MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onmsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onmsuc 8550
Description: Multiplication with successor. Theorem 4J(A2) of [Enderton] p. 80. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
onmsuc ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))

Proof of Theorem onmsuc
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 7896 . . . . 5 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ต โˆˆ ฯ‰)
2 nnon 7876 . . . . 5 (suc ๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
31, 2syl 17 . . . 4 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc ๐ต โˆˆ On)
4 omv 8533 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง suc ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜suc ๐ต))
53, 4sylan2 592 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜suc ๐ต))
61adantl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ suc ๐ต โˆˆ ฯ‰)
76fvresd 6917 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜suc ๐ต))
85, 7eqtr4d 2771 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต))
9 ovex 7453 . . . . 5 (๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ V
10 oveq1 7427 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐ด ยทo ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ +o ๐ด) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
11 eqid 2728 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))
12 ovex 7453 . . . . . 6 ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) โˆˆ V
1310, 11, 12fvmpt 7005 . . . . 5 ((๐ด ยทo ๐ต) โˆˆ V โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
149, 13ax-mp 5 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด)
15 nnon 7876 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐ต โˆˆ On)
16 omv 8533 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
1715, 16sylan2 592 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
18 fvres 6916 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
1918adantl 481 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต) = (rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…)โ€˜๐ต))
2017, 19eqtr4d 2771 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo ๐ต) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต))
2120fveq2d 6901 . . . 4 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜(๐ด ยทo ๐ต)) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
2214, 21eqtr3id 2782 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
23 frsuc 8458 . . . 4 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
2423adantl 481 . . 3 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต) = ((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด))โ€˜((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜๐ต)))
2522, 24eqtr4d 2771 . 2 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด) = ((rec((๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฅ +o ๐ด)), โˆ…) โ†พ ฯ‰)โ€˜suc ๐ต))
268, 25eqtr4d 2771 1 ((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo suc ๐ต) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3471  โˆ…c0 4323   โ†ฆ cmpt 5231   โ†พ cres 5680  Oncon0 6369  suc csuc 6371  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  ฯ‰com 7870  reccrdg 8430   +o coa 8484   ยทo comu 8485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-omul 8492
This theorem is referenced by:  om1  8563  nnmsuc  8628  onmcl  42760
  Copyright terms: Public domain W3C validator