MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlim 8529
Description: Ordinal multiplication with a limit ordinal. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62. Definition 2.5 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
omlim ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hint:   ๐ถ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem omlim
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 6419 . . 3 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
2 simpr 484 . . 3 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ Lim ๐ต)
31, 2jca 511 . 2 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต))
4 rdglim2a 8429 . . . 4 ((๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต) โ†’ (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐‘ฅ))
54adantl 481 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐‘ฅ))
6 omv 8508 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
7 onelon 6380 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
8 omv 8508 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐‘ฅ))
97, 8sylan2 592 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐‘ฅ))
109anassrs 467 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐‘ฅ))
1110iuneq2dv 5012 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐‘ฅ))
126, 11eqeq12d 2740 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†” (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐‘ฅ)))
1312adantrr 714 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ) โ†” (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐‘ฅ)))
145, 13mpbird 257 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
153, 14sylan2 592 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด ยทo ๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3466  โˆ…c0 4315  โˆช ciun 4988   โ†ฆ cmpt 5222  Oncon0 6355  Lim wlim 6356  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  reccrdg 8405   +o coa 8459   ยทo comu 8460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-omul 8467
This theorem is referenced by:  omcl  8532  om0r  8535  om1r  8539  omordi  8562  omwordri  8568  omordlim  8573  omlimcl  8574  odi  8575  omass  8576  omeulem1  8578  oeoalem  8592  oeoelem  8594  omabslem  8646  omabs  8647  om0suclim  42540  oaabsb  42558
  Copyright terms: Public domain W3C validator