to remove the antecedent 𝐴 ∈ On. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
om0	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)

Proof of Theorem om0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6323	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		omv 8362	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 ·o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘∅))
3	1, 2	mpan2 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘∅))
4		0ex 5234	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	rdg0 8272	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘∅) = ∅
6	3, 5	eqtrdi 2789	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2101  Vcvv 3434  ∅c0 4259   ↦ cmpt 5160  Oncon0 6270  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  reccrdg 8260   +_o coa 8314   ·_o comu 8315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7608

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-omul 8322

This theorem is referenced by:  om0x  8369  oesuclem  8375  omcl  8386  om0r  8389  om1  8393  om1r  8394  omwordri  8423  om00  8426  odi  8430  omass  8431  omeulem1  8433  oen0  8437  oeoa  8448  oeoelem  8449  oeeui  8453  nnm0  8456  nnm0r  8461  nneob  8506  cantnfle  9457  cantnfp1  9467  fin1a2lem6  10189