Theorem om0 7944

Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15(a) of [TakeutiZaring] p. 62. See om0x 7946 for a way to remove the antecedent 𝐴 ∈ On. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
om0	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)

Proof of Theorem om0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6082	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		omv 7939	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 ·o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘∅))
3	1, 2	mpan2 678	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘∅))
4		0ex 5068	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
5	4	rdg0 7861	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 +o 𝐴)), ∅)‘∅) = ∅
6	3, 5	syl6eq 2830	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ·o ∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3415  ∅c0 4178   ↦ cmpt 5008  Oncon0 6029  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  reccrdg 7849   +_o coa 7902   ·_o comu 7903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-omul 7910

This theorem is referenced by:  om0x  7946  oesuclem  7952  omcl  7963  om0r  7966  om1  7969  om1r  7970  omwordri  7999  om00  8002  odi  8006  omass  8007  omeulem1  8009  oen0  8013  oeoa  8024  oeoelem  8025  oeeui  8029  nnm0  8032  nnm0r  8037  nneob  8079  cantnfle  8928  cantnfp1  8938  fin1a2lem6  9625