MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onmsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onmsuc 8525
Description: Multiplication with successor. Theorem 4J(A2) of [Enderton] p. 80. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onmsuc ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))

Proof of Theorem onmsuc
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 7875 . . . . 5 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ต โˆˆ ฯ‰)
2 nnon 7855 . . . . 5 (suc ๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
31, 2syl 17 . . . 4 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
4 omv 8508 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง suc ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜suc ๐ต))
53, 4sylan2 592 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜suc ๐ต))
61adantl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ suc ๐ต โˆˆ ฯ‰)
76fvresd 6902 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜suc ๐ต))
85, 7eqtr4d 2767 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต))
9 ovex 7435 . . . . 5 (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ V
10 oveq1 7409 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ด ยทo ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ +o ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
11 eqid 2724 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))
12 ovex 7435 . . . . . 6 ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) โˆˆ V
1310, 11, 12fvmpt 6989 . . . . 5 ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ V โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
149, 13ax-mp 5 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)
15 nnon 7855 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
16 omv 8508 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
1715, 16sylan2 592 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
18 fvres 6901 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
1918adantl 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
2017, 19eqtr4d 2767 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต))
2120fveq2d 6886 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
2214, 21eqtr3id 2778 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
23 frsuc 8433 . . . 4 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
2423adantl 481 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
2522, 24eqtr4d 2767 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต))
268, 25eqtr4d 2767 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3466  โˆ…c0 4315   โ†ฆ cmpt 5222   โ†พ cres 5669  Oncon0 6355  suc csuc 6357  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  ฯ‰com 7849  reccrdg 8405   +o coa 8459   ยทo comu 8460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-omul 8467
This theorem is referenced by:  om1  8538  nnmsuc  8603  onmcl  42631
  Copyright terms: Public domain W3C validator