![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > omlim | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Ordinal multiplication with a limit ordinal. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62. Definition 2.5 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
omlim | โข ((๐ด โ On โง (๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต)) โ (๐ด ยทo ๐ต) = โช ๐ฅ โ ๐ต (๐ด ยทo ๐ฅ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | limelon 6419 | . . 3 โข ((๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต) โ ๐ต โ On) | |
2 | simpr 484 | . . 3 โข ((๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต) โ Lim ๐ต) | |
3 | 1, 2 | jca 511 | . 2 โข ((๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต) โ (๐ต โ On โง Lim ๐ต)) |
4 | rdglim2a 8429 | . . . 4 โข ((๐ต โ On โง Lim ๐ต) โ (rec((๐ฆ โ V โฆ (๐ฆ +o ๐ด)), โ )โ๐ต) = โช ๐ฅ โ ๐ต (rec((๐ฆ โ V โฆ (๐ฆ +o ๐ด)), โ )โ๐ฅ)) | |
5 | 4 | adantl 481 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง (๐ต โ On โง Lim ๐ต)) โ (rec((๐ฆ โ V โฆ (๐ฆ +o ๐ด)), โ )โ๐ต) = โช ๐ฅ โ ๐ต (rec((๐ฆ โ V โฆ (๐ฆ +o ๐ด)), โ )โ๐ฅ)) |
6 | omv 8508 | . . . . 5 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐ฆ โ V โฆ (๐ฆ +o ๐ด)), โ )โ๐ต)) | |
7 | onelon 6380 | . . . . . . . 8 โข ((๐ต โ On โง ๐ฅ โ ๐ต) โ ๐ฅ โ On) | |
8 | omv 8508 | . . . . . . . 8 โข ((๐ด โ On โง ๐ฅ โ On) โ (๐ด ยทo ๐ฅ) = (rec((๐ฆ โ V โฆ (๐ฆ +o ๐ด)), โ )โ๐ฅ)) | |
9 | 7, 8 | sylan2 592 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ On โง (๐ต โ On โง ๐ฅ โ ๐ต)) โ (๐ด ยทo ๐ฅ) = (rec((๐ฆ โ V โฆ (๐ฆ +o ๐ด)), โ )โ๐ฅ)) |
10 | 9 | anassrs 467 | . . . . . 6 โข (((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โง ๐ฅ โ ๐ต) โ (๐ด ยทo ๐ฅ) = (rec((๐ฆ โ V โฆ (๐ฆ +o ๐ด)), โ )โ๐ฅ)) |
11 | 10 | iuneq2dv 5012 | . . . . 5 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ โช ๐ฅ โ ๐ต (๐ด ยทo ๐ฅ) = โช ๐ฅ โ ๐ต (rec((๐ฆ โ V โฆ (๐ฆ +o ๐ด)), โ )โ๐ฅ)) |
12 | 6, 11 | eqeq12d 2740 | . . . 4 โข ((๐ด โ On โง ๐ต โ On) โ ((๐ด ยทo ๐ต) = โช ๐ฅ โ ๐ต (๐ด ยทo ๐ฅ) โ (rec((๐ฆ โ V โฆ (๐ฆ +o ๐ด)), โ )โ๐ต) = โช ๐ฅ โ ๐ต (rec((๐ฆ โ V โฆ (๐ฆ +o ๐ด)), โ )โ๐ฅ))) |
13 | 12 | adantrr 714 | . . 3 โข ((๐ด โ On โง (๐ต โ On โง Lim ๐ต)) โ ((๐ด ยทo ๐ต) = โช ๐ฅ โ ๐ต (๐ด ยทo ๐ฅ) โ (rec((๐ฆ โ V โฆ (๐ฆ +o ๐ด)), โ )โ๐ต) = โช ๐ฅ โ ๐ต (rec((๐ฆ โ V โฆ (๐ฆ +o ๐ด)), โ )โ๐ฅ))) |
14 | 5, 13 | mpbird 257 | . 2 โข ((๐ด โ On โง (๐ต โ On โง Lim ๐ต)) โ (๐ด ยทo ๐ต) = โช ๐ฅ โ ๐ต (๐ด ยทo ๐ฅ)) |
15 | 3, 14 | sylan2 592 | 1 โข ((๐ด โ On โง (๐ต โ ๐ถ โง Lim ๐ต)) โ (๐ด ยทo ๐ต) = โช ๐ฅ โ ๐ต (๐ด ยทo ๐ฅ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3466 โ c0 4315 โช ciun 4988 โฆ cmpt 5222 Oncon0 6355 Lim wlim 6356 โcfv 6534 (class class class)co 7402 reccrdg 8405 +o coa 8459 ยทo comu 8460 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pr 5418 ax-un 7719 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-ral 3054 df-rex 3063 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-omul 8467 |
This theorem is referenced by: omcl 8532 om0r 8535 om1r 8539 omordi 8562 omwordri 8568 omordlim 8573 omlimcl 8574 odi 8575 omass 8576 omeulem1 8578 oeoalem 8592 oeoelem 8594 omabslem 8646 omabs 8647 om0suclim 42540 oaabsb 42558 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |