MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem om0 8467
Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15(a) of [TakeutiZaring] p. 62. Definition 2.5 of [Schloeder] p. 4. See om0x 8469 for a way to remove the antecedent ๐ด โˆˆ On. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
om0 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)

Proof of Theorem om0
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elon 6375 . . 3 โˆ… โˆˆ On
2 omv 8462 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง โˆ… โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜โˆ…))
31, 2mpan2 690 . 2 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜โˆ…))
4 0ex 5268 . . 3 โˆ… โˆˆ V
54rdg0 8371 . 2 (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜โˆ…) = โˆ…
63, 5eqtrdi 2789 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด ยทo โˆ…) = โˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447  โˆ…c0 4286   โ†ฆ cmpt 5192  Oncon0 6321  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  reccrdg 8359   +o coa 8413   ยทo comu 8414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-omul 8421
This theorem is referenced by:  om0x  8469  oesuclem  8475  omcl  8486  om0r  8489  om1  8493  om1r  8494  omwordri  8523  om00  8526  odi  8530  omass  8531  omeulem1  8533  oen0  8537  oeoa  8548  oeoelem  8549  oeeui  8553  nnm0  8556  nnm0r  8561  nneob  8606  cantnfle  9615  cantnfp1  9625  fin1a2lem6  10349  onexlimgt  41624  om0suclim  41658  oaabsb  41676  dflim5  41711  onmcl  41713  omcl3g  41716
  Copyright terms: Public domain W3C validator