Theorem om0 8516

Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15(a) of [TakeutiZaring] p. 62. Definition 2.5 of [Schloeder] p. 4. See om0x 8518 for a way to remove the antecedent 𝐴 ∈ On. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
om0	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)

Proof of Theorem om0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6418	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		omv 8511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 ·o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘∅))
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘∅))
4		0ex 5307	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	rdg0 8420	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘∅) = ∅
6	3, 5	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ∅c0 4322   ↦ cmpt 5231  Oncon0 6364  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  reccrdg 8408   +_o coa 8462   ·_o comu 8463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-omul 8470

This theorem is referenced by:  om0x  8518  oesuclem  8524  omcl  8535  om0r  8538  om1  8541  om1r  8542  omwordri  8571  om00  8574  odi  8578  omass  8579  omeulem1  8581  oen0  8585  oeoa  8596  oeoelem  8597  oeeui  8601  nnm0  8604  nnm0r  8609  nneob  8654  cantnfle  9665  cantnfp1  9675  fin1a2lem6  10399  onexlimgt  41982  om0suclim  42016  oaabsb  42034  dflim5  42069  onmcl  42071  omcl3g  42074