MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onmsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onmsuc 8479
Description: Multiplication with successor. Theorem 4J(A2) of [Enderton] p. 80. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onmsuc ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))

Proof of Theorem onmsuc
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 7831 . . . . 5 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ต โˆˆ ฯ‰)
2 nnon 7812 . . . . 5 (suc ๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
31, 2syl 17 . . . 4 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
4 omv 8462 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง suc ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜suc ๐ต))
53, 4sylan2 594 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜suc ๐ต))
61adantl 483 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ suc ๐ต โˆˆ ฯ‰)
76fvresd 6866 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜suc ๐ต))
85, 7eqtr4d 2776 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต))
9 ovex 7394 . . . . 5 (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ V
10 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ด ยทo ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ +o ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
11 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))
12 ovex 7394 . . . . . 6 ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) โˆˆ V
1310, 11, 12fvmpt 6952 . . . . 5 ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ V โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
149, 13ax-mp 5 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)
15 nnon 7812 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
16 omv 8462 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
1715, 16sylan2 594 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
18 fvres 6865 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
1918adantl 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
2017, 19eqtr4d 2776 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต))
2120fveq2d 6850 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
2214, 21eqtr3id 2787 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
23 frsuc 8387 . . . 4 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
2423adantl 483 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
2522, 24eqtr4d 2776 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต))
268, 25eqtr4d 2776 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447  โˆ…c0 4286   โ†ฆ cmpt 5192   โ†พ cres 5639  Oncon0 6321  suc csuc 6323  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  ฯ‰com 7806  reccrdg 8359   +o coa 8413   ยทo comu 8414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-omul 8421
This theorem is referenced by:  om1  8493  nnmsuc  8558  onmcl  41713
  Copyright terms: Public domain W3C validator