Theorem harndom 9424

Description: The Hartogs number of a set does not inject into that set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
harndom	⊢ ¬ (har‘𝑋) ≼ 𝑋

Proof of Theorem harndom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harcl 9421	. . 3 ⊢ (har‘𝑋) ∈ On
2	1	onirri 6418	. 2 ⊢ ¬ (har‘𝑋) ∈ (har‘𝑋)
3		elharval 9423	. . 3 ⊢ ((har‘𝑋) ∈ (har‘𝑋) ↔ ((har‘𝑋) ∈ On ∧ (har‘𝑋) ≼ 𝑋))
4	1, 3	mpbiran 707	. 2 ⊢ ((har‘𝑋) ∈ (har‘𝑋) ↔ (har‘𝑋) ≼ 𝑋)
5	2, 4	mtbi 322	1 ⊢ ¬ (har‘𝑋) ≼ 𝑋

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5097  Oncon0 6307  ‘cfv 6484   ≼ cdom 8807  harchar 9418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-en 8810  df-dom 8811  df-oi 9372  df-har 9419

This theorem is referenced by:  harcard  9840  harsdom  9857  gchhar  10541  ttac  41170  isnumbasgrplem2  41241