MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onmsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onmsuc 8528
Description: Multiplication with successor. Theorem 4J(A2) of [Enderton] p. 80. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onmsuc ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))

Proof of Theorem onmsuc
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 7880 . . . . 5 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ต โˆˆ ฯ‰)
2 nnon 7860 . . . . 5 (suc ๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
31, 2syl 17 . . . 4 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
4 omv 8511 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง suc ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜suc ๐ต))
53, 4sylan2 593 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜suc ๐ต))
61adantl 482 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ suc ๐ต โˆˆ ฯ‰)
76fvresd 6911 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜suc ๐ต))
85, 7eqtr4d 2775 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต))
9 ovex 7441 . . . . 5 (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ V
10 oveq1 7415 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ด ยทo ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ +o ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
11 eqid 2732 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))
12 ovex 7441 . . . . . 6 ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) โˆˆ V
1310, 11, 12fvmpt 6998 . . . . 5 ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ V โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
149, 13ax-mp 5 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)
15 nnon 7860 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
16 omv 8511 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
1715, 16sylan2 593 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
18 fvres 6910 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
1918adantl 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
2017, 19eqtr4d 2775 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต))
2120fveq2d 6895 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
2214, 21eqtr3id 2786 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
23 frsuc 8436 . . . 4 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
2423adantl 482 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
2522, 24eqtr4d 2775 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต))
268, 25eqtr4d 2775 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474  โˆ…c0 4322   โ†ฆ cmpt 5231   โ†พ cres 5678  Oncon0 6364  suc csuc 6366  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  ฯ‰com 7854  reccrdg 8408   +o coa 8462   ยทo comu 8463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-omul 8470
This theorem is referenced by:  om1  8541  nnmsuc  8606  onmcl  42071
  Copyright terms: Public domain W3C validator